北师大版八年级数学上册 第七章 平行线的证明 单元检测试题(有答案)

第七章平行线的证明单元检测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、选择题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）
1. 警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中有一人是主谋，经过审讯，A、B、C三名警察各自得出结论，A：主谋只有可能是甲或乙；B：甲不可能是主谋；C：乙和丙都不可能是主谋．已知三名警察中只有一人推测正确，则主谋是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
2. 如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE // AC，若∠C=50∘，∠BDE= 60∘，则∠CDA的度数等于（）
A.70∘
B.100∘
C.110∘
D.120∘
3. 下列说法中，正确的是（）
A.在同一平面内，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直
B.由平移得到的两个图形的各组对应点连线互相垂直
C.命题“一个角的余角一定是锐角”是真命题
D.√9是无理数
4. 如图，下列推理错误的是()
A.∵ ∠1=∠2，∵ c // d
B.∵ ∠3=∠4，∵ c // d
C.∵ ∠1=∠4，∵ a // b
D.∵ ∠1=∠3，∵ a // b
5. 下列各语句中，不是真命题的是（）
A.直角都相等
B.等角的补角相等
C.点P在角的平分线上
D.对顶角相等
6. 如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AD // BC的是（）
A.∠1＝∠3
B.∠2＝∠4
C.∠C＝∠CBE
D.∠C+∠ABC＝180∘
7. 把一副三角板ABC与ADE按如图所示放置，已知AE // BC，则∠AFD的度数为
()
A.45∘
B.50∘
C.60∘
D.75∘
8. 下列命题中，真命题是（）
A.四边都相等的四边形是矩形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
9. 如图，直线a，b被直线c所截，给出下列条件，①∠1=∠2，②∠3=∠6，③∠5+
∠8=180∘，④∠4+∠5=180∘，其中一定能判断a // b的是()
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
二、填空题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）
10. 如图，AB // CD，∠1=50∘，∠2=110∘，则∠3=________度．
11. 如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是________．
12. 如图，已知直线a//b，将一块含45∘角的直角三角板按如图所示放置.若∠1=78∘，则∠2=________°.
13. 命题“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是________．
14. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为________.
15. △ABC中，∠A=100∘，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=________．
16. 已知直线m // n，将一块含有30∘角的直角三角板ABC按如图的方式放置，其中A，B 两点分别落在直线m，n上．若∠1=20∘，则∠2=________∘．
17. 某品牌饮料为了促销，特规定3个空饮料瓶可以换一瓶饮料.小强刚好有这种品牌的空饮料瓶16个，那么到最后没剩下一个空瓶，小强最多可以喝到________瓶这种品牌饮料.
18. 如图，已知a // b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝35∘，则∠2的度数为________．
三、解答题（本题共计7 小题，共计66分，）
19. 如图，AB // EF // CD，点P在线段EF上，当点P从E向F沿线段EF移动时，∠A，
∠APC，∠C之间有什么关系？
20. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，BE // DF，∠1=∠2，求证：∠3=
∠4．
21. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在AB上，EF⊥BC，垂足为F．∠1=∠2=60∘，且∠3=125∘，求∠DAC的度数．
22. 如图，点E为AB延长线上的一点，点F为CD延长线上的一点，EF交BC于点G，交AD 于点H，若∠1=∠2，∠A=∠C.
(1)AD与BC平行么？为什么？
(2)∠E与∠F相等么？为什么？
23. 已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE // AC，且∠1+∠2＝180∘
（1）求证：AD // FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40∘，求∠BFG的度数．
24. 已知直线l1 // l2，A是l1上一点，B是l2上一点，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，在
直线CD上有一点P
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC、∠APB、∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
25. 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4．
(1)由条件可知：∠1与∠3的大小关系是________，∠2与∠4的大小关系是________；
(2)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1=35∘，则∠2=________，∠3=________；
(3)在(2)中，若∠1=40∘，则∠3=________；
(4)由(1)(2)请你猜想：当∠3=________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）
1.
【答案】
C
【解答】
解：假设A判断正确：主谋只有可能是甲或乙正确，则B错误：甲不可能是主谋，故甲有可能是主谋，
C错误：乙和丙都不可能是主谋，这样乙和丙可能是主谋，这样无法确定主谋；
假设B判断正确，则甲不可能是主谋；故A错误：主谋只有可能是甲或乙，
则甲、乙不是主谋，C也错误，乙和丙都不可能是主谋，故乙和丙可能是主谋，
则丙是主谋；
假设C判断正确，则乙和丙都不可能是主谋；故A错误：主谋只有可能是甲或乙，则甲、乙不是主谋，而B错误的话，即甲是主谋，故出现矛盾；
故选：C．
2.
