2017-2018年山东省烟台市高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年山东省烟台市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．（5分）复数1﹣（i是虚数单位）的模等于（）
A．B．C．D．
2．（5分）极坐标方程ρ＝2sinθ表示的圆的半径是（）
A．B．C．2D．1
3．（5分）已知f1（x）＝sin x﹣cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，f n+1（x）＝f n′（x），n∈N*，则f2018（x）＝（）
A．sin x﹣cos x B．cos x﹣sin x C．sin x+cos x D．﹣sin x﹣cos x 4．（5分）曲线y＝sin x+e x在点（0，1）处的切线方程是（）A．x﹣3y+3＝0B．x﹣2y+2＝0C．2x﹣y+1＝0D．3x﹣y+1＝0 5．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f （x）（）
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
6．（5分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：
a1•a2＝log23•log34＝＝2，
a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34…log78＝…＝3，…，
若a1•a2•a3…a m＝2018（m∈N*），则m的值为（）
A．22018﹣2B．22018C．22016﹣2D．22016
7．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．（5分）在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）9．（5分）已知函数f（x）（x∈R）的图象上任一点（x0，y0）处的切线方程为y ﹣y0＝（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），那么函数f（x）的单调递减区间是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，2]
C．（﹣∞，﹣1）和（1，2）D．[2，+∞）
10．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+），直线l与圆C的两个交点为A，B，当|AB|最小时，α的值为（）
A．α＝B．α＝C．α＝D．α＝
11．（5分）如图，过原点斜率为k的直线与曲线y＝lnx交于两点A（x1，y1），B
（x2，y2），给出以下结论：
①k的取值范围是（0，）
②x1＜1＜x2
③当x∈（x1，x2）时，f（x）＝kx﹣lnx先减后增且恒为负．
其中所有正确的结论的序号是（）
A．①B．①②C．①③D．②③
12．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x），满足xf′（x）+2f（x）＝，且f（1）＝1，则函数f（x）的最大值为（）
A．0B．C．D．2e
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）由直线所围成的封闭图形的面积为．
14．（5分）若函数f（x）＝x+a sin x在R上递增，则实数a的取值范围为．15．（5分）观察下面一组等式：
S1＝1，
S2＝2+3+4＝9，
S3＝3+4+5+6+7＝25，
S4＝4+5+6+7+8+9+10＝49，
…
根据上面等式猜测S2n
＝（4n﹣3）（an+b），则a2+b2＝．
﹣1
16．（5分）如果函数y＝f（x）在其定义域上有且只有两个数x0，使得＝f′（x0），那么我们就称函数y＝f（x）为“双T函数”，则下列四个函数中：
①y＝x2+1，
②y＝e x，
③y＝ln|x|，
④y＝sin x+1．
为“双T函数”的是
三、解答题（共6小题，满分70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤
17．（12分）已知z1＝﹣（10﹣a2）i，z2＝+（a﹣2）i（其中i为虚数单位），若z1+z2是实数．
（1）求实数a的值；
（2）求的值．
18．（12分）（1）求证：﹣＜﹣．
（2）已知实数a、b、c满足0＜a，b，c＜2，求证：（2﹣a）b，（2﹣b）c，（2﹣c）a不同时大于1．
19．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣a）x2﹣2xlnx．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求实数a的取值范围．
20．（12分）数列{a n}满足：a1＝，前n项和S n＝a n，
（1）写出a2，a3，a4；
（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．
21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）＝2．
（1）试写出曲线C的极坐标方程与直线l的普通方程；
（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．
