高中数学知识点总结与题库(数列)

数 列
二、重难点击
本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。

注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

知识网络
第一课时 数列
四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=n
i i n n
a a a a a S 1
321
2．⎩⎨
⎧≥-==-2
11
1
n S S n S a n n n
课前热身
3．数列
{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( B )
A ．第４项
B ．第５项
C ．第６项
D ．第７项 4．已知数列
{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是),3(+∞-
5．数列{}n a 的前n 项和142
+-=n n S n ,，则⎩⎨
⎧≥-=-=2
5
21
2
n n n a n 数列与正整数集关系
等差数列
等比数列
特殊数列求和方法
公式法
倒序相加法 错位相减法 裂项相消法
n 定义
通项公式中项
前项的和
递推公式
通项公式 数列
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…
⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为
),110(97-⨯),110(972-)110(973-，, )110(9
7
-n ⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。

可得数列的通项公式为
2
)1(1n
n n a -++=
点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二 应用⎩⎨
⎧≥-==-)
2()1(1
1
n S S n S a n n n 求数列通项
例2．已知数列
{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.
⑴23-=n n S
解析：⑴当123,1111=-===S a n 时，
当)23()23(,211---=-=≥--n n n n n
S S a n 时
132-⋅=n
又11
=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==-)
2(3
2)
1(1
1
n n a n n
三、利用递推关系求数列的通项 【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式
⑴141
,2
1211-+
==
+n a a a n n
解析：⑴因为141
21-+=+n a a n n ，所以
)1
21
121(2114121+--=-=-+n n n a a n n
所以)31
11(2112-=-a a
)51
31(2123-=-a a
43111
()257
a a -=-
…，…，
1111()22321
n n a a n n --=
--- 以上)1(-n 个式相加得
)1
211(211--=
-n a a n 即：2
43
42411--=--=n n n a n
点拨：在递推关系中若
),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若
),(1
n f a a n
n =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

课外练习
3设1
212111++++++=
n n n a n ，(*
∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( C ) A ．n n a a >+1 B ．n n a a =+1 C ．n n a a <+1
D ．不能确定
解：因为
02213211
1
3212211<+-+=+-
+++=
-+n n n n n a a n n
所以n n a a <+1，选Ｃ．
二、填空题
5．已知数列
{}n a 的前n 项和，
142+-=n n S n 则⎩⎨⎧
≥-=-=)
2(,52)
1(,2n n n a n
7．已知数列
{}n a 的通项9998
--
n n （*
∈N n ），则数列
{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是910a a ，
解：构造函数
99
9899199
98--+
=--=
x x x y
由函数性质可知，函数在)99(，-∞上递减，且1<y 函数在）
，＋∞99(
上递增且1>y
最小
最大，）
，又9109
21301211101109(99a a a a a a a a a ∴>>>>>>>>>∴∈ 三、解答题
6.2等差数列
知识要点
2．递推关系与通项公式
m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m
n
n n m n n n n --=--=
--=-+=-+==-+1;
)1()()1(1
111变式：推广：通项公式：递推关系：
为常数）
即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),
(1+==-+=
),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成
等差数列的充要条件。

３．等差中项：
若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2
c
a b +=
；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。

４．前n 项和公式
2
)(1n a a S n n +=
； 2)1(1d
n n na S n -+=
)
,()(,)2(22
212为常数即特征：B A Bn
An S Bn An n f S n d
a n d S n n n +=+==-+=
是数列
{}n a 成等差数列的充要条件。

5．等差数列
{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中
⑴q p n m a a a a q p n m +=++=
+，则若反
之，不成立。

⑵d m n a a m n
)(-=- ⑶m n m n n
a a a +-+=2
⑷n n n n
n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等
差数列
②中项法：
)22
1*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数
列
③通项公式法：
),(为常数b k b
kn a n +=⇒{}n a 是等差数
列
④前n 项和公式法：
),(2为常数B A Bn
An S n +=⇒{}n a 是等
差数列 课前热身 2．等差数列
{}n a 中，
)
(3
1
,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
165
1203232)(32)
2(3
1
318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a
解。

3．等差数列
{}n a 中，12910S S a =>，，则前
10
或11项的和最大。

解：0912129
=-=S S S S ，
003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，
∴
{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。

