陕西省高三数学上学期第二次模考试题 理

陕西省2017届高三数学上学期第二次模考试题 理
注意事项：
1.本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 答案均写在答题纸上，满分150分，时间120分钟.
2.学生领到试卷后，请检查条形码信息是否正确. 并按规定在答题纸上填写姓名、准考证号，及填涂对应的试卷类型信息.
3.答卷必须用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整，笔迹清晰. 并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效.
4.只交答题纸，不交试题卷.
第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．复数
3i
i
-在复平面上对应的点位于（ ） .A 第一象限
.B 第二象限
.C 第三象限
.D 第四象限
2．集合2
{90}P x x =-<，{13}Q x Z x =∈-≤≤，则P Q =（ ）
.A {33}x x -<≤
.B {13}x x -≤< .C {1,0,1,2,3}- .D {1,0,1,2}-
3．已知4cos 5α=-
且(,)2π
απ∈，则tan()4
πα+等于（ ）
.A 17
-
.B 7- .C 1
7
.D 7
4．若命题:p 对任意的x R Î，都有3210x x -+<，则p Ø为（ ）
.A 不存在x R Î，使得3210x x -+< .B 存在x R Î，使得3210x x -+< .C 对任意的x R Î，都有3210x x -+≥
.D 存在x R Î，使得3210x x -+≥
5．在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{2}n S +也是等比数列，则q 等于（ ）
.A 2
.B 2-
.C 3
.D 3-
6．已知向量(1,1)a =，2(4,2)a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为（ ）
.
A
.
B .
C
.
D 2
-
7
．函数()sin(2))f x x x ϕϕ=+++是偶函数的充要条件是（ ）
.A ,6
k k Z π
ϕπ=+∈ .B 2,6
k k Z π
ϕπ=+∈
.C ,3
k k Z π
ϕπ=+
∈
.D 2,3
k k Z π
ϕπ=+
∈
8．执行如下图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ）
.A 9
.B 121
.C 130
.D 17021
9．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，则21
3b a
+的最小值为（ ）
.
A 3
.
B 3
.C 2
.D 1
10．如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，那么42x y z -=⋅的最大值为（ ）
.A 1
.B 2
.
C 1
2
.
D 14
11．已知偶函数()2
f x π
+
，当(,)22
x ππ
∈-
时，13
()sin f x x x =+． 设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，则（ ）
.A a b c <<
.B b c a <<
.C c b a <<
.D c a b <<
tan
A B ⋅，则ABC ∆的面积为（ ）
.
A 2
.B
.
C 2
.
D 32
第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.） 13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = .
14．直线y x =与函数22,()42,x m
f x x x x m
>⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围
是 .
15．设F 为抛物线2
14
y x =-
的焦点，与抛物线相切于点(4,4)P --的直线l 与x 轴交于点Q ，则PQF ∠= .
16．如右图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图， 则该多面体的外接球表面积为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1n n b S =，且331
2a b =，5321S S +=，记1
n
n i i T b ==∑，求
n T ．
18.(本小题满分12分)
如图,在ABC ∆中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =，2BC BE =.
（1）用向量AB 、AC 表示DE ；
（2）设6AB =,4AC =,60A =︒,求线段DE 的长.
A
B
C
D
E
19.(本小题满分12分)
如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，30BAC ο∠=，
BM AC ⊥交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，//FC EA ，4AC =，
3EA =，1FC =．
（1）证明：EM BF ⊥；
（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．
20.(本小题满分12分)
已知圆22
:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 且
满足||||PQ PA =．
（1）求实数a b 、间满足的等量关系；
（2）求线段PQ 长的最小值；
（3）若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取 最小值时圆P 的方程．
21.(本小题满分12分)
已知函数)1ln()(2
++-=x ax x x f （R a ∈）． （1）当2=a 时，求函数)(x f 的极值点；
（2）若函数)(x f 在区间)1,0(上恒有()f x x '>，求实数a 的取值范围；
（3）已知01>c ，且1()n n c f c +'=(1,2,)n =⋅⋅⋅，在（2）的条件下，证明数列{}n c 是单调递增
数列．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.
22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程选讲.
