2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.2弧度制课时作业(含解析)新人教A版必修第

5.1.2 弧度制
一、选择题
1．1 920°的角化为弧度数为( )
A.
163 B.323 C.163π D.323
π 解析：∵1°＝π180rad ，∴1 920°＝1 920×π180rad ＝323
π rad. 答案：D
2．将表的分针拨快10分钟，那么分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A.π3
B.π6
C ．－π3
D ．－π6
解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A 、B 不正确，又因为拨快10
分钟，故转过的角的大小应为圆周的16，故所求角的弧度数为－16×2π＝－π3
. 答案：C
3．把－114
π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的值是( ) A ．－34
π B．－2π C ．π D ．－π
解析：∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34π. ∴θ＝－34
π. 答案：A
4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，那么这个扇形的圆心角是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ θR ＝612
θR 2＝6，解得θ
＝3，应选C.
答案：C
二、填空题
5．以下四个角：1,60°，π3，－π6由大到小的排列为________． 解析：只需把60°化成弧度数，因为60°＝60×π180＝π3，所以四个角为1，π3，π3
，－π6.所以60°＝π3>1>－π6
. 答案：60°＝π3>1>－π6
6．假设三角形三内角之比为345，那么三内角的弧度数分别是________．
解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k ，那么由3k ＋4k ＋5k ＝π，得k ＝π12
，所以3k ＝π4，4k ＝π3，5k ＝5π12. 答案：π4，π3，5π12
7．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
解析：135°＝135π180＝3π4，所以扇形的半径为3π3π4
＝4， 面积为12
×3π×4＝6π. 答案：4 6π 三、解答题
8．将以下角度与弧度进展互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5
. 解析：(1)20°＝20180π＝π9
. (2)－15°＝－15180π＝－π12
. (3)7π12＝(7π12×180π)°＝(712
×180)°＝105°. (4)－11π5＝(－11π5×180π)°＝(－115
×180)°＝－396°. 9．如图，扇形OAB 的面积是4 cm 2
，它的周长是8 cm ，求扇形的圆心角及弦AB 的长．
解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，
弧长为l cm ，半径为R cm ，
依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2R ＝8，①12l ·R ＝4，②
由①②得R ＝2，l ＝4，∴θ＝l R
＝2.
过O 作OC ⊥AB ，那么OC 平分∠BOA ，
又∠BOA ＝2 rad ，
∴∠BOC ＝1 rad ，
∴BC ＝OB ·sin 1＝2sin 1(cm)，
∴AB ＝2BC ＝4sin 1(cm)．
故所求扇形的圆心角为2 rad ，弦AB 的长为4sin 1 cm. [尖子生题库]
10．一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .
(1)假设α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)假设扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，
∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3
(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×10×10×cos π6
＝50⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－32(cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R
， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12
(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －c 42＋c 2
16. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 2
16
.。