2020年江西省南昌市八一中学高2022届高2019级高二第一学期期中考试数学试题及答案

南昌市八一中学2020～2021学年度第一学期
高二数学期中联考试题
测试时间:120分钟满分:150分
命题人: 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

每小题只有一个
选项符合题意)
1.下列关于算法的说法正确的有
①求解某一类问题的算法是唯一的
②算法必须在有限步骤操作之后停止
③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊
④算法执行后一定产生确定的结果
A.1个
B.2个
C.3个
D.4
个
2.如图所示的程序框图,若输出的S＝41,则判断框内应填入的条件是
A.k>3
B.k>4
C.k>5
D.k>6
(第2题图)
3.已知x,y 满足约束条件⎩⎨⎧
x －y ≥0，
x ＋y －4≤0，
y ≥1，
z ＝－2x ＋y 的最大值是 A.-1 B.-2
C.-5
D.1
4.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如 16＝3＋13,在不超过16的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于16 的概率是
A.2
15
B.
221
C.
17
D.
328
5.过点(-1,3)且平行于直线x-2y ＋3＝0的直线方程为 A.2x ＋y-1＝0 B.x-2y ＋7＝0
C.x-2y-5＝0
D.2x ＋
y-5＝0
6.点P(1,-3)则它的极坐标是 A.(2,3
π
) B.(2,
34π) C.(2,-3π
) D.(2,-3
4π)
7. 设双曲线()22
2109
x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为
A.4
B.3
C.2
D.1
8.若圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)25-+-=-C x y m 外切,则m ＝ A.9
B.19
C.21
D.﹣11
9.已知a >0,x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ≥1，
x ＋y ≤3，
y ≥a (x －3)，
若z ＝2x ＋y 的最小值为1,则a ＝
A.14
B.1
2 C.1 D.2
10.已知正方形ABCD 的边长为2, H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P,则满足|PH|<2的概率为 A.8
π B.
18
4
π
+
C.
4π D.144
π+
11. 在极坐标系中,已知点A(-2,-
2
π
),B(2,
4
3π
),O(0,0),则ABO ∆为 A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角等腰三角形 D.等腰直角三角形
12.过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点作x 轴的垂线,交C 于A,B 两点,直线l 过C 的
左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点,则C 的离心率的取值范围是
A.⎛ ⎝
B.⎫⎪⎪⎭
C.⎛ ⎝
D.⎫
⎪⎪⎭
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,其上的点P(m,-3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为
14. 已知直线y ＝k(x ＋4)与曲线y =有两个不同的交点,则k 的取值范围是
________
15.a 为如图所示的程序框图中输出的结果,则化简
cos()a πθ-的结果是________
(15题图)
16.过椭圆22
13627
x y +=上一点P 分别向圆()221:34C x y ++=和圆()222:31C x y -+=作切
线,切点分别为M 、N,则22
2PM PN +的最小值为___________ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点,求双曲线的标准方程和渐近线方程。