4．已知等差数列
{}n a 的前10项和为100，前100项和
为10，则前110项和为－110 解：∵
，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---
成等差数列，公差为D 其首项为
10010=S ，前10项的和为10100=S 110
2210101001022102
9
101010011010100110
-=-⋅++=∴+=--=∴=⨯⨯+⨯∴）（又，S D
S S S D D 102
10102)10(29840242)1(129850max 22
==+--=-+-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡
⨯-+--=y n n n n n n n n y 时，所以当
６．设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，已知
001213123<>=S S a ，，
①求出公差d 的范围，
②指出1221S S S ，，
， 中哪一个值最大，并说明理由。

d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n
解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=
3
7
243
08240)82(2
13
)(213
2)(137
2407240
)72(63113131133-<<--<∴<+∴<+=+=+=
-
>∴>+∴>+=d d d d a a a a a S d d d a 从而又 ②
最大。

，66771376120
00130
)(6S a a a S a a S ∴><∴<=>+=
课外练习 一、 选择题 1． 已知
{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前
10
项的和7010
=S ，则其公差d 等于( D )
3
23
1
31
3
2．．．．D C B A -- 2． 已
知
等
差
数
列
{}
n a 中，
12497116a a a a ，则，===+等于（ A ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
15
1212
497=∴+=+a a a a a 解：
二、填空题 3． 设
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，
971043014S S S S ，则，=-==54
4． 已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n
S ，若
=+++=118521221a a a a S ，则
5． 设F 是椭圆16
72
2=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点
,),2,1(321F P F P F P i P i ，，
使=
组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为
⎥⎦
⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-10100101，， 解：椭圆的焦点F 到椭圆上的点最大、最小距离分别为）
和（17)17(
-+，由题意得： 101001010
101
20
11
2
17)117≤
<<≤-∴≠≤∴≥--=
∴+=-+-d d d d n n d d n 或，又（）（ 三、解答题 6． 等差数列
{}n a 的前n 项和记为n
S ，已知
50302010==a a ，
①求通项n a ；②若n S =242，求n 解：d n a a n
)1(1-+=
1022
12501930
950
3011
1
2010+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组， 由2
)1(1d
n n na S n -+
=，n S =242 舍去）
或解得(2211242
22
)
1(12-===⋅-+
∴n n n n n 7． 甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运
动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多
走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：①设n 分钟后第一次相遇，依题意有：
舍去），解得(20770
52
)
1(2-===+-+
n n n n n n 故第一次相遇是在开始运动后7分钟。

②设n 分钟后第二次相遇，则：
舍去），解得(281570
352
)
1(2-==⨯=+-+
n n n n n n 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列
{}
n a 中，
，31=a 前n 和
1)1)(1(2
1
-++=
n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列
②求数列
{}n a 的通项公式
③设数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实
数M ，使得M T n
≤对一切正整数n 都成立？若存
在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。

解：①∵1)1)(1(2
1
-++=
n n a n S []n
n n n n n n n n n n
n n n n a n a n na a n a n a n a n na a n a n S S a a n S )1()2()1(1)2()1(1
)1()1)(1()1)(2(2
1
1)1)(2(2
1
11212111111+-+=-+∴-+=+∴-+=++-++=
-=∴-++=∴+++++++++++整理得，
n
n n n n n a a a a a n a n +=∴++=+∴++++21212))(1()1(2
∴数列
{}n a 为等差数列。

②1)1(311-+==+n n a n na a ，
{}1
22)1(3)1(22
51211212+=⋅-+=-+=∴=-∴=-=∴n n d n a a a a a a a n n 的公差为即等差数列
③)
32)(12(1
11++=
+n n a a n n
61
)3
2131(21)
321
12171515131(2132112121<
∈+-=+-+++-+-=∴⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-+=
*n n T N n n n n T n n 时，又当 要使得M T n
≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥
6
1
，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为6
1。

6.3等比数列
知识要点
1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为
)0≠q q ，（。

2． 递推关系与通项公式
m
n m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3． 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为
c a 与的等比中项，且为ac
b a
c b =±=2
，注：是成等比数列的必要而不充分条件。

4． 前n 项和公式
)1(11)1()1(111
≠⎪⎩⎪
⎨⎧--=
--==q q q
a a q
q a q na S n n n
5． 等比数列的基本性质，),,,(*
∈N q p n m 其中
①
q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若反之
不真！ ②)(2
*+--∈⋅==
N n a a a a a q
m n m n n m
n m
n ， ③
{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项
成等比数列。

④
，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍
成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化 ①
{}n a 是等差数列⇔{}
)10(≠>c c c n
a ，是
等比数列；
②
{}
n a 是正项等比数列
⇔{}
)10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；
③
{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各
项不为零的常数列。

7． 等比数列的判定法 ①定义法：
⇒=+（常数）q a a n
n 1
{}n a 为等比数列；
②中项法：⇒≠⋅=++)0(2
2
1n n n n a a a a {}n a 为
等比数列；
③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a n n
,({}
n a 为等比数列；④前
n
项和法：
⇒-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数
列。