2017-2018学年山东省烟台市高二（下）期中数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．（5分）复数1﹣（i是虚数单位）的模等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵1﹣＝1﹣＝1﹣+＝，
∴|1﹣|＝．
故选：C．
2．（5分）极坐标方程ρ＝2sinθ表示的圆的半径是（）
A．B．C．2D．1
【解答】解：极坐标方程ρ＝2sinθ，即ρ2＝2ρsinθ，
转化为普通方程，得：x2+y2﹣2y＝0，
∴极坐标方程ρ＝2sinθ表示的圆的半径是：
r＝＝1．
故选：D．
3．（5分）已知f1（x）＝sin x﹣cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，f n+1（x）＝f n′（x），n∈N*，则f2018（x）＝（）
A．sin x﹣cos x B．cos x﹣sin x C．sin x+cos x D．﹣sin x﹣cos x 【解答】解：∵f1（x）＝sin x﹣cos x，
∴f2（x）＝f1′（x）＝cos x+sin x，
f3（x）＝f2′（x）＝﹣sin x+cos x，
f4（x）＝f3′（x）＝﹣cos x﹣sin x，
f5（x）＝f4′（x）＝sin x﹣cos x，
…，
f n+4（x）＝f n′（x），
即函数f n（x）是周期为4的周期函数，
（x）＝f2（x）＝cos x+sin x，
则f2018（x）＝f504
×4+2
故选：C．
4．（5分）曲线y＝sin x+e x在点（0，1）处的切线方程是（）A．x﹣3y+3＝0B．x﹣2y+2＝0C．2x﹣y+1＝0D．3x﹣y+1＝0【解答】解：∵y＝sin x+e x，
∴y′＝e x+cos x，
∴在x＝0处的切线斜率k＝f′（0）＝1+1＝2，
∴y＝sin x+e x在（0，1）处的切线方程为：y﹣1＝2x，
∴2x﹣y+1＝0，
故选：C．
5．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f （x）（）
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
【解答】解：因为导函数的图象如图：
可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）＝0，f′（b）＝0，f′（c）＝0，f′（d）＝0．
x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，
可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．
故选：C．
6．（5分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：
a1•a2＝log23•log34＝＝2，
a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34…log78＝…＝3，…，
若a1•a2•a3…a m＝2018（m∈N*），则m的值为（）
A．22018﹣2B．22018C．22016﹣2D．22016
【解答】解：根据题意，a n＝log n+1（n+2）＝，
a1•a2＝log23•log34＝＝＝2，
若a1•a2•a3…a m＝2018（m∈N*），则有a1•a2•a3…a m＝log23•log34•…•log（m+1）（m+2）＝•……•＝＝2018，
则m+2＝22018，
即m＝22018﹣2；
故选：A．
7．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有
一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；
所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．
故选：B．
8．（5分）在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【解答】解：若x＝0时，不等式x•f′（x）＜0不成立．
若x＞0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1．
若x＜0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜﹣1．，
故不等式x•f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
故选：A．
9．（5分）已知函数f（x）（x∈R）的图象上任一点（x0，y0）处的切线方程为y ﹣y0＝（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），那么函数f（x）的单调递减区间是（）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，2]
C．（﹣∞，﹣1）和（1，2）D．[2，+∞）
【解答】解：因为函数f（x），（x∈R）上任一点（x0y0）的切线方程为y﹣y0＝（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），
即函数在任一点（x0y0）的切线斜率为k＝（x0﹣2）（x02﹣1），
即知任一点的导数为f′（x）＝（x﹣2）（x2﹣1）．
由f′（x）＝（x﹣2）（x2﹣1）＜0，得x＜﹣1或1＜x＜2，
即函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1）和（1，2）．
故选：C．
