新课标高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数Ⅰ2.5指数函数课件理

类型一 指数幂的运算
(1)化简求值：－287－23＋(0.002) －12－10( 5－
2)－1＋( 2－ 3)0；
(2)化简：（a
2 3
·b1） 12
·a
1 2
1
·b3
；
6 a·b5
(3)已知 a12＋a-12＝3，则aa2＋＋aa－－12＋＋11＝________.
第十一页，共27页。
解：(1)原式＝－287－32＋5100－12－ 51－0 2＋1＝－28723＋50012－
解 ： 若 0<a<1 ， 则 f(x)在 区 间 [ － 1 ， 0]上 为 减 函 数 ， 即
a－1＋b＝0， a0＋b＝－1，
解得a＝21， b＝－2.
若 a>1，则 f(x)在区间[－1，0]上为增函数，即aa0－＋1＋b＝b＝0，－1，
无解．
所以 a＋b＝12－2＝－32.故填－32.
第十页，共27页。
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
解：由图象知 f(x)是减函数，所以 0＜a＜1，又由图象在 y 轴的截距小于 1 可知 a－b＜1，即－b＞0，所以 b＜0.故选 D.
第十六页，共27页。
(2)(2015·湖南)若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实 数 b 的取值范围是________．
④0 的 n(n∈N*)次方根是式子n a叫做根式，这里 n 叫做
，a 叫做
．
(3)根式的性质：n 为奇数时，n an＝
；
n 为偶数时，n an＝
.
第二页，共27页。
2．幂的有关概念及运算
(1)零指数幂：a0＝
.这里 a
0.
(2)负整数指数幂：a－n＝
m
(3)正分数指数幂：a n ＝ (4)负分数指数幂：a-mn ＝
(2)若不等式 1＋2x＋4x·a>0 在 x∈(－∞， 1]时恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
第二十五页，共27页。
解：(1)要使函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2，2]上的函数值总小于 2，
只需 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－2，2]上的最大值小于 2.
当 a>1 时，f(x)max＝a2<2，解得 1<a< 2；当 0<a<1 时，f(x)max＝a－2<2，
第二十六页，共27页。
1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数 a 的取值范 围不确定，则要对其进行分类讨论．
2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相 同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同， 可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象； 如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量． 3 ． 作 指 数 函 数 y ＝ ax(a ＞ 0 ， 且 a≠1) 的 图 象 应 抓 住 三 个 点
所以 f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知1ax＋1bx－m≥0 在 x∈(－∞，1]时恒成立可化为 m≤12x＋13x在 x∈(－∞，1]时恒成立．
令 g(x)＝12x＋13x，
则 g(x)在(－∞，1]上单调递减， 所以 m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56，
故所求实数 m 的取值范围是－∞，56.
3．指数函数的图象及性质
定义
一般地，函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)叫做指数函数
a＞1 图 象
0＜a＜1
定义域 值域
性质
__________
__________ 过定点_____________
在 R 上是______
在 R 上是______
第四页，共27页。
自查自纠
1．(1)n 次方根 ①正 负 n a
x2，x≥1，
成立的 x 的取值范围是________．
解：当 x<1 时，ex－1≤2，即 ex－1≤eln2，得 x≤1＋ln2，
1
1
所以 x<1；当 x≥1 时，x2≤2＝42，得 x≤4，所以 1≤x≤4.
综上，x≤4.故填(－∞，4]．
第九页，共27页。
(2015·山东)已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域 和值域都是[－1，0]，则 a＋b＝________.
第十三页，共27页。
(1)化简求值：2530＋2－2·241－12－(0.01)0.5；
(2)化简：4a23b－13÷
2 3
1 1
a 3b 3
；
(3)已知 a，b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，且 a＞b＞0，
则
a－ a＋
b＝________. b
第十四页，共27页。
解：(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165.
10( 5＋2)＋1＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
1 1 1 1
(2)原式＝ a
3·b 2·a 2·b3
15
1 1 1 11 5
a 3 2 6 ·b 2 3 6
a 6·b6
＝1a.
(3)将 a12＋a－12＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，所以 a＋a－1＝7.
将 a＋a－1＝7 两边平方，得 a2＋a－2＋2＝49，所以 a2＋a－2＝47，所以 aa2＋＋aa－－12＋＋11＝477＋＋11＝6.故填 6.
－1，a1，(0，1)，(1，a)．
第二十七页，共27页。
第第二一章章
函数(hánshù)的概念、基本初等函数 集合与(常há用ns(hcùh)á(nⅠɡ y)ònɡ)逻辑用语 及函数(hánshù)的应用
2．5 指数函数(zhǐ shù hán shù)
第一页，共27页。
1．根式
(1)n 次方根：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的
，其中 n＞1，且 n∈N*.
解得
2 2 <a<1.