1． 10
31074
2
222
2)(++++++=n n f 设
)18(7
2)18(72)18(72)18(72)()(431----∈+++*n n n n D C B A D n f N n ．．．．）
（等于，则
2． 已知数列
{}
n a 是等比数列，且
===m m m S S S 323010，则，70 （问题引入）
猜想：{}n b 是等比数列，公比为21。

证明如下：∵4
1
21412121
-=-=++n n n a a b
n
n n b a a 2
1)41(214
1
)41(211212=-=-+=
--
即：
2
11=+n n b b ，∴{}n b 是首项为41
-a ，公比
为2
1
的等比数列。

二、性质运用
例2：⑴在等比数列
{}
n a 中，
143613233+>==+n n a a a a a a ，，
①求n a ， ②若n n n
T a a a T 求,lg lg lg 21+++=
⑵在等比数列
{}n a 中，若015
=a ，则有等式
n
n a a a a a a -+++=+++292121 )29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的
在等比数列{}n b 中，若119=b 则有等式 成立。

解：⑴①由等比数列的性质可知：
n
n n a q q a a a a a a a a a a a a --=⋅==∴====>=+=⋅=⋅615166
16
16143612)2
1
(322
1
3213211
323332所以，，即所以
，解得，又
②由等比数列的性质可知，
{}n a lg 是等差数
列，因为
2
lg 2
)
11(2)lg (lg 2lg 5lg 2lg )6(2lg lg 116n n n a a T a n a n n n n -=+==-==-所以，
⑵由题设可知，如果
0=m a 在等差数列中有
n m n a a a a a a --+++=+++122121 )12(*∈-<N n m n ，成立，我们知道，如果
q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，而对于
等
比
数
列
{}
n b ，则有
q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若所以可以得
出结论，若
n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-<N n m n ，成立，在本题中
n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ，
点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。

典例精析
一、 错位相减法求和 例1：求和：n n a
n
a a a S ++++= 32321 解：⑴
2
)
1(3211+=
+++==n n n S a n 时， ⑵01
≠≠a a 时，因为 n n a n
a a a S ++++= 32321 ① 1
321211++-+++=n n n a n
a n a a S a ②
由①－②得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠----=+=----=
---=-+++=-++)
1)1()1()1()1(2)1()1()
1()1(11)
11(1111)11(2211
2a a a a n a a a n n S a a a n a a S a n a
a a
a
n a a a S a n n
n n n n n n n n n 综上所述，
所以
点拨：①若数列
{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求数列
{}n n b a ⋅的前n 项和时，可采用错位
相减法；
②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为
1进行讨论；
③当将n S 与q n S 相减合并同类项时，注意错
位及未合并项的正负号。

二、 裂项相消法求和 例
2
：
数
列
{}
n a 满足
1a =8，
022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ）
①求数列
{}n a 的通项公式；
则21
41
4-=--=
a a d
所以，n a =8＋（n －1）×（－2）＝―10－2n
②32)2(41)1(4183)2111211(41)211()4121()3111(41)21
1(41)
2(21
)14(121m n n n n n n b b b T n n n n a n b n
n n n >+-+-=+-+-+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-++-+-=
+++=+-=
+=
-= 所以
对一切*
∈N n 恒成立。

3
16
31621811812)2
8
18122
81812min <
=
+-+-=
+-+-∈∈+-+-
<∴**m n n N n N n n n m 所以，（对恒成立。

对一切故
m 的最大整数值为5。

点拨：①若数列
{}
n a 的通项能转化为
)()1(n f n f -+的形式，常采用裂项相消法求和。

②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，
消去了哪些项，保留了哪些项。

三、 奇偶分析法求和 例3：设二次函数[]1)(2+∈+=n n x x x x f ，，当
1． 在等差数列
{}n a 中，1a =1，前n 项和n S 满足
，，，211
2
42=++=n n n S S n n ①求数列{}n a 的通项公式
②记)0(>=p p a b n a n n ，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

