二古典概率
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设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm …； 第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
轮船有三班
乙地
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
基本计数原理 2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
则完成这件事共有 第二个步骤有n2种方法, …； n1 n2 nm 第m个步骤有nm种方法, 种不同的方法 . 必须通过每一步骤, 才算完成这件事， 第一个步骤有n1种方法，
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
A 6
2 3
C 3
2 3
排列、组合的几个简单公式 1、排列: 从n个不同元素取 k个
（1 k n)的不同排列总数为：
n! A n(n 1)(n 2)(n k 1) (n k )!
k n
k = n时称全排列
n An n(n 1)(n 2)2 1 n!
常用于概率不易求出的概率计算。
如：计算新药的有效率
如果某种新药在350例临床试验中有278例有效， 则该新药的有效率是
278 f n ( A) 0.794 350
于是可以认为该新药的有效率为0.794。
频率与概率的区别：
频率变动，概率稳定； 在大量试验中，当频率相对稳定
时，可近似认为频率与概率相等
A {取到的5件产品中恰有1件次品}, 则A中所包含的样本点个数可以这样计算：
1 1件次品从3件次品中取得，共有C3 种取法；
4件正品从97件正品中取得，共有C 种取法。
1 4 因而n{A} C3 C97
4 97
n{ A} C C P( A) 0.138 5 n{} C100
1 3 4 97
,9这10个 例2-3 某城市的电话号码由0,1,2, 数字中任意8个数字组成，试求下列电话号码 出现的概率：
(1)数字各不相同的电话号码； (2)不含2和7的电话号码； (3)5恰好出现两次的电话号码。
例2-4：设某超市有奖销售，投放n张奖券 位顾客中奖的概率. 1 k n 解：抽奖券是不放回抽样。
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1 k n)的不同排列总数为：
n n n n
k
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 1 2 3 第2张 1 2 3 第3张 1 2 3
12Βιβλιοθήκη 34n=4,k =3
共有4.4.4=43种可能取法
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个 （1k n)的不同组合总数为：
只有一张有奖。每位顾客可抽1张，求第k
到第k个顾客为止实验的样本点总数为 n (n 1) (n k 1) 所求事件A所包含的样本点数为 (n 1) (n k 1) 1 于是 (n 1) (n k 1) 1 1 P( A) n (n 1) (n k 1) n
k A n! k n Cn k ! (n k )!k !
C 常记作
k n
k n
n k
，称为组合系数。
A C k!
k n
例2-2
设箱中装有100件产品，其中有3件次品。 为检查产品质量，从中任意抽取5件，求所取 5件产品中恰有1件次品的概率。
5 解 样本空间的总数n{} C100
(一)、 统计概率
1、频率
定义2-2 设在n次随机试验中，若事件A出现m次， 则称比值 m A发生的试验次数 f n ( A) n 试验的总次数 为事件A在n次试验中出现的频率。
2、频率的稳定性
3、概率的统计定义
在大量重复试验中，若事件A的频率稳定地 在某一常数p的附近摆动，则称常数p为事件 A的概率(Probability),记作P( A) p。
定义 设一试验的样本空间有N 个样本点, n{} N , 且每一样本点的出现是等可能的, 事 件A(样本空间的某个子集)包含有M 个样本点， n{ A} M , 则事件A发生的概率为 n{ A} M 有利于A的基本事件数 P( A)= n{} N 基本事件总数
这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理
可以有 3 2 种打扮
加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
三、排列、组合的几个简单公式 排列和组合的区别： 顺序不同是不同的排列
而组合不管顺序
从3个元素取出2个 的排列总数有6种 从3个元素取出2个 的组合总数有3种
nnnamnamanamapann设一试验的样本空间有个样本点且每一样本点的出现是等可能的事件样本空间的某个子集包含有个样本点则事件发生的概率为有利于的基本事件数基定义本事件总数基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的1
随机事件的概率
研究随机现象，不仅关心试验 中会出现哪些事件，更重要的是想知 道事件出现的可能性大小，也就是事 件的概率.
(三)、主观概率
人们根据自己的经验和所掌握的 多方面信息，对事件发生的可能性 大小加以主观的估计，由此确定的 概率为主观概率。 如某种新药上市能够畅销的概率有多大？ 又如你认为吃了感冒药在三天内感冒能 治好的概率有多大？
(二) 、古典概率(Classic Probability)
古典概型
a、在试验中它的所有可能结果仅有 有限个，而且是两两互斥的；
b、每个试验结果出现的可能性相等
例如，一个袋子中装 有10个大小、形状完全 相同的球. 将球编号为 1－10 .把球搅匀， 蒙 上眼睛，从中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
轮船有三班
乙地
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
基本计数原理 2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
则完成这件事共有 第二个步骤有n2种方法, …； n1 n2 nm 第m个步骤有nm种方法, 种不同的方法 . 必须通过每一步骤, 才算完成这件事， 第一个步骤有n1种方法，
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
A 6
2 3
C 3
2 3
排列、组合的几个简单公式 1、排列: 从n个不同元素取 k个
（1 k n)的不同排列总数为：
n! A n(n 1)(n 2)(n k 1) (n k )!
k n
k = n时称全排列
n An n(n 1)(n 2)2 1 n!