所以 a∈ 22，1∪(1， 2)．
故填 22，1∪(1， 2)． (2)从已知不等式中分离出实数 a，得 a>－[14x＋12x]． 因为函数 y＝14x和 y＝12x在 R 上都是减函数，所以当 x∈(－∞，1] 时，14x≥14，12x≥12，所以14x＋12x≥14＋12＝34， 从而得－41x＋12x≤－34.故 a>－34.故填－34，＋∞.
(1)试确定 f(x)；
(2)若不等式1ax＋1bx－m≥0 在 x∈(－∞，1]时恒成立，
求实数 m 的取值范围．
第二十二页，共27页。
解：(1)因为 f(x)＝b·ax 的图象过点 A(1，6)，B(3，24)，
所以bb· ·a3a＝＝264，，
① ②
②÷①得 a2＝4，又 a>0 且 a≠1，所以 a＝2，b＝3，
(2)原式＝（-6）a
2 3
1 3
·b
1 3
1 3
＝－6a.
(3)由已知得，a＋b＝6，ab＝4，
所以
a－ a＋
bb2＝aa＋＋bb＋－22
aabb＝66－ ＋44＝15.
因为 a＞b＞0，所以
a＞
b，所以
a－ a＋
b＝ b
55.故填
55.
第十五页，共27页。
类型二 指数函数的图象及应用
(1)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常 数，则下列结论正确的是( )
第十八页，共27页。
(1)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
第十九页，共27页。
解：f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于 y 轴 对称，又 e|x|≥1，所以 f(x)的值域为(－∞，0]， 因此排除 B、C、D，只有 A 满足．故选 A.
第二十页，共27页。
(2)(2017·福建五校联考)定义运算 a⊕b＝ab， ，aa≤ ＞bb， ， 则函数 f(x) ＝1⊕2x 的图象是( )
A．－15
B．10 C．15
D．25
解：原式＝－(10－2)－12＋(5－1)－2＝－10＋52＝15. 故选 C.
第六页，共27页。
函数 y＝ax－3＋3(a＞0 且 a≠1)的图象过定
点( )
A．(3，3)
B．(3，4)
C．(0，3)
D．(0，4)
解：当 x＝3 时，无论 a 取何值 y＝4，故过定点(3， 4)．故选 B.
①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个 数，负数的 n 次方根是一个
数，这时 a 的 n 次方根用符号
表示．
②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有
个，这两个数互为
．这时，
正数 a 的正的 n 次方根用符号
表示，负的 n 次方根用符号
表示．正
的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成
．
③负数没有偶次方根．
第七页，共27页。
(2016·北京)已知 x，y∈R，且 x>y>0，则( )
A.1x－1y>0
B．sinx－siny>0
C.12x－12y<0
D．lnx＋lny>0
解：y＝12x单调递减，所以12x－12y<0⇔x>y.
故选 C.
第八页，共27页。
ex－1，x＜1，
设函数 f(x)＝ 1
则使得 f(x)≤2
②两
相反数
n a
－n a
n ±a
④0
n 0＝0
(2)根指数 被开方数 (3)a |a|
2．(1)1
≠
1 (2)an
n (3)
am
(5)0 没有意义 (6)ar＋s ars
1 (4)
n am
arbr
3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数
第五页，共27页。
－(0.01)－0.5＋0.2－2＝( )
第二十三页，共27页。
【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟 练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在 R 上单调，过定点等；对于底数 a 与 1 的大小关系不 明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结 合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应 用．
第二十四页，共27页。
(1)若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在 [－2，2]上的函数值总小于 2，则实数 a 的取值 范围是________．
第十二页，共27页。
【点拨】指数幂运算的一般原则：(1)指数幂 的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数 幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指 数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确 定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分 数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有 根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
(a≠0，n∈N*)． (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)．
(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)．
(5)0 的正分数指数幂等于
，0 的负分数指数幂
．
(6)有理指数幂的运算性质
aras＝
（a＞0，r，s∈Q），
（ar）s＝
（a＞0，r，s∈Q），
（ab）r＝
（a＞0，b>0，r∈Q）.
第三页，共27页。
解：因为当 x≤0 时，2x≤1；当 x>0 时，2x>1. 则 f(x)＝1⊕2x＝21x，，xx＞≤00，， 图象 A 满足．故选 A.
第二十一页，共27页。
类型三 指数函数的综合问题
已知函数 f(x)＝b·ax(其中 a，b 为常数，且 a>0， a≠1)的图象经过点 A(1，6)，B(3，24)．
解：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2| ＝b，令 y＝|2x－2|，y＝b，其函数图 象有两个交点，结合函数图象可知， 0<b<2，即 b∈(0，2)．故填(0，2)．
第十七页，共27页。
【点拨】①对于有关指数型函数的图象问题，一般是 从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称 变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时 应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解， 往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．