高三数学上学期第一次月考试卷 文含解析 试题

2021-2021学年一中高三〔上〕第一次月考数学试卷
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

〔文科〕
一、选择题〔本大题一一共8小题〕
1.集合，，那么集合〔〕
A. B. 2， C. 1， D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别求出集合A和B，从而得到，由此能求出集合．
【详解】集合，
或者，
，
集合．
应选：A．
【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2.执行如下图的程序框图，那么输出b的结果是
A. 2
B. 2
C.
D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】
由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值，从而计算得解．
【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值，
可得：．
应选：B．
【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，考察了对数的运算，是根底题．
3.在等比数列中，，那么“，是方程的两根〞是“〞的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而充分不条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据韦达定理得，再根据等比数列性质求，最后确定充要关系.
【详解】因为，是方程的两根，所以，
因此,因为<0，所以
从而“，是方程的两根〞是“〞充分而不必要条件，选A.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“假设那么〞、“假设那么〞的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒〞为真，那么是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或者结论是否认式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：假设⊆，那么是的充分条件或者是的必要条件；假设＝，那么是的充要条件．4.对于任意，函数满足，且当时，函数，假设，
，那么a，b，c大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．
【详解】对于任意函数满足，
∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，
∴在定义域上是单调增函数；
由
∴
∴b＞a＞c．
应选：A．
【点睛】此题主要考察了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．5.如图是二次函数的局部图象，那么函数的零点所在的区间是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次函数图象的对称轴确定b的范围，根据的表达式计算和的值的符号，从而确定零点所在的区间．
【详解】∵，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴，
,
在上单调递增且连续
，，
函数的零点所在的区间是
应选：C．
【点睛】此题考察导数的运算、函数零点的断定定理的应用，解题的关键是确定b的范围．
6.函数，假设，且在区间上有最小值，无最大值，那么
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，可得在处获得最小值可得：，对k赋值，找到满足条件的的值
即可．
【详解】函数，
由，在区间上有最小值，无最大值结合三角函数的性质，
可得在处获得最小值可得，
化简可得：,
∵,
当时，．
当时，，考察此时在区间内已存在最大值．
应选：B．
【点睛】此题考察三角函数的性质的综合运用，考察了分析问题的才能，属于中档题．
7.矩形ABCD，，，点P为矩形内一点，且，那么的最大值为
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
【答案】B
【解析】
分析：通过建立平面直角坐标系，写出各点坐标；因为，所以点P在单位圆上；根据三角函数定义，设出P点坐标。

由向量的加法、乘法坐标运算，可求得三角函数表达式，根据三角函数中角的范围即可求得最大值。

详解：以点A为原点，AB所在直线为为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系
因为，所以点P在第一象限内的单位圆上
那么
所以根据三角函数定义，设P，
那么
所以
当时，获得最大值为2
所以选B
点睛：此题考察了三角函数、向量在几何中的综合应用，建立坐标系、用坐标方法研究是常用方法，属于中档题。

8.函数，假设有且仅有两个整数使得，那么实数m的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由得：，即
设，
那么
由可得，即
由可得，即
即当时，函数获得极大值
在同一平面直角坐标系中作出，的大致图象如下图：
当时，满足的整数解超过两个，不满足条件
当时，要使的整数解只有两个，那么需满足
，即，解得
即
即实数的取值范围为
应选
点睛：此题主要考察的知识点是函数，不等式的性质，利用数形结合以及构造法求解，根据不等式的关系转化两个函数的大小关系，构造函数，，利用的整数解只有两个，建立不等式关系进展求解即可，解决此题的关键是利用数形结合建立不等关系。