解：①设数列
{}
n a 的公差为d ，由
，，，2112
42=++=n n n S S n n 1
)1(22
)(22)(12412311212212
1+++=
+++=
=++=-===+n n n n n n
a n a n
a a n
a nd a S S n n a a d a a a a 又
即，所以得
所以n a =n ②由)0(>=p p a b n a n n
，有n n np b =
所以n n
np p p p T ++++= 3232 ①
2
)
1(1+=
=n n T p n 时，当 时，
当1≠p 132)1(2++-+++=n n n np p n p p pT ②
①－②得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≠----=+=----=---=-+++=-++++)
1(1)1()1()1(2
)1(1)1()1(1)
1()1(121
2
1
1
2p p np p p p p n n T p np p p p T np p
p p np p p p T p n n
n n n n n n n n n 即：所以
课外练习 １． 数列
{}
n a 的前
n
项和为
n S ，若
5)
1(1
S n n a n ，则+=
等于（ B ）
6
5)
61
51()3121()2111(1
1
1)1(130
1
616
51
5=-++-+-=+-
=+= S n n n n a D C B A n 所以解：因为．．
．
．
４．)(x f 的定义域为R ，且)(x f 是以2为周期的周期函数，数列
{}n a 是首项为)(*∈N a a
，公差为
1的等差数列，那么)()()(1021a f a f a f +++ 的值为（ C ）
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．10a 解：因为函数)(x f 的定义域为R ，且)(x f 是
以2为周期的周期函数， 所以
)()2(00(x f x f f =+=，且）
又数列
{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列
[]0
)1()
1()1()1()21()1()1(5)1()0(5)1(5)(5)
()()()1()()(11021==-=+--=+=++=+++⎩⎨
⎧+=∈-+=*f f f f f f f f f a f a f a f a f a f n a f n a f a f N a n a a n n 即所以又所以为偶数）
（为奇数）
（，又所以
故原式=0，选C 。

二、填空题 ５．设等比数列
{}n a 的公比与前n 项和分别为q 和
n S ，且q ≠1，8
18102010=
+=q
S
S ，则
8
1)1(8)
1(1()1(18
21)
1(1010
20
10101010102012111020102011020101==++=+=++++==-+-=+∴=--S q S q S S q S a a a S S q q q a q S q a 所以
方法二、）方法一、
6．数列
{}n a 满足1212
1
n n a n n n =
+++
+++， 1
2n n n b a a +=
又，则数列
{}n b 的前n 项和为
1
8+n n
1(12)12n n a n n =
+++=+解： 128(1)n n n b a a n n +==+= 118(1
n n -+） 1211
11118()()()12231188111n
b b b n n n n n +++⎡⎤=-+-++-⎢⎥
+⎣⎦
⎡
⎤=-=⎢⎥++⎣⎦所以７．数列 ，，，，，，，，，，4
141414131313121211
的前100项的和为14
913。

（*
∈N n ）
典例精析
一、 函数与数列的综合问题
的等差数列。

，公差为是首项为，，，设，
且：已知例24)()()()()10(log )(121*∈≠>=N n a f a f a f a a x x f n a ①设a 是常数，求证：{}n a 成等差数列；
②若)(n n n
a f a
b =，{}n b 的前n 项和是n S ，当2=a 时，求n S
解：①222)1(4)(+=⨯-+=n n a f n ，
{}为等比数列。

所以为定值所以，所以即n n n n n n n n a a n a a
a a a a a n a )2(22log 222212
2≥===+=+-+
②)(n n n
a f a
b =
3
3
143254332542
5432
222
2222222)1(2
1)21(2162)1(222222)1(2232222)1(2423222)1()2()22(2)22(log ++-++++++++++⋅=⋅+---+=⋅+-++++⋅=-⋅++⋅++⋅+⋅=⋅+++⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅+==+==n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n S n n S n n S n S n n b a a n a a 所以两式相减得
时，
当 点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特 征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。

１． 已知正项数列
{}n a 的前n 项和为n S ，2)1(4
1
+n n a S 与是的等比中项，
①求证：数列
{}n a 是等差数列；
②若n
n
n a b 2=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ③在②的条件下，是否存在常数λ，使得数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧++2n n a T λ为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由。

解：①
2)1(4
1
+n n a S 与是的等比中项，
)2)(()22(4
1)1(4
121
)1(41
1)1(4
1
1112
121
2
1112112=--+-+-=
-=+=≥=∴+==+=
-------n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a S S a a S n a a a n a S 即所以时，当，时，当所以
2
02011=-=-->--n n n n n a a a a a 即：，所以因为
所以数列
{}n a 是等差数列。

②n
n n T 23
23+-
=
321
)2
323(2+⨯++-=++n n a T n
n n λλ n n 2
1
323-++=
λ
所以当且仅当3+λ=0，即λ=－3时，数列
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++2n n a T λ为等比数列。

２． 已知在正项数列
{}n a 中，1a =2，且
）
，1(+n n n a a A 在双曲线12
2=-x y 上， 数列{}n b 中，
点（n b ，n T ）在直线12
1
+-=x y 上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和，①求数列{}n a 的通项公式；②求证：数列{}n b 是等比数列。