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x a a C y a ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，实数0>a ），曲线2:C
cos sin x b y b b ϕ
ϕ
=⎧⎨
=+⎩（ϕ为参数，实数0>b ）. 在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线)2
0,0(:π
αραθ≤
≤≥=l 与1C 交于O A 、两点，与2C 交于,O B 两点. 当0α=时，
1||=OA ；当2
π
α=
时，2||=OB .
（1）求b a ,的值； （2）求||||||22
OB OA OA ⋅+的最大值.
23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲.
设函数|1
||2|)(a
x a x x f -++=（x R ∈，实数0a <）. （1）若2
5
)0(>
f ，求实数a 的取值范围； （2）求证：2)(≥x f .
高2017届第二次模拟 数学试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

二、 填空题：本大题共3小题，每小题5分.
三.解答题：本大题共6道小题，共70分. 17．（本小题12分）
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)
2
n n n S na d -=+
. 所
以
311
23(3
1
)
3
3(
)32
S a d a d a -=+=+=，3
32
113b S a ==，
51135(51)
55(2)52
S a d a d a -=+
=+=. 由3133211533
211,,32 1.2
81321215321a a d a b a a d a d S S a a ⎧⎧===⎧⎪⎪
⇒⇒⇒==⎨⎨⎨+=⎩⎪⎪+=+=⎩⎩ 6分 所以(1)(1)22n n n n n S n -+=+
=. 所以12112()(1)1n
n
b S n n n n ===-++. 所以1
1111
11122[()()()]2(1)1223111
n
n i
i n
T b n n n n ==
=-+-++-=-=+++∑. 12分 18.（本小题满分12分）
解：（1
）由题意可得：2132DE DB BE AB BC =+=+21()32AB AC AB =+-11
62
AB AC =+ 5分 （
2
）
由
11
62
DE AB AC =
+可得：
2222211111
||()623664
DE DE AB AC AB AB AC AC ==+=+⋅+ 9分
22111
664cos60473664
=
⨯+⨯⨯⨯︒+⨯=. 故DE =
分
19.（本小题满分12分）
证：（1）⊥EA 平面ABC ，⊂BM 平面ABC ，
BM EA ⊥∴．又AC ，BM ⊥ A AC EA =⋂， ⊥∴BM 平面.ACFE
而
⊂
EM 平面
A ，EM BM ⊥∴． 3分
AC 是圆O 的直径，90ABC ∴∠=．
又，BAC ︒=∠30 4=AC ，，，BC AB 232==∴1,3==CM AM ．
⊥EA 平面ABC ，EA FC //，1=FC ，⊥∴FC 平面ABCD ． EAM ∆与FCM ∆都是等腰直角三角形．︒=∠=∠∴45FMC EMA ．
︒=∠∴90EMF ，即MF EM ⊥（也可由勾股定理证得）．
M BM MF =⋂ ， ⊥∴EM 平面MBF ．
而⊂BF 平面MBF ，⊥∴EM BF ． 6
分
（2）（文）由（Ⅰ）可知,E BMF B MEF BM MEF BM V V --⊥==平面且而, 又有（Ⅰ）可知0
3,45,1,45AE AM AME FC CM CMF ==∴∠===∴∠=.
090EMF ∴∠=,MB MF ==分
1
32MEF S ∆∴=⨯=. 10分
1
33
E BM
F V -∴=⨯= 12分
（Ⅱ）（理）如图，以A 为坐标原点，,AC AE 所在的直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
由已知条件得：
(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),3,0),(0,4,1)A M E B F ，
∴(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=-． 设平面BEF 的法向量为),,(z y x =，
（第19题图）
由0,0,n BE n BF ⋅=⋅=
得330
y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，
令3=
x 得1,2y z ==，(
)
3,1,2n ∴=
. ……………9分
由已知⊥EA 平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为 (0,0,3)AE =. 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，
则cos cos ,2n AE θ→
=<>=
=. 平面BEF
与平面ABC 12分
20.（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）连,
OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，
由勾股定理有2
2
2
PQ OP OQ =-. 又由已知PQ PA =，故2
2
PQ PA =.