10．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+），直线l与圆C的两个交点为A，B，当|AB|最小时，α的值为（）
A．α＝B．α＝C．α＝D．α＝
【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l过点M（1，），倾斜角为α，
∵圆C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+），即，
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y﹣2＝0，即（x﹣）2+（y﹣1）2＝4，∵（1﹣）2+（﹣1）2＜4，
∴点M（1，）圆内，
∵直线l与圆C的两个交点为A，B，
圆心C（，1）与M（1，）连线的斜率k CM＝＝，
∴当|AB|最小时，直线CM⊥AB，
∴tanα＝k AB＝﹣＝﹣．
∴α＝．
故选：D．
11．（5分）如图，过原点斜率为k的直线与曲线y＝lnx交于两点A（x1，y1），B （x2，y2），给出以下结论：
①k的取值范围是（0，）
②x1＜1＜x2
③当x∈（x1，x2）时，f（x）＝kx﹣lnx先减后增且恒为负．
其中所有正确的结论的序号是（）
A．①B．①②C．①③D．②③
【解答】解：令f（x）＝kx﹣lnx，则f′（x）＝k﹣，
由已知f（x）有两个不同的零点，则k＞0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴f（）＝1﹣ln＜0，则0＜k＜，①正确；
且有x1＜＜x2，∴kx1＜1＜kx2，②错误；
当x∈（x1，x2）时，f（x）＝kx﹣lnx先减后增且恒为负，③正确；
∴所有正确结论的序号是①③．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x），满足xf′（x）+2f（x）＝，且f（1）＝1，则函数f（x）的最大值为（）
A．0B．C．D．2e
【解答】解：∵xf′（x）+2f（x）＝，
∴x2f′（x）+2xf（x）＝，
令g（x）＝x2f（x），则g′（x）＝x2f′（x）+2xf（x）＝，
∵f（1）＝1，∴g（1）＝1，
∴g（x）＝1+lnx，f（x）＝，∴f′（x）＝，
∴x＜时，f′（x）＝＞0，x＞时，f′（x）＝＜0，∴当x＝时，f（x）max＝f（）＝＝．
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）由直线所围成的封闭图形的面积为1．
【解答】解：函数的图象如图：当时，f（x）＝sin x＞0，
根据积分的几何意义可知，所求区域面积为
S＝＝（﹣cos x）|＝﹣cos﹣（﹣cos）＝cos﹣cos ＝
故答案为：1．
14．（5分）若函数f（x）＝x+a sin x在R上递增，则实数a的取值范围为[﹣1，
1]．
【解答】解：∵f′（x）＝1+a cos x，
∴要使函数f（x）＝x+a sin x在R上递增，则1+a cos x≥0对任意实数x都成立．∵﹣1≤a cos x≤1，
①当a＞0时﹣a≤a cos x≤a，
∴﹣a≥﹣1，∴0＜a≤1；
②当a＝0时适合；
③当a＜0时，a≤a cos x≤﹣a，
∴a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜0．
综上，﹣1≤a≤1．
故答案为：[﹣1，1]
15．（5分）观察下面一组等式：
S1＝1，
S2＝2+3+4＝9，
S3＝3+4+5+6+7＝25，
S4＝4+5+6+7+8+9+10＝49，
…
＝（4n﹣3）（an+b），则a2+b2＝25．
根据上面等式猜测S2n
﹣1
【解答】解：当n＝1时，S1＝（4ו1﹣3）（a+b）＝a+b＝1，①
当n＝2时，S3＝（4×2﹣3）（2a+b）＝5（2a+b）＝25，②，
由①②解得a＝4，b＝﹣3，
∴a2+b2＝16+9＝25，
故答案为：25．
16．（5分）如果函数y＝f（x）在其定义域上有且只有两个数x0，使得＝f′（x0），那么我们就称函数y＝f（x）为“双T函数”，则下列四个函数中：
①y＝x2+1，
②y＝e x，
③y＝ln|x|，
④y＝sin x+1．
为“双T函数”的是①③
【解答】解：对于①，y＝f（x）＝x2+1，
∴＝x+，f′（x）＝2x，
令x+＝2x，即＝x，解得x＝±1，
满足题意，∴y＝f（x）为“双T函数”；
对于②，y＝f（x）＝e x，
∴＝，f′（x）＝e x，
令＝e x，解得x＝1，
不满足题意，∴y＝f（x）不是“双T函数”；
对于③，y＝f（x）＝ln|x|＝，x＞0＝，f′（x）＝，令＝，即lnx＝1，解得x＝e，
x＜0∴＝，f′（x）＝，
令＝，即ln（﹣x）＝1，解得x＝﹣e，
满足题意，∴y＝f（x）为“双T函数”；
对于④，y＝f（x）＝sin x+1，
∴＝+，f′（x）＝cos x，
令+＝cos x，即sin x﹣x cos x+1＝0，
由g（x）＝sin x﹣x cos x+1，则g′（x）＝x sin x，
令g′（x）＝0，解得x＝kπ，k∈Z；
由三角函数的周期性知，方程sin x﹣x cos x+1＝0的解有无数个，
不满足题意，∴y＝f（x）不是“双T函数”；
综上，正确的命题序号是①③．
故答案为：①③．
三、解答题（共6小题，满分70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤
17．（12分）已知z1＝﹣（10﹣a2）i，z2＝+（a﹣2）i（其中i为虚数单位），若z1+z2是实数．
（1）求实数a的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）z1+z2＝﹣（10﹣a2）i++（a﹣2）i，