③若n n n n n
C C b a C <⋅=+1，求证：。

解：①由已知带点）
，1(+n n n a a A 在12
2=-x y 上知，
1+n a －n a ＝１，所以数列{}n a 是以2为首项，以1为公差的等差数列。

所以1)1(1+=-+=n d n a a n
②因为点（n b ,n T ）在直线12
1
+-
=x y 上，
1111
1
1
21
1211
22
n n n n n n n n n T b T b b T T b b ----=-+=-+=-=-+所以所以两式相减得：
{}111111
3
12
1123
23
1
3
212
()333
n n n n n n
b b n b b b b b --===-+=
=⋅=所以，
令得，所以所以是一个以为首项，以为公比的等比数列。

所以 ③n
n n n n b a C 32
)1(⋅
+=⋅=
n
n n n
n n n C C n n n C C <<--⋅=
+-⋅
+=-++++11
1
10)12(32
32)
1(32)2(所以所以
一、选择题
1.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n
n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，
2123221l o g l o g l o g n a a a -++
+=
A. (21)n n -
B. 2(1)n +
C. 2
n D. 2(1)n -
【解析】由252
5
2(3)n n a a n -
⋅=≥得n n
a 22
2=，0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.
答案 C
2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 6
3S S =3 ，则 69S S =
A. 2
B. 7
3 C. 83 D.3
【解析】设公比为q ,则363
33
(1)S q S S S +=＝1＋q3＝3 ⇒ q3＝2
于是63693112471123
S q q S q ++++===++
【答案】B
14.(2009湖北卷理)已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,2
31,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有
可能的取值为__________。

答案 4 5 32
解析 （1）若1
a m =为偶数，则12a 为偶, 故223 a 224a m m
a ===
①当4m 仍为偶数时，46832m m a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 故132
32m
m =⇒=
②当4m 为奇数时，4333114a a m =+=+63
144m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
故3
1414m +=得m=4。

（2）若
1a m =为奇数，则213131a a m =+=+为偶数，故
331
2m a +=
必为偶数
63116m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
，所以31
16m +=1可得m=5
16.（2009陕西卷文）设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a = .
解析:由
6312a s ==可得{}n a 的公差d=2,首项1a =2,故易得n a =2n.
答案:2n
17.(2009陕西卷理)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则
2lim
n
n S n →∞= . 611223
112512211
(1)lim lim 112122n n n n n a a d a S S n n S n n s a d d n n n n →∞→∞=+==⎧⎧⎧++⇒⇒⇒=+⇒=⇒==⎨⎨⎨=+==⎩⎩⎩解析：
答案：1
22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，
1111
1,(1)2n n n
n a a a n ++==++
（I ）设
n
n a b n =
，求数列{}n b 的通项公式
（II ）求数列
{}n a 的前n 项和n S
分析：（I ）由已知有1112
n n n a a n n +=++11
2n n n
b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列
{}n b 的通项公式:
11
22n n b -=-
(*n N ∈)
（II ）由（I ）知
122n n n a n -=-
,
∴n S =11(2)2n
k k k k -=-∑1
11(2)2n n
k k k k k -===-∑∑
而1
(2)(1)n
k k n n ==+∑,又1
12n
k k k
-=∑是一个典型的错位相减法模型，
易得
1
11242
2n
k n k k
n --=+=-
∑ ∴n S =(1)n n +1
2
4
2n n -++-
23.（2009北京理）已知数集
{}()
1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的
()
,1i j i j n ≤≤≤，
i j
a a 与
j
i a a 两数中至少有一个属于A .
（Ⅰ）分别判断数集
{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；
（Ⅱ）证明：11a =，且12111
12n
n
n
a a a a a a a ---+++=+++；
（Ⅲ）证明：当5n =时，
12345,,,,a a a a a 成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于34⨯与4
3均不属于数集
{}1,3,4，∴该数集不具有性质P.
由于
661236
12,13,16,23,,,,,,
231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6， ∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵{}12,,
n A a a a =具有性质P ，∴n n a a 与n
n a a 中至少有一个属于A ，
由于
121n a a a ≤<<
<，∴n n n a a a >，故n n a a A ∉.
从而1n
n
a A
a =
∈，∴1
1a =. ∵
121n a a a =<<
<， ∴k n n a a a >，故()
2,3,
,k n a a A k n ∉=.
由A 具有性质P 可知()
1,2,3,,n
k a A k n a ∈=.
又∵1
21n n n n
n
n a a
a a a a a a -<<<
<
，
∴21121
1,,,n n n n n n n
n a a
a a
a a a a a a a --====， 从而1211
21
n n n n
n n
n
n a a a a a a a a a a a a --=+++=++++，
∴1211112n
n
n a a a a a a a ---+++=+++.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时，有5523
43,a a
a a a a ==，即2
5243a a a a ==，
∵
1251a a a =<<
<，∴34245a a a a a >=，∴34a a A ∉，
由A 具有性质P 可知4
3a A a ∈.
2
243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3221a a a <=，∴34232a a a a a ==，
∴5342
2
4321
a a a a a a a a a ====，即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.
25（2009江苏卷）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的
组数，其中
{}
,1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的
{}
,1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记
n P 为关于
x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。