二、填空题〔本大题一一共6小题〕
9.设i是虚数单位，假设复数是纯虚数，那么a的值是______．
【答案】3
【解析】
由题意：，
满足题意时有： .
10.数列的前n项和为，且，，时，，那么的通项公式______．
【答案】.
【解析】
由得．
又，
，
∴．
又，
∴，
∴，
∴，
∴数列是首项为3，公差为2的等差数列，
∴，
∴当时，
，
又满足上式，
∴.
答案：
11.如图，在中，，，D为BC边上的点，且，，那么
______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由，可得，且为的中点，，且易求得，，而
代入即可得结果.
【详解】∵
∴，且为的中点，
∴在直角三角形中可求得，
∵
∴
故答案为1.
【点睛】此题为向量的数量积的运算，把向量适当转化是解决问题的关键，属根底题．
12.数列的前的前n项和为，数列的的前n项和为，那么满足
的最小n的值是______．
【答案】9
【解析】
由数列的前项和为，那么当时，，
所以，
所以数列的前和为，
当时，，
当时，，
所以满足的最小的值是.
点睛：此题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考察了学生的推理与运算才能.
13.函数与的图象上存在关于原点对称的点，那么实数的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
由题意可知有解，即方程有解，即有解，设，那么，在上单调递减，在上单调递增，当
时，获得最小值，的值域为，的取值范围是，故答案为.
14.平面直角坐标内定点，，，和动点，，假设，
，其中O为坐标原点，那么的最小值是______．
【答案】.
【解析】
分析：利用向量知识，确定P、Q的轨迹方程，进而利用点到直线的间隔公式，即可求的最小值．详解：∵动点A〔﹣1，0〕，B〔1，0〕，P〔x1，y1〕，
∴
∴〔x1+1，y1〕•〔x1﹣1，y1〕=1
∴
∴P的轨迹是个半径为、圆心在原点的圆
∵
∴Q，M，N三点一共线
∵M〔4，0〕，N〔0，4〕
∴Q的轨迹方程为直线MN：x+y﹣4=0
∴的最小值是圆心到直线的间隔减去半径，即=
故答案为：
点睛：此题以平面向量为载体，考察轨迹方程，考察直线与圆的位置关系，确定P、Q的轨迹方程是关键．
三、解答题〔本大题一一共6小题〕
15.设函数
求函数的最小正周期．
求函数的单调递减区间；
设A，B，C为的三个内角，假设，，且C为锐角，求．
【答案】〔1〕〔2〕减区间为，〔3〕
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间．
利用同角三角函数的根本关系、两角和的正弦公式，求得的值．
【详解】函数，
故它的最小正周期为．
对于函数，令，求得，
可得它的减区间为，．
中，假设，．
假设，，为锐角，．
．
【点睛】此题主要考察三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考察了同角三角函数的根本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
16.某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进展调查，得到的统计数据如表所示：
积极参加班级工作不积极参加班级工作合计
学习积极性高18 7 25
学习积极性不高 6 19 25
合计24 26 50
假如随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；
假设不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，请用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果；
在的条件下，求事件B：两名学生中恰有1名男生的概率．
【答案】(1) (2)见解析；(3)
【解析】
【分析】
名学生中，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，由此能求出事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率．
不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，设为A，B，另外五名女生设为a，b，c，d，e，现从中抽取两名学生参加某项活动，能用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果．事件B：两名学生中恰有1名男生，那么事件B包含的根本领件有10种，由此能求出事件B：两名学生中恰有1名男生的概率．
【详解】名学生中，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率．
不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，设为A，B，另外五名女生设为a，b，c，d，e，
现从中抽取两名学生参加某项活动，
用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果有21种，分别为：
AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de．事件B：两名学生中恰有1名男生，
那么事件B包含的根本领件有10种，分别为：
Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，
事件B：两名学生中恰有1名男生的概率．
【点睛】此题考察概率的求法，考察古典概型、列举法等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．17.函数．
求的对称轴所在直线方程及其对称中心；
在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，，求周长的取值范围．【答案】〔1〕对称轴方程为，，对称中心为，〔2〕
【解析】
分析：〔1〕用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函数的性质可得结论；
〔2〕由，求得，再由余弦定理得的等量关系，利用根本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得的取值范围，从而得周长范围．
详解：〔1〕
由，∴∴的对称轴方程为，
由，∴，∴的对称中心为，
〔2〕∵，∴，∴，
∴，得：，，∴
又，∴，∴
点睛：第〔2〕周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：
解：∵，∴，∵，∴
∴，∴
由正弦定理得：
∴，
∴
∵，∴
∴的周长范围为
18.在时有极值0。

〔1〕求常数的值；
〔2〕求的单调区间。

〔3〕方程在区间[-4,0]上有三个不同的实根时实数的范围。

【答案】
【解析】
本试题主要是考察极值的概念的运用，以及运用导数求解函数的单调区间，并能进而确定方程的根的问题，通过函数的图像的极值情况，别离参数法求解参数的取值范围，转换为两个图像的交点问题来解决，这种思想尤为重要。

解：
②当时，
故方程有根或者……………………6分
x
＋0 －0 ＋
↑极大值↓极小值↑
由表可见，当时，有极小值0，故符合题意……8分
由上表可知：的减函数区间为
的增函数区间为或者………………9分
③因为，
由数形结合可得．
19.等比数列的公比，且，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，是数列的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，务实数a的取值范围．
【答案】(1).
(2).
【解析】
试题分析：
〔Ⅰ〕本小题用等比数列的根本量法可求解，即用首项和公比表示出条件并解出，可得通项公式；〔Ⅱ〕由，因此用错位相减法可求得其前项和，对不等式按的奇偶分类，可求得参数的取值范围．
试题解析：
〔Ⅰ〕设数列的公比为，那么，
∴
∵，∴，∴数列的通项公式为．
〔Ⅱ〕解：
∴
∴
∴=
∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增．
为奇数时，的最小值为，∴得，
为偶数时，的最小值为，∴，
综上，，即实数的取值范围是．
20.函数，记为的导函数.
〔1〕假设曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
〔2〕讨论的解的个数；
〔3〕证明：对任意的，恒有.
【答案】〔1〕；〔2〕见解析；〔3〕见解析.
【解析】
试题分析：〔1〕求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得；〔2〕由题意可得：，令，求出导数、单调区间和极值、最值，讨论的取值范围，即可得到解得个数；〔3〕〕令，利用导数可判断在单调递减，
结合，可得结果.
试题解析：〔1〕由可得，函数的定义域为
，所以在点处的切线的斜率
又切线垂直于直线，所以，即，所以
〔2〕由〔1〕可得，令得，
令，那么，所以在上单调递减，在上单调递增.
又当时，，当时，，当时，，
故当时，无解；
当时，有唯一解；
当时，有两解.
〔3〕令
在单调递减，又
.
点睛：此题主要考察了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率、利用导数研究函数的单调性，两条直线互相垂直那么其斜率之积为，以及函数的零点的存在性及个数问题，对于函数零点的个数主要是通过导数研究其单调性得到其图象的大致形状，难点在与渐近线的判断，即
时，函数的变化情况.
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。