八年级课1--全等三角形的概念及性质

全等三角形的概念与性质
一、 全等形及全等三角形概念及性质
下面的图形中，形状和大小完全相同的图形有哪几对？下面的图形中，形状和大小完全相同的图形有哪几对？
答：①和⑥，③和⑦，④和⑨答：①和⑥，③和⑦，④和⑨
判断两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过运动把两个图形叠在一起，看它们是否重合起，看它们是否重合. .
图1 图2 图3 
1．全等形的概念：能够重合的两个图形叫做全等形．全等形的概念：能够重合的两个图形叫做全等形. .
两个三角形是全等形，就说它们是全等．．三角形．．．.两个全等三角形，经过运动后一定重合，后一定重合，互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的顶点叫做对应顶点．．．．；互相重合的边叫做对应边．．．；互相重合的角叫做对应角．．．. 上图1中△中△ABC ABC 和△和△A A 1B 1C 1是全等三角形，记作△是全等三角形，记作△ABC ABC ABC≌△≌△≌△A A 1B 1C 1，符号“≌”表示全等，读作“全等于”表示全等，读作“全等于”..其中A 和A 1、B 和B 1、C 和C 1分别是对应顶点；AB 和A 1 B 1、AC 和A 1C 1、BC 和B 1C 1分别是对应边；∠分别是对应边；∠A A 和∠和∠A A 1 、∠、∠B B 和∠和∠B B 1、∠C 和∠和∠C C 1分别是对应角分别是对应角..
让学生用自己的语言叙述图2，图3：全等三角形、对应顶点、对应角以及有关数学符号有关数学符号. .
2、全等三角形性质：两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等、全等三角形性质：两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等. .
1
2
3
4
5
6 7
8
9
10
C 
B A 
B
1
C 1
A 1 E D 
A 
B 
C 
B C 
E 
D 
A 
3．找对应边、对应角的方法：①大对大，小对小，②公共的边是对应边，公共的角是对应角，③对顶角是对应角，③对顶角是对应角，④对应边的对角是对应角，④对应边的对角是对应角，④对应边的对角是对应角，对应角对应角的对边是对应边。

的对边是对应边。

3．例题分析．例题分析 例1 1 已知△已知△已知△ABC ABC ABC≌△≌△≌△DEF DEF DEF，∠，∠，∠A A = 6060°，∠°，∠°，∠B B = 7070°，°，°，AB= AB= 2cm 2cm。

求。

求DE DE、∠、∠、∠D D 、∠F 的值的值 . .
例2 2 如图，已知△如图，已知△如图，已知△ABE ABE ABE≌△≌△≌△ACD,AB=AC ACD,AB=AC ACD,AB=AC，，BE=CD, BE=CD, ∠∠B=50B=50°，∠°，∠AEC=120AEC=120°，则∠°，则∠°，则∠DAC=DAC=DAC=（（ ）） A 120A 120°° B 60 B 60°° C 50 C 50°° D 70 D 70°°
例3 3 △△''
OA B 是由△是由△OAB OAB 绕点O 逆时针旋转6060°得到的，那么△°得到的，那么△''
OA B 与
△OAB 是什么关系？若∠是什么关系？若∠AOB=40AOB=40AOB=40°，∠°，∠°，∠B=30B=30B=30°，则∠°，则∠'
A 与'
AOB 是多少度？少度？
例4．如图△ABC ≌△EBD,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明, 若不相等说出为什么?
4．问题拓展．问题拓展
问题：指出下列各组全等三角形中的对应角、对应边问题：指出下列各组全等三角形中的对应角、对应边
B 
C A F D 
E B C E 
F 
A D 
F B 
D E A C 
E 
B F 
B 
A D C A '
B
'
B
A
O
E D C
B
A
B
A
E
2
1
F C
D
O
说明：主要加强学生的识图能力，同时，找准全等三角形的对应边、对应角，是以后学好几何的关键是以后学好几何的关键. .
三、课堂练习
1、如图1，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=350，则∠BAD= 度；度；
2、如图2，沿AM 折叠，使D 点落在BC 上的N 点处，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=300，则AN= cm ，NM= cm ，∠NAM= ；
3、如图3，△，△ABC ABC ABC≌△≌△≌△AED AED AED，∠，∠，∠C=40C=400，∠，∠EAC=30
EAC=300，∠，∠B=30B=300，则∠，则∠D= D= D= ，， ∠EAD= EAD= ；； 4、如图4，△，△ABC ABC ABC≌△≌△≌△ADE ADE ADE，∠，∠，∠E E 和∠和∠C C 是对应角，是对应角，AB AB 与AD 是对应边，写出另外两组对应边和对应角；另外两组对应边和对应角；
5、 已知ΔABC ≌ΔA ¹B ¹C ¹，若ΔABC 的周长为2323，，AB=8AB=8，，BC=6BC=6，则，则AC= AC= ，，B ¹C ¹ 。

