【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业28 数系的扩充与复数的引入 理 北师大版

课时作业(二十八) 数系的扩充与复数的引入
A 级
1．互为共轭复数的两复数之差是( ) A ．实数 B ．纯虚数 C ．0
D ．零或纯虚数
2．(2012·某某某某质量检测)已知a ，b 是实数，i 是虚数单位，若i(1＋a i)＝1＋b i ，则a ＋b 等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．－2
3．(2012·某某模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
i ，i 2
，1i ，
1＋i 2
i
，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
4．复数z ＝m －2i
1＋2i
(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．定义：若z 2
＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )
A ．1－2i 或－1＋2i
B ．1＋2i 或－1－2i
C ．－7－24i
D ．7＋24i
6．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1
＝________.
7．(2012·某某模拟)已知复数z 与(z ＋2)2
－8i 均是纯虚数，则z ＝________. 8．已知复数2＋i 与复数1
3＋i 在复平面内对应的点分别是A 与B ，则∠AOB ＝________.
9．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 10．计算：(1)－1＋i
2＋i
i
3
；
(2)1＋2i 2
＋31－i
2＋i
；
(3)1－i 1＋i
2＋
1＋i 1－i
2
.
11．(2011·某某卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.
B 级
1．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＞1
2
”是“点M 在第四象限”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x
的最大值为________．
3．已知A (1,2)，B (a,1)，C (2,3)，D (－1，b )(a ，b ∈R )是复平面上的四点，且向量AB →
，CD →
对应的复数分别为z 1，z 2.
(1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求1＋i z 1＋1－i
z 2
.
(2)若z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，求a ，b . 详解答案
课时作业(二十八)
A 级
1．D 设互为共轭复数的两个复数分别为z ＝a ＋b i ，z ＝a －b i(a ，b ∈R )，则z －z ＝2b i 或z －z ＝－2b i.
∵b ∈R ，当b ≠0时，z －z ，z －z 为纯虚数； 当b ＝0时，z －z ＝z －z ＝0.故选D.
2．A 由于a ，b 是实数，所以i(1＋a i)＝1＋b i 变形为i －a ＝1＋b i ，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
－a ＝1，1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1.
从而a ＋b ＝0.
3．B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．
4．A z ＝m －2i 1＋2i ＝m －2i 1－2i 5＝m －45＋
－2m ＋25i ，显然m －45＞0与－2m ＋2
5
＞0不可能同时成立，则z ＝m －2i
1＋2i
对应的点不可能位于第一象限．
5．B 设(x ＋y i)2
＝－3＋4i ，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－y 2
＝－3，xy ＝2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－2.
6．解析： z 2－2z z －1＝1－i 2
－21－i 1－i －1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i
－i·i
＝－2i.
答案： －2i
7．解析： 设z ＝a i ，a ∈R 且a ≠0， 则(z ＋2)2
－8i ＝4－a 2
＋(4a －8)i.
∵(z ＋2)2
－8i 是纯虚数，∴4－a 2
＝0且4a －8≠0. 解得a ＝－2.因此z ＝－2i. 答案： －2i
8．解析： 由题意得，点A 的坐标为(2,1)． ∵
13＋i ＝310－i 10，∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3
10
，－110.
∴OA →＝(2,1)，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
10
，－110，
∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝22，∴∠AOB ＝π
4.
答案：
π4
9．解析： 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则有a 2
＋b 2
＝5.(*) 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.
由题设得⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a －4b ＝0
4a ＋3b ≠0得b ＝3
4
a ，
代入(*)得a 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝25，解得a ＝±4，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4
b ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－4
b ＝－3.
∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案： ±(4－3i) 10．解析： (1)－1＋i
2＋i
i
3
＝
－3＋i
－i
＝－1－3i. (2)1＋2i
2
＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i
2＋i
＝
i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)1－i 1＋i
2
＋
1＋i 1－i
2
＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2
＝－1. 11．解析： (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，
则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.
B 级
1．C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2＞0，且1－2a ＜0，解得a ＞12.即“a ＞1
2
”是“点M 在第四象限”的充要条件．
2．解析：
|z －2|＝
x －2
2
＋y 2
＝3，
∴(x －2)2
＋y 2
＝3.
由图可知⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x max ＝3
1
＝ 3. 答案：
3
3．解析： (1)∵AB →
＝(a,1)－(1,2)＝(a －1，－1)， CD →
＝(－1，b )－(2,3)＝(－3，b －3)，
∴z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i ， ∴z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，
又z 1＋z 2＝1＋i ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －4＝1
b －4＝1，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝5
b ＝5，
∴z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i ， ∴1＋i z 1＋1－i z 2＝1＋i 4－i ＋1－i
－3＋2i
＝
1＋i 4＋i 42＋12＋1－i －3－2i
－32＋2
2
＝3＋5i 17＋－5＋i 13＝－46221＋82
221
i.
(2)由(1)得z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，z 1－z 2＝(a ＋2)＋(2－b )i ，
∵z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a －4＝0
b －4≠0，
2－b ＝0
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝2
.。