江苏专用2021版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.1

江苏专用2021版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量
8.1
第八章立体几何与空间向量8.1空间几何体的结构及其表面积、体
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1.多面体的结构特征
2.旋转体的形成
几何体圆柱圆锥圆台球
3.空间几何可视化图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
（1）在空间图中，使x轴和y轴相互垂直，使两个轴在点O处相交，然后取z轴，
以便∠ xoz=90°和∠ YOZ=90°
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于o′，并使
∠x′o′y′＝45°(或135°)，∠x′o′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水
平面.(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或
直角三角形直角梯形半圆旋转轴两侧的线。

任何一条直角边上的线都垂直于该线Z轴
上的线，该线的底侧腰部的直径为
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴
的线段，长度为原来的一半.
4.柱、锥体、平台和球体的表面积和体积
1
命名几何体圆柱体（棱柱体和圆柱体）圆锥体（棱锥体和圆锥体）平台（棱锥体和圆
锥体）球
5.常用结论
（1）与体积有关的一些结论
表面积体积s表面积＝s侧＋2s底v＝shs表面积＝s侧＋s底v＝sh13s表面积＝s侧＋s上＋s下v＝(s上＋s下＋s上s下)h4313s＝4πr2v＝πr3①一个组合体的体积等于
它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个
与球有关的切、接常用结论a.正方体的棱长为a，球的半径为r，①若球为正方体的外接球，则2r＝3a；②若球为正方体的内切球，则2r＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2r ＝2a.
b、如果长方体同一顶点的三条边的长度分别为a、b和C，且外切球面的半径为r，则2R=a+b+C.C。

外切球面的半径与正四面体内切球面的半径之比为3∶ 1（3）“三变”与“三不变量”在斜二测绘画中的应用
坐标轴的夹角改变，??
“三个转变”？平行于Y轴的线段长度变为原始线段长度的一半，
图形改变.平行性不改变，??
“三个不变量”？平行于X轴和Z轴的线段长度不变，
相对位置不改变.
[思考与歧视]
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
（1）两个面是平行的，其他面是平行四边形，几何体是棱镜（×）
2
二
2
二
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(×)
（3）画画的时候∠ a采用斜向双测量法水平放置，如果∠ a分别平行于x轴和y 轴，且∠ a=90°，在视觉图中，∠ a=45°（×）（4）圆柱体的展开侧视图为矩形(√)
(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.(√)(6)菱形的直观图仍是菱形.(×)
1.（教科书改编）以下陈述是正确的① 在视觉图表中，相等的角度仍然相等；② 相等的线段在视觉图表中仍然相等；③ 正方形的视觉形象是正方形；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.答案④
根据视觉图形的绘制规则，角度和长度可能会发生变化，而线段的平行度则保持不变
④ 这是正确的。

2（教科书改编）已知圆锥体的表面积等于12πcm，其侧面展开图为半圆，则底部圆的半径为________厘米。

回答2
解析s表＝πr＋πrl＝πr＋πr2r＝3πr＝12π，∴r＝4，∴r＝2(cm).
3.如图所示，目视图所示平面图为_______;（填写序列号）
2
二
2
22
①正三角形③钝角三角形答案④
分析包括视觉图形中的a′C‖y′轴和B′C‖x′轴，以及恢复后原始图形的AC‖y
轴和BC‖x轴。

视觉图形恢复为平面图形，因此是直角三角形，④ 这是正确的
②锐角三角形④直角三角形
4.沿对角线AC折叠边长为a的正方形ABCD，使BD=a，则三角棱锥体d-abc的体积为
3
________. 答复
23a12
从分析上看，AC的中点o，连接点do，Bo，△ ADC，△ ABC是等腰直角三角形，因
为do=Bo=22
a，bd＝a，所以△bdo也是等腰直角三角形.又因为do⊥ac，do⊥bo，ac∩bo＝o，所
以2
abc-d的高度是abc-d的高度，因为s△ ABC=A2，三角棱锥体d-ABC的体积为
112223×a×a＝a.32212
5.（2022年南京、淮安、盐城第二次模拟考试），12面圆周率的圆柱最大。

当体积
最大时，底部半径与圆柱体高度之比约为1、2、2、2和2。

回答1:2
6－r解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πr＋2πrh＝12π，得h＝，所以圆柱的
二
2
一
2
R体积v=π，Rh=π（6r-R），设v'=π（6-3r）=0，得到R=2，此时体积v最大，所以底部
232
r21
面半径与高的比＝＝.
h222
题型一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：
① 棱镜的侧边相等，侧面为全等平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.答案②③④
分析① 不准确的根据棱镜的定义，棱镜的所有边都是平行四边形，但不一定全等；
② 正确，因为穿过相对侧边的两个截面的交线平行于侧边并垂直于底部；③ 正确，如图所示，立方体
abcd－a1b1c1d1中的三棱锥c1－abc，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.
四
思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.
（2）解决这类问题的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥和四棱锥是常用的几何模型。

有些问题可以通过将它们作为特例来解决，或者学习使用反例来区分概念命题
(1)以下命题：
① 以直角三角形的一侧为轴旋转一个圆得到的旋转体为圆锥体；② 以直角梯形的一个腰部为轴，旋转一周得到的旋转体为圆形平台；③ 圆柱体、圆锥体和圆顶的底面为圆形；④ 平面截锥产生一个锥和一个锥正确命题的数目为__2）给出了以下四个命题：
①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④ 底部为正多边形且有两条与底部垂直的相邻边的棱柱体是正棱柱体。

错误的命题是________________① ② ③
解析(1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故正确的命题个数为1.
（2）因为①, 平行六面体的两个相对边也可能是矩形的，所以① 这是错误的；对于②, 等腰三角形的腰部是否是一条边没有解释（如图所示），所以② 这是错误的；对于③, 如果底部不是矩形，③ 这是错误的；④ 从线条和表面的垂直度来看，侧边与底部垂直，所以④ 这是正确的
综上，命题①②③不正确.
问题类型2的空间几何可视化图
5。