2017-2018学年河南省郑州市第一中学高三上学期第二次月考数学(理)(详细答案版)

2017-2018学年河南省郑州市第一中学高三上学期第二次月
考数学（理）
一、选择题：共12题
1．设集合,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要是考查集合的运算.
∵,
∴,∴.
2．已知为虚数单位,复数,则等于
A.2
B.
C.
D.0
【答案】C
【解析】本题主要是考查复数的概念、复数的运算.
∵,∴∴
3．执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出的的值为
A.12
B.6
C.3
D.0
【答案】C
【解析】本题主要考查程序框图以及辗转相除法的应用.
由框图可知时,,不满足条件继续执行循环;
时,,不满足条件继续执行循环;
时,,满足条件退出循环,输出
4．已知是定义在上连续函数,则“对一切成立”是“
的最大值小于的最小值”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】本题主要是考查充分必要条件的判断.
若“的最大值小于的最小值”则“对一切成立”.即必要性成立,反之不成立.例如:时不成立.
5．如下左图所示的一个正三棱柱被平面截得的几何体,其中
,几何体的俯视图如下右图所示,则该几何体的正视图是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查几何体的直观图和三视图.
由直观图和俯视图可知底面是正三角形,则正视图中点的摄影时的中点,棱的射影与平行.即正视图是选项A.
6．设,则的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要是考查几何概型概率的求法.
作出直线与圆的图象,如图所示:
由得,.
则的概率为.
7．设为锐角,且,则
A.1
B.2
C.
D.
【答案】A
【解析】本题主要是考查诱导公式,三角恒等变换.
∵∴
∵∴,
∴.
∴
∴,∴
8．若非零向量的夹角为锐角,且,则称被“同余”.已知被“同余”,则
在上的投影是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要是考查向量数量积的应用.
由题意得.
∴
∴
9．已知椭圆与双曲线的焦点重合,分别为的离心率,则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要是考查双曲线与椭圆离心率的关系,双曲线与椭圆的性质.
由题意得,即
又∵.∴
∴
10．平面过正方体的面对角线,且平面平面,平面平
面,则的正切值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要是考查空间中的线线,线面,面面间的位置关系.
正方体中,∵
∴.∴
同理,得.∵.
∴.
如图以为侧棱补作一个正方体,使得侧面与平面共面. 连结则,连结,交与,则平面就是平面,且为所求作.
∵∴
∴平面.∴.
11．已知点在曲线上运动,给出以下命题:
:在轴上一定存在两个不同的定点,满足为定值;
:在轴上一定存在两个不同的定点,满足为定值;
的最小值为1;
的最大值为.
则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要是考查椭圆的方程与几何性质,四种命题.
曲线是椭圆的上半部分,所以.
:在轴上一定存在两个不同的定点,满足为定值,∴
为真命题;
:在轴上一定不存在两个不同的定点,满足为定值,所以为假命题;
:∵所以其最小值是.为假命题;
:令,则
为椭圆右顶点时,其最大值为为假命题.
故选B.
12．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要是考查二项式定理、组合数计算公式的应用;
∵,
∴原式=.
二、填空题：共4题
13．已知是任意实数,则关于的不等式的解集为 .
【答案】
【解析】本题主要是考查不等式的解法,函数单调性的应用.
∵,
∴,即,
解得.
14．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市,三人分别给出了以下说法:
甲说:“我去过上海,乙也去过上海,丙去过北京.”
乙说:“我去过上海,甲说得不完全对.”
丙说:“我去过北京,乙说得对.”
已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对,则去过北京的是 .
【答案】甲、丙
【解析】本题主要是考查推理与证明.
根据题意可知,甲说的有一句不对，而乙、丙说的话证明甲说的去过上海错误，因此甲、丙去过北京.
15．已知函数,若存在满足
,且
,则的最
小值为．
【答案】8
【解析】本题主要是考查三角函数的图象与性质,简单的三角恒等变换.
∴.
∵,
要使最小,需要分别取,,,即的最小值是8.
16．在斜三角形中,为的中点,且,则的值是 .
【答案】1
【解析】本题主要是考查正弦定理的应用,二倍角公式,诱导公式以及三角形的形状的判定,主要考查分类讨论思想.
∵∴.
设.则
∵为的中点,∴.
∴∴.
∴.∴.
∴由正弦定理得,.
即.∴或.
∵是斜三角形.∴.
三、解答题：共7题
17．对于数列,若存在,则称数列
分别为数列的“商数数列”和“余数数列”.已知数列是等差数列,是其前
项和,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
【答案】(1)设等差数列的公差为.
由题意可得解得，
所以.
(2)证明:因为,所以,
因为是除以4的余数,所以是除以4的余数,
由两边同时除以4,得
左边的余数为,右边的余数为,所以.
【解析】本题主要是考查等差数列的应用以及数列自定义问题.
(1)根据,列出方程组即可求解;
(2) 因为,所以,因为是除以4的余数,所以
是除以4的余数,据此即可解答.