18.(12分) 设P 是抛物线24y x =上的一个动点,F 为抛物线的焦点. (1)若点P 到直线x ＝-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|＋d 的最小值; （2）若B(3,2),求|PB|＋|PF|的最小值.
19. (12分) 已知椭圆C:22416+=x y 和点M(2,1). (1)求椭圆C 的焦点坐标和离心率;
(2)设直线l:x ＋2y-4＝0与椭圆C 交于A ,B 两点,求弦长|AB|;
（3）求通过M 点且被这点平分的弦所在的直线方程.
20.(12分) 已知集合Z ＝{(x ,y )|x ∈[0,2],y ∈[－1,1]}. (1)若x ,y ∈Z ,求x ＋y ≥0的概率; (2)若x ,y ∈R ,求x ＋y ≥0的概率
21.(12分)已知圆()()2
2
:1225C x y -+-=和直线l:(2m ＋l)x ＋(m ＋l)y-7m-4＝0. (1)证明:不论m 为何实数,直线l 都与圆C 相交于两点;
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时直线l 的方程;
(3)已知点P (x,y)在圆C 上,求22x y +的最大值.
22.(12分)已知椭圆C:
22
22
10)
x y
a b
a b
+=>>
（的左焦点为F(-3,0),过点F做x轴的垂线交
椭圆于A、B两点,且|AB|＝1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若P为椭圆C短轴的上顶点,直线l不经过P点,且与C相交于M、N两点,若直线PM 与直线PN的斜率的和为-1,问:直线l是否过定点？若是,求出这个定点,否则说明理由.
高二年级数学期中考试试题答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.B
6.C
7.C
8.A
9.B 10.B 11.D 12.A 13.x ＝ -8y 14.303，
⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
15.cosθ 16.90 17.双曲线的标准方程为:-＝1;渐近线方程为:y ＝±x
18.(1)依题意,抛物线的焦点为(1,0)F ,准线方程为1x =-. 由已知及抛物线的定义,可知||PF d =, 于是问题转化为求||||PA PF +的最小值. 由平面几何知识知,
当F ,P ,A 三点共线时,||||PA PF +取得最小值, 最小值为||5AF =
,即||PA d +的最小值为5.
(2)把点B 的横坐标代入24y x =中,得23y =±, 因为232>,所以点B 在抛物线的内部.
过B 作BQ 垂直准线于点Q ,交抛物线于点1P (如图所示).
由抛物线的定义,可知11
PQ PF =, 则11
||||
||314PB PF PB PQ BQ ++==+=, 所以||||PB PF +的最小值为4. 19.(1)焦点坐标:(±2
,0) , e ＝
(2)联立方程组,整理,解得 A(0,2),B(4,0), 故|AB|＝2
(3)由点差法,计算出所求弦的斜率为-,故所求弦的直线方程为x ＋2y-4＝0
20.(1)设"x+y 0,,"x y Z ≥∈为事件,,A x y Z ∈, []
0,2x ∈, 即[]
0,1,2;1,1x y =∈-,即1,0,1y =-.
则基本事件有: ()()()()()()()()()0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,2,1,2,0,2,1---共9个,其中满足的基本事件有8个,所以()89p A =
.故,,0x y Z x y ∈+≥的概率为89
.
(2)设"0,,"x y x y R +≥∈为事件B ,因为][0,2,1,1x y ⎡⎤∈∈-⎣⎦,则基本事件为如图四边形
ABCD 区域,事件B 包括的区域为其中的阴影部分.
()11
-1122-11
722===228
ABCD ABCD
ABCD S S p B S S ⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯四边形阴影四边形四边形,
故",0"x y R x y ∈+≥，的概率为
7
8
. 21.解:(1)因为()():211740l m x m y m +++--=
所以()()2740x y m x y +-++-=令27040x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩解得3
1x y =⎧⎨=⎩
所以直线l 过定点()3,1. 而()()2
2
311225-+-<,即点()3,1在圆内部.
所以直线l 与恒交于两点.
(2)过圆心()1,2与点()3,1的直线1l 的方程为15
22
y x =-
+, 被圆 C 截得的弦长最小时,直线l 必与直线1l 垂直,所以直线l 的斜率2k =, 所以直线l 的方程为()123y x -=-,即250x y --=.
(3)因为2222(0)(0)x y x y +-+-=,表示圆上的点(),x y 到()0,0的距离的平方, 因为圆心到原点的距离22125d +=所以2a 2m x 2)(55)30105(+==+x y 22.解:(1)由题意可知3c =令x c =-,代入椭圆可得2
b
y a
=±,
221b a
∴=
又2
2
3a b -=,两式联立解得:2
4a =,2
1b =,2
214
x y ∴+=;
(2)①当斜率不存在时,设x t =,(),M M t y ,(),M B t y -
112
1M M PM PN y y k k t t t
----+=
+==-, 得2t =,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足题意.
②当斜率存在时,设:(1)l y kx m m =+≠±,()()1122,,,M x y N x y , 联立22
440
y kx m
x y =+⎧⎨
+-=⎩,整理得(
)2
2
2148440k
x
kmx m +++-=,
所以122814km x x k -+=
+,2122
44
14m x x k -⋅=+, ()()212121
121212
11PA PB x kx m x x kx m x y y k k x x x x +-++---+=
+⋅=, 1m ≠±,21m k ∴=--
此时64k ∆=-,存在k 使得>0∆成立.
∴直线l 的方程为21y kx k =--,即(2)(1)0k x y -++=, 当2x =,1y =-时,上式恒成立, 所以l 过定点(2,1)-.。