《随堂优化训练》2014年数学(人教A版)必修2课件4.2.1直线与圆的位置关系

③相离⇔d＝|0－10＋＋1b|＝ |b2| >r＝ 2， 解得 b<－2 或 b>2. 方法二：由方程组xy2＝＋xy＋2＝b，2， 得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝－4(b2－4). ①当Δ>0，即－2<b<2 时，直线与圆相交. ②当Δ＝0，即 b＝－2 或 b＝2 时，直线与圆相切. ③当Δ<0，即 b<－2 或 b>2 时，直线与圆相离.
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
【学习目标】 1.掌握直线与圆的三种位置关系的特点. 2.会用代数方法判断直线和圆的位置关系. 3.会用几何方法判断直线和圆的位置关系.
1.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 及判断
位置关系 公共点个数 几何法：设圆心到直线
解：方法一(代数法)：由yx＝－k1x＋2＋5，y2＝1 消去 y，得 (x－1)2＋(kx＋5)2＝1，即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0. 故 Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)＝－96－40k. ①当 Δ>0，即 k<－152时，直线与圆相交. ②当 Δ＝0，即 k＝－152时，直线与圆相切. ③当 Δ<0，即 k>－152时，直线与圆相离.
【变式与拓展】 1.求实数b的取值范围，使直线y＝x＋b和圆x2＋y2＝2： (1)相交；(2)相切；(3)相离. 解：方法一：由圆 x2＋y2＝2，得圆心为(0,0)，半径为 2. ①相交⇔d＝|0－10＋＋1b|＝ |b2| <r＝ 2， 解得－2<b<2. ②相切⇔d＝|0－10＋＋1b|＝ |b2| ＝r＝ 2， 解得 b＝－2 或 b＝2.
【问题探究】 1.过圆内一点(非圆心)作圆的弦，何时最长？何时最短？ 提示：弦过圆心时成为直径是最长的弦，垂直于该点与圆 心连线的弦是最短的弦.
2.过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程是什么？ 答案：x0x＋y0y＝r2.
题型 1 直线与圆位置关系的判定 【例1】 当 k 为何值时，直线 l：y＝kx＋5 与圆 C：(x－1)2 ＋y2＝1：(1)相交？(2)相切？(3)相离？ 思维突破：判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法 和代数法，使用时以几何法为主.
【例4】 求过点A(3，－3)且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的直 线 l 的方程.
易错分析：位置考虑不全面.直线的点斜式方程只有在斜率 存在时才能用，对斜率不存在的情形要单独考虑.
解：当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 方程为 y＋3＝k(x－3)⇒kx－y－3(k＋1)＝0， 所以|k－3k2k＋＋11|＝2⇒k＝－152.
方法三：设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为 x0x＋y0y＝ 25，将坐标(1，－7)代入后得 x0－7y0＝25，
由xx200＋－y720y＝0＝252，5， 解得yx00＝＝－4，3 或yx00＝＝－－43.， 故所求切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
所以直线 l 的方程为 5x＋12y＋21＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，也满足题意， 故直线 l 的方程为 5x＋12y＋21＝0 或 x＝3.
[方法·规律·小结] 1.求直线被圆截得的弦长的方法为： (1)应用圆中直角三角形：半径 r，圆心到直线的距离 d，弦 长 l 具有关系 r2＝d2＋2l 2. (2)利用弦长公式：设直线 l：y＝kx＋b，与圆两交点(x1，y1)， (x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用韦达定理得弦 长 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2].
【变式与拓展】 2.求由下列条件所决定的圆x2＋y2＝4的切线方程： (1)经过点 P( 3，1)； (2)经过点 Q(3,0)； (3)斜率为－1.
解：(1)∵( 3)2＋12＝4，∴点 P( 3，1)在圆上. 故所求切线方程为 3x＋y＝4. (2)∵32＋02＞4，∴点 Q 在圆外. 设切线方程为 y＝k(x－3)，即 kx－y－3k＝0. ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径. ∴ |－1＋3kk|2＝2，k＝±2 5 5. 故所求切线方程为 y＝±2 5 5(x－3).
2.圆的切线方程 求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关 系，过圆外一点圆的切线有两条，过圆上一点圆的切线有一条，
过圆内一点，没有切线.