18．为了增强高考与高中学习的关联度,考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变,分值不变,不分文理科,外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目,由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.
(1)某高校某专业要求选考科目物理,考生若要报考该校该专业,则有多少种选考科目的选择;
(2)甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合,各学科成绩达到二级的概率都是0.8,且三人约定如果达到二级不参加第二次考试,达不到二级参加第二次考试,如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为,求的分布列和数学期望.
【答案】(1)考生要报考该校该专业,除选择物理外,还需从其他六门学科中任选两科,故共有种不同选择.
(2)因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立,所以参加第二次考试的总次数服从二项分布,所以分布列为
所以的数序期望.
【解析】本题主要是考查分布列,二项分布以及数学期望.
根据题意利用组合数公式求解;
因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立,所以参加第二次考试的总次数服从二项分布,据此解答.
19．如图,在四棱柱为长方体,点是上的一点.
(1)若为的中点,当为何值时,平面平面;
(2)若,当时,直线与平面所成角的正弦值是否存在最大值?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)要使平面平面,只需平面.
因为四棱柱为长方体,
所以平面,所以.
又因为,所以只需,
只需,只需∽,
因为,所以只需,
因为为的中点,所以,所以.
所以当时,平面平面.
(2)存在.理由如下:建立如图所示的空间直角坐标系,
则,所以,
由得,则,
设平面的法向量为,则,
所以,取,则,
所以,
设直线与平面所成的角为,
则,
令,则,
所以,
所以当,即时,取得最大值1.
【解析】本题主要是考查立体几何问题中的探索性问题以及线面角,同时考查了空间向量在立体几何中的应用.
要使平面平面,只需平面, 只需,只需∽
, 只需, 因为为的中点,所以,即可得出答案.
建立空间直角坐标系,表示出直线与平面所成的角为的正弦值,利用函数求最值的方法求出最值.
20．已知椭圆的左焦点和上顶点在直线上,为椭圆上位于轴上方的一点且轴,为椭圆上不同于的两点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与轴交于点,求实数的取值范围.
【答案】(1)依题意得椭圆的左焦点为,上顶点为,
故,所以,
所以椭圆的标准方程为.
(2)设直线的斜率为,因为,所以关于直线对称,
所以直线的斜率为,
易知,所以直线的方程是,
设,
联立,消去,
得,
所以,
将上式中的换成,得,
所以,
所以直线的方程是,
代入椭圆方程,得,
所以,解得,
又因为在点下方,所以,
所以.
【解析】本题主要是考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系.
求出与坐标上的交点,即可得出左焦点和上顶点的坐标,然后写出椭圆的标准方程即可;
(2)设直线的斜率为,因为,所以关于直线对称,
所以直线的斜率为,求出的坐标,写出直线的方程,联立椭圆的方程,运用韦达定理,可得的横坐标,将换成,可得的横坐标,运用直线的斜率公式可得直线的斜率,进而得到直线的方程,联立椭圆方程,根据判别式大于0,解方程可得的范围;再由在直线上,解不等式可得的范围,求交集即可.
21．已知函数.
(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;
(2)当时,分别求函数的最小值和的最大值,并证明当
时,成立;
(3)令,当时,判断函数有几个不同的零点并证明.
【答案】(1)由题意得在上恒成立,
令,有即,
得,所以.
(2)由题意可得
令,则,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,取最小值3.
,令,得,
当在上单调递增,
所以,
因为当时,,
所以当时,.
(3)因为,
所以,
其定义域为,
,
因为,所以,所以在上单调递减,
因为,所以,
所以,
又,所以函数只有1个零点.
【解析】本题主要是考查利用导数研究函数的单调性、极值最值,着重考查分类讨论思想与转化化归思想的应用.
由题意得在上恒成立,根据恒成立问题的解答方法求解;
分别求出函数和的导数,研究出函数的单调性即可求出最值; 根据题意得,可判断出,即在上单调递减,得出函数至多有一个零点,再利用零点存在性定理进行判断.
22．在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线过极坐标系内的两点和.
(1)写出曲线的普通方程,并求直线的斜率;
(2)设直线与曲线交于两点,求.
【答案】(1)由题意得曲线的普通方程为,
∵,∴直线的斜率为.
(2)易知直线的参数方程为为参数)
代入,得,
设方程的两个根为,
所以.
【解析】本题主要是考查普通方程与参数方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,直线参数方程的几何意义.
利用消参法将参数方程转化成普通方程,再利用斜率公式求出斜率;
写出直线的参数方程,代入,得,然后根据直线参数方程的几何意义解答.
23．已知函数.
(1)若不等式的解集为,求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)由题意知,不等式的解集为,
由得,
∴,解得.
(2)不等式等价于,
因为不等式对任意恒成立,
所以,
因为,
所以,解得或.
【解析】本题主要是考查绝对值不等式的解法,恒成立问题.
由题意知,,得出
不等式等价于,转化成
,根据绝对值不等式的性质得出
,进而得出,据此解答.。