【答案】
A
【解答】
解：∵ DE // AC，
∵ ∠CDE=∠C=50∘，
又∠CDA+∠CDE+∠BDE=180∘，
∵ ∠CDA=180∘−50∘−60∘=70∘，
故选A．
3.
【答案】
C
【解答】
解：A、在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；
B、由平移得到的两个图形的各组对应点连线互相平行，故本选项错误；
C、命题“一个角的余角一定是锐角”是真命题，正确；
D、∵ √9=3，∵ √9是有理数，故本选项错误；
故选C．
4.
【答案】
D
【解答】
解：A，∵ ∠1=∠2，∵ c // d，正确，不符合题意；
B，∵ ∠3=∠4，∵ c // d，正确，不符合题意；
C，∵ ∠1=∠4，∵ a // b，正确，不符合题意；
D，∵ ∠1=∠3，∵ a // b，错误，符合题意；
故选D．
5.
【答案】
C
【解答】
解：显然A、B、D都是正确的；
C、只有点P到角两边的距离相等，该点才应在这个角的角平分线上，故错误．故选C．
6.
【答案】
B
【解答】
由∠2＝∠4，可得AD // CB；
由∠1＝∠3或∠C＝∠CBE或∠C+∠ABC＝180∘，可得AB // DC；
7.
【答案】
D
【解答】
解：∵ ∠C=30∘，∠DAE=45∘，AE // BC，
∵ ∠EAC=∠C=30∘，∠FAD=45∘−30∘=15∘，
在△ADF中根据三角形内角和定理得到：
∠AFD=180∘−90∘−15∘=75∘．
故选D.
8.
【答案】
D
【解答】
A、四边都相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形不一定是正方形，原命题是假命题；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题；
9.
【答案】
A
【解答】
解：①∵ ∠1=∠2，∵ a // b，本选项正确；
②∵ ∠3=∠6，∵ a // b，本选项正确；
③∵ ∠5+∠8=180∘，∠5+∠7=180∘,
∵ ∠8=∠7，
∵ a // b，本选项正确；
④∵ ∠4+∠5=180∘，∠5+∠7=180∘，∠2+∠4=180∘,
∵ ∠7+∠2=180∘，
不能判断a // b，本选项错误，
则其中能判断a // b的是①②③．
故选A.
二、填空题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）
10.
【答案】
60
【解答】
解：如图所示：
∠2=110∘
∠4=70∘
ABCD
∠5=∠1=50∘
∠3=180∘−∠4−∠5=60∘
故答案为60.
11.
【答案】
同位角相等，两直线平行
【解答】
由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
12.
【答案】
123
【解答】
解：如图，
∵ 直线a//b，∠1=78∘，
∵ ∠3=∠1=78∘,
∵ ∠4=∠3=78∘，
∵ ∠B=45∘，
∵ ∠2=∠4+∠B=123∘，
故答案为：123.
13.
【答案】
如果三角形的两边的平方和等于第三的平方，那么这个三角形是直角三角形
【解答】
解：因为原命题的题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，
所以“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．
14.
【答案】
75∘
【解答】
解：如图所示，
∵ ∠BCD=60∘，∠BCA=45∘，
∵ ∠ACD=∠BCD−∠BCA
=60∘−45∘=15∘，
∵ ∠α=180∘−∠D−∠ACD
=180∘−90∘−15∘=75∘.
故答案为：75∘.
15.
【答案】
140∘【解答】
解：如图所示：
∵ ∠A=100∘，
∵ ∠ABC+∠ACB=180∘−100∘=80∘，
∵ BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∵ ∠IBC=1
2∠ABC，∠ICB=1
2
∠ACB，
∵ ∠IBC+∠ICB=1
2(∠ABC+∠ACB)=1
2
×80∘=40∘，
∵ ∠BIC=180∘−(∠IBC+∠ICB)=180∘−40∘=140∘.
故答案为：140∘．
16.
【答案】
50
【解答】
解：∵ m // n，
∵ ∠2=∠ABC+∠1=30∘+20∘=50∘．
故答案为：50．
17.