（1）求
2
n T 和
2
n P ；
（2）求证：对任意正整数n ≥2，有
11n P n >-
.
【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。

满分10分。

29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列
{}n a ，12,a a a b ==，且对满足m n p q +=+的正整数,,,m n p q 都有
.
(1)(1)(1)(1)
p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=++++
（1）当
14
,25a b ==
时，求通项;n a （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1
.
n a λλ
≤≤
解：（1）由
(1)(1)(1)(1)
p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=
++++得
121
121.(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a --++=++++将1214
,25a a ==代入化简得
1121
.
2n n n a a a --+=
+
所以
1
1111,131n n n n a a a a ----=⋅++
故数列
1{}1n n a a -+为等比数列，从而 11,13n n n a a -=+即31.31n n n a -=+
可验证，
31
31n n n
a -=+满足题设条件. (2) 由题设(1)(1)m n m n a a a a +++的值仅与m n +有关,记为,m n
b +则111.
(1)(1)(1)(1)n n
n n n a a a a b a a a a +++==++++
考察函数
()(0)
(1)(1)a x
f x x a x +=
>++,则在定义域上有
1
,
111
()(),1
2,011a a f x g a a a
a a ⎧>⎪+⎪⎪≥==⎨⎪⎪<<⎪+⎩
故对*
n N ∈，
1()n b g a +≥恒成立.
又
22
2()(1)n
n n a b g a a =
≥+,
注意到
1
0()2g a <≤
,解上式得
1()12()1()12()()
,
()()1()12()
n g a g a g a g a g a a g a g a g a g a ----+-=≤≤-+-
取
1()12()()g a g a g a λ-+-=
,即有 1
.
n a λλ≤≤.
30. (2009湖北卷理)已知数列{}n a 的前n 项和1
1()22n n n S a -=--+（n 为正整数）。

（Ⅰ）令
2n
n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）令
1n n
n c a n +=
，12........n
n T c c c =+++试比较n T 与521n
n +的大小，并予以证明。

解（I ）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得1
112n S a a =--+=，即11
2a =
当2n ≥时，21
111111
()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，， 11n 111
2a (),21
2n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2.
112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b . 又
1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列.
于是
1(1)12,2n n n n n n
b n n a a =+-⋅==∴=
.
(II)由（I ）得
11
(1)()2n n n n c a n n +=
=+，所以
231111
23()4()(1)()2222n
n T n =⨯+⨯+⨯+++K
2341111112()3()4()(1)()22222n n T n +=⨯+⨯+⨯+++K
由①-②得231
11111
1()()()(1)()2
2222n n n T n +=++++-+K 111
11
[1()]
133421(1)()1222123
32n n n n n
n n n T -++-+=+-+=--+∴=-
535(3)(221)
3212212(21)n n n n n n n n n T n n n ++---=--=
+++
于是确定
521n n
T n +与
的大小关系等价于比较221n
n +与的大小
由
2345
2211;2221;2231;2241;225;<⨯+<⨯+<⨯+<⨯+<⨯K 可猜想当322 1.n
n n ≥>+时，
证明如下： 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设1n k =+时1
2
222(21)422(1)1(21)2(1)1k k k k k k k +=>+=+=+++->++g
所以当1n k =+时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切3n ≥的正整数，都有22 1.n
n >+ 证法2：当3n ≥时
01210112(11)2221n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n n --=+=+++++≥+++=+>+K
综上所述，当1,2n =时
521n n T n <
+，当3n ≥时521n n
T n >
+
31.（2009四川卷文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，
对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记
*4()1n
n n
a b n N a +=
∈-。

（I ）求数列
{}n a 与数列{}n b 的通项公式；
（II ）设数列
{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，
请说明理由；
（III ）记
*
221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有
3
2n T <
；
解（I ）当1=n 时，1111
51,4=+∴=-
a S a
又
1151,51++=+=+n n n n a S a S
1111
5,4即
+++∴-==-n n n n n a a a a a
∴数列
{}n a 是首项为
114=-
a ，公比为1
4=-
q 的等比数列，
∴1()4=-n n a ，*14()4()1
1()4+-=
∈--n
n n
b n N …………………………………3分
（II ）不存在正整数k ，使得
4n R k ≥成立。