常用于概率不易求出的概率计算。
如：计算新药的有效率
如果某种新药在350例临床试验中有278例有效， 则该新药的有效率是
278 f n ( A) 0.794 350
于是可以认为该新药的有效率为0.794。
频率与概率的区别：
频率变动，概率稳定； 在大量试验中，当频率相对稳定
时，可近似认为频率与概率相等
A {取到的5件产品中恰有1件次品}, 则A中所包含的样本点个数可以这样计算：
1 1件次品从3件次品中取得，共有C3 种取法；
4件正品从97件正品中取得，共有C 种取法。
1 4 因而n{A} C3 C97
4 97
n{ A} C C P( A) 0.138 5 n{} C100
1 3 4 97
,9这10个 例2-3 某城市的电话号码由0,1,2, 数字中任意8个数字组成，试求下列电话号码 出现的概率：
(1)数字各不相同的电话号码； (2)不含2和7的电话号码； (3)5恰好出现两次的电话号码。
例2-4：设某超市有奖销售，投放n张奖券 位顾客中奖的概率. 1 k n 解：抽奖券是不放回抽样。
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1 k n)的不同排列总数为：
n n n n
k
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 1 2 3 第2张 1 2 3 第3张 1 2 3
12Βιβλιοθήκη 34n=4,k =3
共有4.4.4=43种可能取法
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个 （1k n)的不同组合总数为：
只有一张有奖。每位顾客可抽1张，求第k
到第k个顾客为止实验的样本点总数为 n (n 1) (n k 1) 所求事件A所包含的样本点数为 (n 1) (n k 1) 1 于是 (n 1) (n k 1) 1 1 P( A) n (n 1) (n k 1) n
k A n! k n Cn k ! (n k )!k !
C 常记作
k n
k n
n k
，称为组合系数。
A C k!
k n
例2-2
设箱中装有100件产品，其中有3件次品。 为检查产品质量，从中任意抽取5件，求所取 5件产品中恰有1件次品的概率。
5 解 样本空间的总数n{} C100
(一)、 统计概率
1、频率
定义2-2 设在n次随机试验中，若事件A出现m次， 则称比值 m A发生的试验次数 f n ( A) n 试验的总次数 为事件A在n次试验中出现的频率。
2、频率的稳定性
3、概率的统计定义
在大量重复试验中，若事件A的频率稳定地 在某一常数p的附近摆动，则称常数p为事件 A的概率(Probability),记作P( A) p。
定义 设一试验的样本空间有N 个样本点, n{} N , 且每一样本点的出现是等可能的, 事 件A(样本空间的某个子集)包含有M 个样本点， n{ A} M , 则事件A发生的概率为 n{ A} M 有利于A的基本事件数 P( A)= n{} N 基本事件总数
这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理
可以有 3 2 种打扮
加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
三、排列、组合的几个简单公式 排列和组合的区别： 顺序不同是不同的排列
而组合不管顺序
从3个元素取出2个 的排列总数有6种 从3个元素取出2个 的组合总数有3种
nnnamnamanamapann设一试验的样本空间有个样本点且每一样本点的出现是等可能的事件样本空间的某个子集包含有个样本点则事件发生的概率为有利于的基本事件数基定义本事件总数基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的1
随机事件的概率
研究随机现象，不仅关心试验 中会出现哪些事件，更重要的是想知 道事件出现的可能性大小，也就是事 件的概率.
(三)、主观概率
人们根据自己的经验和所掌握的 多方面信息，对事件发生的可能性 大小加以主观的估计，由此确定的 概率为主观概率。 如某种新药上市能够畅销的概率有多大？ 又如你认为吃了感冒药在三天内感冒能 治好的概率有多大？
(二) 、古典概率(Classic Probability)
古典概型
a、在试验中它的所有可能结果仅有 有限个，而且是两两互斥的；
b、每个试验结果出现的可能性相等
例如，一个袋子中装 有10个大小、形状完全 相同的球. 将球编号为 1－10 .把球搅匀， 蒙 上眼睛，从中任取一球.
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