6、若△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为20，AB ＝5，BC ＝8,则DF 长为（ ）. Ａ．５；Ａ．５； Ｂ．８Ｂ．８ Ｃ．７；Ｃ．７； Ｃ．５或８．Ｃ．５或８．
7、如图, △ABC ≌△ADE ，∠B ＝35°，∠EAB ＝21°，∠C ＝29°，则∠D ＝ ° ，∠DAC= °
A B
C
D
M
N
图
2A
B
C
D
E 图1
8．阅读下列材料．阅读下列材料: :
如图（如图（11）所示，把△）所示，把△ABC ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD 的位置；的位置；
如图（2）所示，以BC 为轴把△为轴把△ABC ABC 翻折180180°，°，可以变到△可以变到△DBC DBC 的位置； 如图（如图（33）所示，以点A 为中心，把△为中心，把△ABC ABC 旋转180180°，可以变到△°，可以变到△°，可以变到△AED AED 的位置的位置. .
像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换变换. . . 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换. . 问题：如图（问题：如图（44），△，△ABC ABC ABC≌△≌△≌△DEF DEF DEF，，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角
样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角. .
A
B
C
D
E
（1）
A
B
C
D （2）
A B
C
D E
（3）
A
B
C
（4）
D
E
F
四．课后练习
一．复习概念一．复习概念
1、全等三角形的概念：、全等三角形的概念：
2、全等三角形的性质：、全等三角形的性质：
3、会确定对应顶点、对应边、对应顶点：、会确定对应顶点、对应边、对应顶点：
（1）若△AOC ≌△BOD ，对应边是___________________，对应角是_______________；
（2）若△ABD ≌△ACD ，对应边是___________________，对应角是_______________；
（3）若△ABC ≌△CDA ，对应边是___________________，对应角是_______________. 
B O
D
C
A
B
C
D A
二．根据全等进行简单运算二．根据全等进行简单运算
1：（1）如图△）如图△ABE ABE 与△与△CED CED 是全等三角形，可表示为△是全等三角形，可表示为△ABE ABE ABE≌≌_______,_______,其中其中其中 ∠A=30A=30°，∠°，∠°，∠B=70B=70B=70°，°，°，AB=3cm AB=3cm AB=3cm，则∠，则∠，则∠D=_____, D=_____, D=_____, ∠∠DEC=_____DEC=_____，，CD=_____, （2）如图，D 为BC 上一点，△ABC ABC≌△≌△≌△DCB DCB DCB，，若CD=4cm, CD=4cm, ∠∠A=28A=28°，°，∠DBC=35DBC=35°，°， 则AB=_____,AB=_____,∠∠D=______D=______，∠，∠，∠ABC=_______ABC=_______ABC=_______。

（3）如图，△AOB AOB≌△≌△≌△COD COD COD，，若CD=2cm, CD=2cm, ∠∠B=45B=45°，°，则AB=____ _,_,∠∠D=_____ _，
2：如图△：如图△ABD ABD ABD≌△≌△≌△EBC EBC EBC，，AB=3cm AB=3cm，，AC=8cm AC=8cm，求，求DE 的长的长..
三．利用全等性质进行简单证明（要求落实书写格式）三．利用全等性质进行简单证明（要求落实书写格式） 1：如图，已知△：如图，已知△ABD ABD ABD≌△≌△≌△ACE ACE ACE，且，且AB=AC AB=AC，求证：，求证：，求证：BE=CD BE=CD BE=CD。

2：如图，△ABC ≌△CDA ，那么AB ∥CD 吗？试说明理由。

吗？试说明理由。

E
A
D B
C B 
E D 
C A 
C
E A
B
D
3：如图，将△ABC 绕其顶点A 顺时针旋转30°，得到△ADE. （1）△ABC 与△ADE 有怎样的关系？有怎样的关系？ （2）求∠BAD 的度数。

的度数。

4：如图，△ABC ≌△ADE. 
（1）指出图中的对应边与对应角；）指出图中的对应边与对应角； （2）求证：∠BAD=∠CAE 。

四：综合应用，能力提高：四：综合应用，能力提高：
1．如图，一个等边三角形，你能将它分为两个全等的三角形吗？你能将它分成三个全等的三角形吗？你能把它分为四个全等的三角形吗？如果能，在下面的等边三角形中画出来。

下面的等边三角形中画出来。

2．如图如图,,已知△已知△ABC ABC ABC≌△≌△≌△ADE,BC ADE,BC 的边长线交AD 于F,F,交交AE 于G,G,∠∠ACB=105ACB=105°°,∠CAD=10CAD=10°°,∠ADE=25ADE=25°°,求∠求∠DFB DFB 和∠和∠AGB AGB 的度数的度数. . 解：∵△解：∵△ABC ABC ABC≌△≌△≌△ADE, ADE, ∴∠∴∠ACB=ACB=ACB=∠∠AED AED，∠，∠，∠ABC=ABC=ABC=∠∠ADE ADE，∠，∠，∠CAB=CAB=CAB=∠∠EAD. ∵∠∵∠ADE=25ADE=25ADE=25°°, , ∴∠∴∠∴∠ABC=25ABC=25ABC=25°°. . ∴∠∴∠∴∠CAB=50CAB=50CAB=50°°. ∴∠∴∠DFB=DFB=DFB=∠∠DAB+DAB+∠∠ABC=50ABC=50°°+20+20°°+25+25°°=95=95°°.∠AGB=105AGB=105°°-70-70°°=35=35°°.
B
A
G E
F
C
D。