证明：由（I ）知1
4()5441(4)11()4+-==+----n
n n
n b
2122125
5520151640
8888.(4)1(4)1161164(161)(164)--⨯-+=++=+-=-<-----+-+k k k k k k k k k
b b
∴当n 为偶数时，设
2()n m m N *
=∈ ∴
1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++
++<=
当n 为奇数时，设
21()n m m N *=-∈ ∴
1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=++++
+++<-+=-= ∴对于一切的正整数n ，都有4n R k <
∴不存在正整数k ，使得
4n R k ≥成立。

…………………………………8分
（III ）由
5
4(4)1n n b =+
--得
212221225515161516151615
4141(161)(164)(16)3164(16)16n n n n n n n n n n n n n n
c b b --⨯⨯⨯=+=+==<=
-+-++⨯-又
1221343,,33b b c ==
∴=， 当1=n 时，
13
2T <
，
当2n ≥时，
2
223211[1()]41114161625()25131616
16311614693162513482116n n n T --<
+⨯+++=+⨯
-<+⨯=<-
32.（2009湖南卷文）对于数列
{}n u ,若存在常数M ＞0,对任意的*n N ∈，恒有
1121n n n n u u u u u u M
+--+-++-≤, 则称数列
{}n u 为B -数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为1
2-
的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
（Ⅱ）设
n S 是数列{}n x 的前n 项和.给出下列两组判断：
A 组：①数列{}n x 是B-数列, ②数列{}n x 不是B-数列;
B 组：③数列
{}n S 是B-数列, ④数列{}n S 不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列{}n a 是B-数列，证明：数列
2
{}n a 也是B-数列。

解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{}n a ,则1
1
()2n n a -=-.于是
12211131
()()(), 2.
2222n n n n n a a n -----=---=⨯≥
1121||||||n n n n a a a a a a +--+-+
+-
=2
n 3111122
22⎡⎤⨯+++
+⎢⎥⎣⎦-1（）（）=n 131 3.2⎡
⎤⨯-<⎢⎥⎣⎦（） 所以首项为1，公比为1
2-
的等比数列是B-数列 .
（Ⅱ）命题1：若数列{}n x 是B-数列，则数列{}n S 是B-数列.此命题为假命题.
事实上设n x =1，*n N ∈，易知数列{}n x 是B-数列，但n S =n ，
1121||||||n n n n S S S S S S n +--+-+
+-=.
由n 的任意性知，数列{}n S 不是B-数列。

命题2：若数列
{}n S 是B-数列，则数列{}n x 不是B-数列。

此命题为真命题。

事实上，因为数列{}n S 是B-数列，所以存在正数M ，对任意的*n N ∈，有
1121||||||n n n n S S S S S S M +--+-++-≤,
即
12||||||n n x x x M +++
+≤.于是1121
n n n n x x x x x x +--+-+
+-
11211
2222n n n x x x x x M x +-≤+++
++≤+,
所以数列
{}n x 是B-数列。

（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）
(Ⅲ)若数列{}n a 是B-数列，则存在正数M ，对任意的
,n N ∙
∈有
1121n n n n a a a a a a M
+--+-++-≤.
因为112211
n n n n n a a a a a a a a ---=-++++-+
1122111
n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+. 记1
K M a =+，则有
22111()()
n n n n n n a a a a a a +++-=+-
111()2n n n n n n
a a a a K a a +++≤+-≤-.
因此
222222
1121...2n n n n a a a a a a KM
+--+-++-≤.
故数列{}2
n
a 是B-数列.
33. (2009陕西卷理) 已知数列
{}n x 满足，
*1111,21n n
x x n N x ∈+＋’＝
＝.
()I 猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ)证明：1
112
|()65n n n x x -+-|≤。

证明（1）由
1n+1244n 112513
213821x x x x x x ===+==
+及得，
由
246x x x >>猜想：数列{}2n x 是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k 时命题成立，即
222k k x x +>
易知
20k x >，那么
232122242123212311
11(1)(1)k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--=
-=
++++
=222
22122230
(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++->++++
即
2(1)2(1)2
k k x x +++>
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，
1211
6n n x x x x +-=-=
，结论成立
当2n ≥时，易知
11111
01,12,12n n n n x x x x ---<<∴+<=
>
+
111115
(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----∴++=+
+=+≥+
11111111(1)(1)
n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=
-=
++++
2
n-111221
n-1222555
1265n n n n x x x x x x ---≤
-≤-≤≤-=（）（）（）
35.（2009天津卷理）已知等差数列{
n
a }的公差为d （d ≠0），等比数列{
n b }的公比为q （q>1）。