即2
2
2
2
2
()1(2)(1)a b a b +-=-+-.
化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （Ⅱ）方法一：由230a b +-=，得23b a =-+
.
PQ ==
=
故当6
5a =
时，min PQ =
即线段
PQ 方法二：由（Ⅰ）知，点P 在直线:230l x y +-=上， ∴min min ||||PQ PA =，即求点A 到直线l 的距离
.
∴min ||5
PQ =
=.
（Ⅲ）设圆P 的半径为R ，因为圆P 与圆O 有公共点，圆O 的半径为1， 所以1 1.R OP R -≤≤+ 即1R OP ≥-且1R OP ≤+.
而OP ==
故当65a =
时，min OP = 此时, 3235
b a =-+=
，min 1R =. 所以半径取最小值时圆P
的方程为：2
2
263()()1)55
x y -+-=． 方法二：
圆P 与圆O 有公共点，圆P 半径最小时为与O 外切（取小者）的情形，而这些
半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂
直的直线l '与l 的交点0P
.
11r =
=
. 又:20l x y '-=，
解方程组20,230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得6,5
3
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 即063(,)55P .
∴所求圆方程为2
2
263()()1)5
5
x y -+-=. 21．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）当2=a 时，)1ln(2)(2
++-=x x x x f ，
1()221f x x x '=-++221
1
x x -=
+. 令()0f x '=得：2
2
±
=x . 又1->x ，且),2
2()22,1(+∞-
-∈ x 时，()0f x '>， )2
2,22(-
∈x 时，()0f x '<. 所以，函数)(x f 的极大值点为22-
=x ，极小值点为2
2=x . 文6分（理4分）
（Ⅱ）因为1()21f x x a x '=-++，由()f x x '>，得x x a x >++
-1
1
2， 即11
++
<x x a ，(01)x <<. 又1111111
y x x x x =+
=++->++（∵11x +>）, ∴1a <. 文12分（理8分） （Ⅲ）（理）①当1=n 时，21111
()21
c f c c a c '==-+
+,又 01>c , ∴111>+c ，且1a <， ∴111112++
-=-c a c c c )1(1
1
111+-+++=a c c 2(1)10a a >-+=->. ∴12c c >，即当1=n 时结论成立．
②假设当)(+∈=N k k n 时，有k k c c >+1，且0>k c ，则当1+=k n 时，
1
11112++
-=-++++k k k k c a c c c )1(1
1111+-++
+=++a c c k k 2(1)10a a >-+=->．
∴12++>k k c c ， 即当1+=k n 时结论成立．
由①，②知数列{}n c 是单调递增数列． （理12分）
22.【解析】（Ⅰ）将1C 化为普通方程为222
()x a y a -+=，其极坐标方程为2cos a ρθ=，
由题可得当0θ=时，||1OA ρ==，∴1
2
a =
. 2分 将2C 化为普通方程为222
()x y b b +-=，其极坐标方程为2sin b ρθ=,
由题可得当2
π
θ=
时，||2OB ρ==，∴1b =. 4分
（Ⅱ）由,a b 的值可得1C ，2C 的方程分别为cos ρθ=，2sin ρθ=, ∴2
2
2||||||2cos 2sin cos sin 2cos 21OA OA OB θθθθθ+⋅=+=++
)14
π
θ=++. 6分
52[,],444
π
ππ
θ+
∈ )14
πθ++1，当2,428
πππ
θθ+==即时取到. 10分
23.【解析】（Ⅰ）∵0<a ，∴115(0)||||2f a a a a =+-
=-->，即25102a a ++>， 解得2a <-或102
a -<<. 4分 （Ⅱ）13,2111()|2|||,2
113,a x a x a a f x x a x x a x a a a x a x a a ⎧+-≥-⎪⎪⎪=++-=---<<-⎨⎪⎪--+≤⎪⎩
, 6分 当2a x ≥-时，1()2a f x a ≥--；当12a x a <<-时，1()2a f x a
>--； 当1x a ≤时，2()f x a a ≥--. 8分
∴min 1()2a f x a =-
-≥=，当且仅当12a a -=-
即a = ∴2)(≥
x f . 10分。