练习 2：圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为
( D)
A.x＋ 3y－2＝0
B.x＋ 3y－4＝0
C.x－ 3y＋4＝0
D.x－ 3y＋2＝0
2.求切线方程. 主要有以下几种题型： (1)已知切线的斜率，求圆的切线方程.这种切线，一般都有 两条.设切线方程为 y＝kx＋b，然后利用圆心到切线的距离等于 半径求出 b. (2)已知切点，求圆的切线方程.过圆上一点作圆的切线有且 只有一条.常用的方法：求出圆心与切点连线的斜率，然后根据 垂直关系求出切线的斜率，最后由点斜式求出切线的方程.
x1－x22＋y1－y22＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【变式与拓展】 3.(2013年山东)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其 中最短的弦长为__2___2___. 解析：根据题意，得圆心(2,2)，半径 r＝2. ∵ 3－22＋1－22＝ 2<2，∴(3,1)在圆内. ∵圆心到此点的距离 d＝ 2，r＝2， ∴最短的弦长为 2 r2－d2＝2 2.
(3)设圆的切线方程为y＝－x＋b. 代入圆的方程，整理，得2x2－2bx＋b2－4＝0. ∵直线与圆相切，∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.
解得 b＝±2 2.∴所求切线方程为 x＋y±2 2＝0.
题型 3 弦长问题 【例3】 求直线l：2x－y－1＝0被圆C：x2＋y2－2y－1＝ 0 截得的弦长. 解：方法一：由方程组x22x＋－yy2－－12＝y－0，1＝0 消去 y，得 5x2
题型 2 求圆的切线方程 【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的切线 方程. 思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法： ①设切线斜率，用判别式法；②设切线斜率，用圆心到直线的 距离等于半径法；③设切点坐标，用切线公式法. 解：方法一：设切线的斜率为k，由点斜式有y＋7＝k(x－1)， 即 y＝k(x－1)－7. 将方程代入圆方程，得x2＋[k(x－1)－7]2＝25， 整理，得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0.
＝ 25，弦长|AB|＝2 r2－d2＝2
2－45＝2
30 5.
求直线与圆相交时的弦长常用两种方法：
①几何法：设直线 l 与圆相交于 A，B 两点，弦心距为 d，
圆的半径为 r，则|AB|＝2 r2－d2.
②代数法：设直线 l 与圆相交两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，通 过 联 立 方 程 组 求 得 x1 ＋ x2 和 x1x2 ， 可 得 |AB| ＝
－8x＋2＝0. 设两交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1，x2 为方程的两根. 所以 x1＋x2＝85，x1·x2＝25. 由两点间的距离公式可解得
|AB|＝
x1－x22＋y1－y22＝2
30 5.
方法二：已知圆的方程可化为 x2＋(y－1)2＝2，则圆心为
(0,1)，半径为 2，设圆心到直线 l 的距离为 d，则 d＝2×0－51－1
的距离d＝ |Aa＋Bb＋C|
判
A2＋B2
定 代数法：由
方 法
Ax＋By＋C＝0， x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程
的判别式Δ
相交 __2__个 d__<_r
Δ__>_0
相切 __1__个 d_＝__r
Δ_＝__0
相离 __0__个 d_>__r
Δ__<_0
练习1 ：直线 x －y ＋1 ＝0 与圆 x2 ＋y2 ＝2 的位置关系是 ___相__交_____.
故 Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)(k2＋14k＋24)＝0， 解得 k＝43或 k＝－34. 故切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0. 方法二：设所求切线斜率为 k，则所求直线方程为 y＋7＝ k(x－1).整理成一般式为 kx－y－k－7＝0. 所以|0－01－＋kk－2 7|＝5.化简为 12k2－7k－12＝0， 所以 k＝43或 k＝－34. 所以切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
方法二(几何法)：圆心 C 的坐标为 C(1,0)，半径 r＝1，圆
心
C
到直线
l
的距离
d＝
|k＋5| 1＋k2.
①当 d<r，即 |k1＋＋5k|2<1⇒k<－152时，直线与圆相交.
②当 d＝r，即 |k1＋＋5k|2＝1⇒k＝－152时，直线与圆相切.
③当 d>r，即 |k1＋＋5k|2>1⇒k>－152时，直线与圆相离.