【答案】
8
【解答】
解：由题意得:15÷3+(1+1)=7，
喝了7瓶后还剩余2个空瓶，则可以再喝一瓶，再把剩余的三个空瓶给经销商，即最多可喝8瓶.
故答案为：8.
18.
【答案】
55∘
【解答】
∵ ∠1＝35∘，∠ABC＝90∘，
∵ ∠3＝90∘−∠1＝55∘，
∵ a // b，
∵ ∠2＝∠3＝55∘．
三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）
19.
【答案】
解：当点P在AC的左侧时，
∵ AB // EF，
∵ ∠A+∠APF=180∘．
又∵ EF // CD，
∵ ∠CPF+∠C=180∘．
∵ ∠A+∠APF+∠CPF+∠C=180∘+180∘=360∘，
即∠A+∠C+∠APC=360∘；
当点P在AC上时，∠APC=180∘，
∵ AB // CD，
∵ ∠A+∠C=180∘，
则∠A+∠C=∠APC=180∘；
当点P在AC的右侧时，
∵ AB // EF，
∵ ∠A=∠APE．
又∵ EF // CD，
∵ ∠CPE=∠C．
∵ ∠A+∠C=∠APE+∠CPE，
即∠A+∠C=∠APC．
综上可知：当点P在AC的左侧时，有∠A+∠C+∠APC=360∘；当点P在AC上或AC的右侧时，有∠A+∠C=∠APC．
【解答】
解：当点P在AC的左侧时，
∵ AB // EF，
∵ ∠A+∠APF=180∘．
又∵ EF // CD，
∵ ∠CPF+∠C=180∘．
∵ ∠A+∠APF+∠CPF+∠C=180∘+180∘=360∘，
即∠A+∠C+∠APC=360∘；
当点P在AC上时，∠APC=180∘，
∵ AB // CD，
∵ ∠A+∠C=180∘，
则∠A+∠C=∠APC=180∘；
当点P在AC的右侧时，
∵ AB // EF，
∵ ∠A=∠APE．
又∵ EF // CD，
∵ ∠CPE=∠C．
∵ ∠A+∠C=∠APE+∠CPE，
即∠A+∠C=∠APC．
综上可知：当点P在AC的左侧时，有∠A+∠C+∠APC=360∘；当点P在AC上或AC的右侧时，有∠A+∠C=∠APC．
20.
【答案】
解：∵ 四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，
∵ ∠1+∠AEB=∠DFC+∠4=90∘.
∵ BE // DF，
∵ ∠2=∠DFC，∠3=∠AEB，
∵ ∠1+∠3=∠2+∠4=90∘.
∵ ∠1=∠2，
∵ ∠3=∠4.
【解答】
解：∵ 四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，
∵ ∠1+∠AEB=∠DFC+∠4=90∘.
∵ BE // DF，
∵ ∠2=∠DFC，∠3=∠AEB，
∵ ∠1+∠3=∠2+∠4=90∘.
∵ ∠1=∠2，
∵ ∠3=∠4.
21.
【答案】
解：∵ EF⊥BC，AD⊥BC，
∴ EF//AD，
∴ ∠BAD=∠2=60∘.
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠BAD=∠1，
∴ AB//DG，
∴ ∠BAC=∠3=125∘，
∴ ∠DAC=∠BAC−∠BAD=125∘−60∘=65∘.【解答】
解：∵ EF⊥BC，AD⊥BC，
∴ EF//AD，
∴ ∠BAD=∠2=60∘.
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠BAD=∠1，
∴ AB//DG，
∴ ∠BAC=∠3=125∘，
∴ ∠DAC=∠BAC−∠BAD=125∘−60∘=65∘.
22.
【答案】
解：(1)∵ ∠1与∠DHE是对顶角，
∵ ∠1=∠DHE,
∵ ∠1=∠2,
∵ ∠2=∠DHE，
∵ AD//BC.
(2)∵ AD//BC,
∵ ∠A=∠CBE,
∵ ∠A=∠CBE，∠A=∠C，
∵ ∠CBE=∠C，
∵ CF//AE，
∵ ∠E=∠F.
【解答】
解：(1)∵ ∠1与∠DHE是对顶角，
∵ ∠1=∠DHE,
∵ ∠1=∠2,
∵ ∠2=∠DHE，
∵ AD//BC.
