第十八讲不定积分的概念及性质

xµdx = µ11 xµ+1 + C ∫ +
dx = arctan x + C ∫ 2 1+ x
1 3 = x − x + arctan x + C 3
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 2. 直接积分法 直接积分法: 利用恒等变形, 利用恒等变形 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,L
x — 积分变量
若 F′(x) = f (x) , 则
∫ f (x)dx = F(x) + C
例如, 例如
exdx = ex + C ∫
∫sin xdx = −cos x + C
不定积分的几何意义: 不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 . 积分曲线
∫ f (x) dx 的图形
i=1 n
∫ f (x)dx = ∑ki ∫ fi (x)dx i=1
n
dx 例3. 求 ∫ 3 . x x
−4 3
xµdx = µ11 xµ+1 + C ∫ +
−4+1
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C − 3 +1
= −3x
−1 3
+C
∫ sin xdx = −cos x + C
为何？ 为何？
(1) 若 ∫ f ( x)dx = 2x + sin x + C, 则 f ( x) 为何？ 为何？
′
由 f (x)dx =cos x + C ∫
f (x) = −sin x
而 ∫ f ′(x)dx =∫ df (x) =f (x) + C 所以 ∫ f ′(x)dx = − sin x + C
(2)
∫F′(x) dx =F(x) + C
或 ∫ d F(x) = F(x)+ C
利用逆向思维
二、 基本积分表
(1) (2)
∫ kdx = kx + C ∫ x dx =
µ
( k 为常数)
1 xµ+1 + C µ+1
(µ ≠ −1)
dx (3) ∫ = ln x + C x
x < 0时 1 ( ln x )′ = [ ln(−x) ]′ = x
y
f (x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族. 的平行曲线族
o
x0
x
例 1 求下列不定积分： 求下列不定积分： 1 2 （1）∫ x dx； （2）∫ sin xdx；（3）∫ dx． x F 由 ′(x) = f (x) , 得 ∫ f (x)dx = F(x) + C
解
′ 1 3 1 3 x = x2 2 （1）因为 ，所以 ∫ x dx = x + C. 3 3
第二，原函数的一般表达式：前面已指出， 第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若 f (x) 存在原函数，就不是惟一的，那么， 存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有 什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此， 什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结 论：
的一个原函数， 定理 若 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 F(x) + C 是 f (x)的全部原函数，其中 C为任意常数． 的全部原函数， 为任意常数．
定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x) 在I 上的不定积分, 上的不定积分 记作 ∫ f (x) dx , 其中
∫
— 积分号 积分号;
被积函数; f (x) — 被积函数 被积表达式. f (x)dx — 被积表达式 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 !
e −e sh x = 2 ex + e−x ch x = 2
x
−x
三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
推论: 若 f (x) = ∑ki fi (x) , 则 推论
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin x cos x sin2 x cos2 x
= sec x + csc x
2 2
e3x +1 4. 求不定积分 ∫ x dx. e +1 e3x +1 解： ∫ x dx e +1
(ex +1)(e2x − ex +1) =∫ dx x e +1
Q y′ = 2x
∴ y = ∫ 2xdx = x + C
2
y
(1, 2)
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
2 =12 + C ∴ C =1
因此所求曲线为 y = x2 +1
o
x
从不定积分定义可知: 从不定积分定义可知 d [ ∫ f (x)d x ] = f (x) 或 d [ ∫ f (x)dx ] = f (x) dx (1) dx
= ∫ (e2x − ex +1) dx
1 2x x = e −e + x +C 2
x x 例4. 求 ∫ sin 2 cos 2 dx .
解: 原式=
∫
1 sin xdx 2
= − 1 cos x + C 2
∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx
例 5
（１）∫ (
解（1） ∫ (求下列不定分: 求下列不定积分:1 1 x +1) x − dx = ∫ x x + x −1− dx x x
2
sec2 xdx =tan x + C ∫
(1− cos x) 解: 原式 = ∫ dx 2 1 − cos x dx = ∫ dx ∫ 2 2 1 1 = x − sin x + C 2 2
x4 dx . 例8. 求 ∫ 2 1+ x (x4 −1) +1 解: 原式 = ∫ dx 2 1+ x (x2 −1)(x2 +1) +1 =∫ dx 1+ 1+ x2 dx 2 = ∫ (x −1) dx + ∫ 2 1+ x
(x2 +1)′ = (x2 + 2)′ = (x2 − 3)′ =L= 2x，所以 2x 的原函 数不是惟一的． 数不是惟一的．
原函数说明： 原函数说明： 第一， 第一， 原函数的存在问题： 原函数的存在问题： 如果 f (x)在某区间连续， 在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明) 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．
事实上, 事实上,因为 [F(x) − G(x)]′ = F′(x) − G′(x) = f (x) − f (x) = 0，
所以 F(x) −G(x) = C，或者 G(x) = F(x) + C ，这就是说 f (x)的任一个原函数 G(x) 均可表示成 F(x) + C 的形式． 的形式．
这样就证明了 f (x)的全体原函数刚好组成函数族 F(x) + C ．
dx (4) ∫ = arctan x + C 或 − arccot x + C 2 1+ x dx (5) ∫ = arcsin x+ C 或 − arccos x + C 1− x2
(6) (7)
∫ cos xdx = sin x + C ∫sin xdx = −cos x + C
dx (8) ∫ 2 = ∫ sec2 xdx = tan x + C cos x dx (9) ∫ 2 = ∫ csc2 xdx = −cot x + C sin x
2. 若 f (x) 的导函数为 sin x, 则 f (x) 的一个原函数 是( B ).