∵z1+z2是实数，
∴﹣10+a2+a﹣2＝0，
解得a＝3或a＝﹣4（舍去），
∴a＝3；
（2）由（1）可得z1＝﹣i，z2＝﹣1+i，
∴＝+i，
∴＝（+i）（﹣1+i）＝﹣﹣1+i﹣i＝﹣+i．
18．（12分）（1）求证：﹣＜﹣．
（2）已知实数a、b、c满足0＜a，b，c＜2，求证：（2﹣a）b，（2﹣b）c，（2﹣c）a不同时大于1．
【解答】证明：（1）要证：﹣＜﹣，
只要证+＜+，
只要证（+）2＜（+）2，
即证11+2＜11+2，
即证＜，
即证24＜30，显然成立，
故﹣＜﹣．
（2）假设（2﹣a）b＞1，（2﹣b）c＞1，（2﹣c）a＞1，
由题意知2﹣a＞0，2﹣b＞0，2﹣c＞0，
那么≥＞1，
同理＞1，＞1
三式相加，得3＞3矛盾，所以假设不成立．
所以（2﹣a）b，（2﹣b）c，（2﹣c）a不能同时大于1．
19．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣a）x2﹣2xlnx．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣2xlnx，x＞0，
∴f′（x）＝﹣2（1+lnx），
令f′（x）＝0，解得x＝，
当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当x＞时，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴当x＝时，函数取的极大值，极大值为f（）＝﹣2××ln＝，无极小值，
（2）∵函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴f′（x）＝2（1﹣a）x﹣2（1+lnx）≥0，在（0，+∞）上恒成立，
∴1﹣a≥，
设g（x）＝，x＞0，
∴g′（x）＝，
令g′（x）＝0，解得x＝1，
当0＜x＜1 时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x＞1 时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）≤g（1）＝1，
∴1﹣a≥1，
∴a≤0，
故a的取值范围为（﹣∞，0]
20．（12分）数列{a n}满足：a1＝，前n项和S n＝a n，
（1）写出a2，a3，a4；
（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．
【解答】解：（1）∵a1＝，前n项和S n＝a n，
∴令n＝2，即a1+a2＝3a2．∴a2＝a1＝．
令n＝3，即a1+a2+a3＝6a3，∴a3＝．
令n＝4，得a1+a2+a3+a4＝10a4，∴a4＝．
（2）猜想a n＝，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1时，结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立，即a k＝，
则当n＝k+1时，S k＝•a k＝，
S k+1＝•a k+1，
即S k+a k+1＝•a k+1，
∴+a k+1＝•a k+1，
∴•a k+1＝，
∴
∴当n＝k+1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N+都有a n＝成立．
21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝2e2x﹣a，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，
a＞0时，由f′（x）＝0得x＝ln，
x∈（﹣∞，ln），f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln）上递减；
x∈（ln，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（ln，+∞）上递增．
（2）f（x）＝e2x﹣ax＞ax2+1变形为e2x﹣ax2﹣ax﹣1＞0，
令g（x）＝e2x﹣ax2﹣ax﹣1，g′（x）＝2e2x﹣2ax﹣a，
令g′（x）＝0，可得a＝，
令h（x）＝，h′（x）＝，
x＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）的值域是（2，+∞），
当a≤2时，g′（x）＝0没有实根，g′（x）＞0，
g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，符合题意，
当a＞2时，g′（x）＝0有唯一实根x0，x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，
g（x）在（0，x0）上递减，g（x）＜g（0）＝0，不符题意，
综上，a的取值范围是a≤2．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）＝2．
（1）试写出曲线C的极坐标方程与直线l的普通方程；
（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．
【解答】解：（1）∵曲线C：（θ为参数），
∴曲线C的普通方程为＝1，
∴曲线C的极坐标方程为＝1，
即ρ2+2ρ2sin2θ＝3．
∵直线l：ρ（cosθ+sinθ）＝2．
∴直线l的普通方程为x+y﹣2＝0．
（2）设P（，sinθ），
则P到直线l的距离d＝＝，
∴当2sin（）＝2时，点P到直线l的距离最小，此时θ＝，∴P（，），
此最小值为d min＝＝2﹣．。