(2)∵ AD//BC,
∵ ∠A=∠CBE,
∵ ∠A=∠CBE，∠A=∠C，∵ ∠CBE=∠C，
∵ CF//AE，
∵ ∠E=∠F.
23.
【答案】
∵ DE // AC
∵ ∠2＝∠DAC
∵ ∠l+∠2＝180∘
∵ ∠1+∠DAC＝180∘
∵ AD // GF
∵ ED // AC
∵ ∠EDB＝∠C＝40∘
∵ ED平分∠ADB
∵ ∠2＝∠EDB＝40∘
∵ ∠ADB＝80∘
∵ AD // FG
∵ ∠BFG＝∠ADB＝80∘
【解答】
∵ DE // AC
∵ ∠2＝∠DAC
∵ ∠l+∠2＝180∘
∵ ∠1+∠DAC＝180∘
∵ AD // GF
∵ ED // AC
∵ ∠EDB＝∠C＝40∘
∵ ED平分∠ADB
∵ ∠2＝∠EDB＝40∘
∵ ∠ADB＝80∘
∵ AD // FG
∵ ∠BFG＝∠ADB＝80∘
24.
【答案】
解：(1)∠PAC+∠PBD=∠APB．
过点P作PE // l1，如图1所示．
∵ PE // l1，l1 // l2，
∵ PE // l1 // l2，
∵ ∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵ ∠APB=∠APE+∠BPE，
∵ ∠PAC+∠PBD=∠APB．
（2）过点P作PE // l1．
当点P在直线l1上方时，如图2所示．
∵ PE // l1，l1 // l2，
∵ PE // l1 // l2，
∵ ∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵ ∠APB=∠BPE−∠APE，
∵ ∠PBD−∠PAC=∠APB．
当点P在直线l2下方时，如图3所示．
∵ PE // l1，l1 // l2，
∵ PE // l1 // l2，
∵ ∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵ ∠APB=∠APE−∠BPE，
∵ ∠PAC−∠PBD=∠APB．
【解答】
解：(1)∠PAC+∠PBD=∠APB．
过点P作PE // l1，如图1所示．
∵ PE // l1，l1 // l2，
∵ PE // l1 // l2，
∵ ∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵ ∠APB=∠APE+∠BPE，
∵ ∠PAC+∠PBD=∠APB．
（2）过点P作PE // l1．
当点P在直线l1上方时，如图2所示．
∵ PE // l1，l1 // l2，
∵ PE // l1 // l2，
∵ ∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵ ∠APB=∠BPE−∠APE，
∵ ∠PBD−∠PAC=∠APB．
当点P在直线l2下方时，如图3所示．
∵ PE // l1，l1 // l2，
∵ PE // l1 // l2，
∵ ∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵ ∠APB=∠APE−∠BPE，
∵ ∠PAC−∠PBD=∠APB．
25.
【答案】
相等,相等
70∘,90∘
90∘
90∘
【解答】
解：(1)∵ 光束AB//DE，
∵ ∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)，
又∵ ∠1=∠2，∠3=∠4，
∵ ∠2=∠4.
故答案为：相等；相等.
(2)①如图，
∵ ∠1=35∘，
∵ ∠4=∠1=35∘，
∵ ∠6=180∘−35∘−35∘=110∘，
∵ m // n，
∵ ∠2+∠6=180∘，
∵ ∠2=70∘，
∵ ∠5=∠7=55∘，
∵ ∠3=180∘−55∘−35∘=90∘.
故答案为：70∘；90∘.
(3)在(2)中，若∠1=40∘，则∠4=∠1=40∘，
∵ ∠6=180∘−40∘−40∘=100∘，
∵ m // n，
∵ ∠2+∠6=180∘，
∵ ∠2=80∘，
∵ ∠5=∠7=50∘，
∵ ∠3=180∘−50∘−40∘=90∘.
故答案为：90∘.
(4)猜想：当∠3=90∘时，m总平行于n，
理由：∵ 三角形的内角和为180∘，又∠3=90∘，
∵ ∠4+∠5=90∘.
∵ ∠4=∠1，∠5=∠7，
∵ ∠1+∠7=90∘，
∵ ∠1+∠4+∠5+∠7=90∘+90∘=180∘，
∵ ∠1+∠4+∠6+∠5+∠2+∠7=180∘+180∘=360∘，∵ ∠6+∠2=180∘.
∵ m // n（同旁内角互补，而直线平行）.
故答案为：90∘.
21/ 21。