设n s =11a b +22a b …..+
n n
a b ,n T =11a b -22a b +…..+(-11
)n -
n n
a b ,n ∈N +
若
1a =1b = 1，d=2，q=3，求 3S 的值；
若1b =1，证明（1-q ）2n S -（1+q ）2n T =222(1)
1n dq q q --，n ∈N +；
(Ⅲ) 若正数n 满足2≤n ≤q ，设
1212,,...,,...,12...n n k k k l l
l 和是，，，n 的两个不同的排列，
12112...n k k k n c a b a b a b =+++，
12212...n l l l n
c a b a b a b =+++ 证明
12
c c ≠。

本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能
力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。

（Ⅰ）解：由题设，可得1*
21,3,n n n a n b n N -=-=∈
所以，
311223311335955S a b a b a b =++=⨯+⨯+⨯=
（Ⅱ）证明：由题设可得1n n b q -=则
22121232.....,n n n S a a q a q a q -=++++ ①
232121234232122242.....,2(...)
n n n n n n n T a a q a q a q a q S T a q a q a q --=-+-+--=++- ②
式减去②式，得
式加上②式，得
2
22
2213212(....)
n n
n n S T a a q a q
--+=+++
③
式两边同乘q ，得
3
21
221321()2(....)
n n n n q S T a q a q a q --+=+++
所以，
222222(1)(1)()()n n n n n n
q S q T S T q S T --+=--+ 3212*
2
2()
2(1),1n n d q q q dq q n N
q -=+++-=∈-K
(Ⅲ)证明：
11221212()()()n n k l k l k l n
c c a a b a a b a a b -=-+-++-K
1
1112211()()()n n n k l db k l db q k l db q -=-+-++-K
因为
10,0,d b ≠≠所以
1
12
11221
()()()n n n c c k l k l q k l q db --=-+-++-K
若n n k l ≠，取i=n
若
n n k l =，取i 满足i i k l ≠且,1j j k l i j n =+≤≤
由（1）,(2)及题设知，1i n <≤且
21
12
1122111
()()()()i i i i i i c c k l k l q k l q k l q db -----=-+-+-+-K
当
i i k l <时，得1,1,1,2,3.....1i i i i k l q n k l q i i -≤-≥-≤-=-由，得
即111k l q -≤-，22()(1)k l q q q -≤-…，22
11()(1)i i i i k l q q q -----≤- 又
11(),i i i i k l q q ---≤-所以
121
1211(1)(1)(1)(1)1i i i c c q q q q q q q q db q -----=-+-+--=--K
因此
12120,c c c c -≠≠即
当i i k l >同理可得12
11
c c db -<-，因此1
2c c ≠ 综上，
12c c ≠
37.（2009年上海卷理）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。

若
31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由；
找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈,1
n n
n a b a +=,并说明理由；
若
115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明。

[解法一]（1）由
1m m k a a a ++=，得6531m k +=+， ．
．．．．．2分
整理后，可得
4
23k m -=
，
m 、k ∈N *，∴2k m -为整数，
∴不存在m 、k ∈N *
，使等式成立。

．．．．．．5分
（2）若1n n a b a +=，即1111(1)n a nd
b q a n d -+=+-， （*）
（ⅰ）若0,d =则
1
11n n b q b -==。

当{
n a }为非零常数列，{n b }为恒等于1的常数列，满足要求。

．
．．．．．7分
（ⅱ）若0d ≠，（*）式等号左边取极限得11lim
1
(1)n a nd
a n d →∞+=+-，（*）式等号右边的极限只有当1q =时，才能等于1。

此时等号左边是常数，0d ∴=，矛盾。

综上所述，只有当{
n a }为非零常数列，{n b }为恒等于1的常数列，满足要求。

．．．．．．10分
【解法二】设
{}1
,,n n n n n
a a nd c
b b a +=+=若
且为等比数列
则*221
21
1/,n n n n n n n a a q n N a a qa a a +++++=∈=对都成立，即
2()(2)()dn c dn d c q dn d c ∴+++-++*22....7n N a qd ∈∴=对都成立，分
若d=0，则*
0,1,n n a c b n N =≠∴=∈
若0,d ≠则q=1,n b m ∴=（常数）即dn d c
m
dn c ++=+，则d=0，矛盾
综上所述，有
n n
n n n b a a N b c a =∈=≠=+1
*,
n ,1,0使对一切， 10分
（3）
*,3,14N n b n a n
n n ∈=+= 设
N
m N k p b a a k k p m m m ∈∈==+⋯⋯+++++,,3a *21、.。