( A) 1+ sin x;
(C) 1+ cos x;
提示: 提示: 已知 求 即
(B) 1− sin x;
(D) 1− cos x .
f ′(x) = sin x ( ? )′ = f (x) ( ? )′′ = sin x
(10) (11)
∫sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc xcot xdx = −csc x + C
ex dx = ex + C ∫
x
(12)
a +C (13) ∫ a dx = ln a
x
(14)
(15)
∫sh xdx = ch x+ C
∫ ch xdx = sh x+ C
x2 −1 x − 1 dx x +1) （ ； ２）∫ 2 dx． x x +1
1 = ∫ x xdx + ∫ xdx − ∫1⋅ dx − ∫ dx ∫ kdx = kx + C x 1 f 5 1 2 ∫[ 2(x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)d x 1 µ+1 2 2 xµdx = µ+1 x + C = x + x − x − 2x + C. ∫
（2）因为 (−cos x)′ = sin x，所以 ∫ sin xdx = −cos x + C.
1 （3）因为 x > 0时， (ln x)′ = ，又 x < 0时 ， x −1 1 [ln(−x)]′ = = −x x
1 ，所以 ∫ dx = ln | x | +C. x
设曲线通过点( 例2. 设曲线通过点 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 斜率等于该点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解:
解: 原式 =
x 例7. 求 ∫ sin dx 2
2
= tan x − x + C ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)d x
1− cos 2x sin x = 2 1+ cos 2x 2 cos x = 2
2
∫ (sec x −1)dx = ∫ sec2xdx − ∫ dx
x −1 x2 +1− 2 1− 2 dx dx = ∫ （２） ∫ 2 dx = ∫ 2 2 x +1 x +1 x +1
5 2
2
dx = ∫ dx − 2∫ 2 = x − 2arctan x + C. ∫ dx 2 = arctan x + C x +1 1+ x
tan2 xdx . 例6. 求 ∫
第四章 不定积分
微分法: F′(x) = ( ? ) 积分法: ( ? )′ = f (x) 互逆运算
第一节
不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
一、不定积分的概念 1．原函数的概念
是定义在某区间的已知函数， 定义 1 设 f (x)是定义在某区间的已知函数， 若存 在函数 F(x)，使得 F′(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx , 的一个原函数． 则称 F(x)为 f (x)的一个原函数． 1 1 (ln x)′ = ，故 ln x是 的一个原函数； 的一个原函数； 例 因为 x x 的一个原函数， 因为 (x2 )′ = 2x，所以 x2 是 2x 的一个原函数，但
证 由于 F′(x) = f (x) ， [F(x) + C]′ = F′(x) = f (x) ， 又 所以函数族 F(x) + C 中的每一个都是 f (x)的原函数． 的原函数．
另一方面, 的任一个原函数， 另一方面,设 G(x) 是 f (x)的任一个原函数， 之间只相差一个常数. 即 G′(x) = f (x)，则可证 F(x)与 G(x) 之间只相差一个常数.
作业
P14
练习题
f (x) 是 e−x 的原函数 , 则 1. 若 1 f (ln x) + C0 ln x + C ∫ x d x= x
提示: 提示 已知 f ′(x) = e−x
∴ f (x) = −e−x + C0 1 f (ln x) = − + C0 x f (ln x) 1 C0 =− 2 + x x x
思考题
1 ．在不定积分的性质 ∫ kf ( x)dx = k ∫ f (x)dx 中，为何要求 k ≠ 0？
c
思考下列问题： 2．思考下列问题：
0
f (x) = 2x ln 2 + cos x [ 由∫ f (x)dx] = f (x)得 (2) 若 f (x)的一个原函数为 cos x, 则 ∫ f ′( x)dx
或由题意 f (x) = −cos x + C1 , 其原函数为
∫ f (x)d x = −sin x + C1x + C2
3. 求下列积分: dx (1) ∫ 2 ; 2 x (1+ x ) 提示: 提示
dx (2) ∫ 2 . 2 sin x cos x
1 1 (1 + x2 ) − x2 1 = 2− (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )