椭圆方程及性质应用 ppt课件

2x23( 6x2)2 6, 6
即 5x22 6x60.
2
Δ= 262 4 5 6 2 4 6 0 3 6 ＜ 0 . 2
因此直线与椭圆没有公共点.
【延伸探究】题(2)条件不变，问椭圆上是否存在一点，它到
直线l的距离最大？最大距离是多少？
【解析】因为直线l与椭圆2x2+3y2=6不相交，设与椭圆相切的
a2 b2
(2)(2014·成都高二检测)已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的离心
率为 6 , 短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 , 直线l:
3
y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B.
①求椭圆的方程； ②若坐标原点O到直线l的距离为 3 , 求△AOB面积的最大值.
2
【解题探究】1.题(1)中一般将条件OP⊥OQ转化为什么？ 2.题(2)中求△AOB面积的最大值，关键是求什么？ 【探究提示】1.条件OP⊥OQ，一般转化为向量O uuP rgO uuQ ur来0处 理. 2.关键是求|AB|的最大值.
标，利用中点坐标公式，找它们之间的联系.
2.一般思路是联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x(或y)的
一元二次方程，由根与系数的关系得 x1x22y1y22
1k2 x1故x弦2 ,长为
1k2 x1x2 .
【自主解答】(1)选B.设弦的两个端点分别为P1(x1,y1),
P2(x2,y2),弦所在直线的斜率为k,则 4x129y1①2,144
所以 (2m )24m 216(16)2,
5
5
5
解得m=±2,
验证知Δ>0成立，
所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.
【方法技巧】 1.直线与椭圆相交弦的弦长问题 直线与椭圆相交有关弦的问题,主要思路是联立直线和椭圆的方 程,得到一元二次方程,然后借助一元二次方程的有关知识解决, 有时运用弦长公式,解题时应注意以下几点: (1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点 间距离公式求弦长. (2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式. (3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.
【自主解答】(1)设P(x1,y1)，Q(x2，y2)， 由OP⊥OQ⇔O uuP rgO uuQ ur⇔0x1x2+y1y2=0.
因为y1=1-x1,y2=1-x2,代入上式得：
2x1x2-(x1+x2)+1=0
(*)
又将y=1-x代入 x 2 a2
Δ＞0，所以x1+x2=
a
y2 b2 2a 2
12 4
(1+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0,
所以x1+x2=6k1=6
k 3
m k
2
,
所以m=-(1+3k2),所以-mx2+6kmx+3m2-12=0,
由题意知，判别式大于0，即36k2m2+4m(3m2-12)>0,
m(m-4)<0,所以0<m<4,故m的取值范围为(0，4).
【补偿训练】已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直 线 x 3y40 有且仅有一个交点，求椭圆的长轴长. 【解析】设椭圆长轴长为2a(且a＞2)， 则椭圆方程为 x2 y2 1.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0),短半轴长为b(b>0),
则2b=4,由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4,b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x 2 y 2或 1
16 4
y2 x2 1. 16 4
②设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
程.
(2)若椭圆C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的M，N两点，且
|AM|=|AN|，求m的取值范围.
【解析】(1)由题意得，椭圆C的对称中心(0，0)关于点P(1，2)
的对称点为(2，4)，且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长
度不变，故将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D的方程为
y kx 1，
【(m自+主5k解2)答x2】+1(10)k方x+法5一(1:由-m)= x052,
y消2 去1 ，y,整理得
m
所以Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).
因为直线与椭圆总有公共点,
所以Δ≥0对任意k∈R都成立.
因为m>0,所以5k2≥1-m恒成立,所以1-m≤0,即m≥1.
直线m平行于直线l，则直线m的方程为y： 6 x b,
6
由方程组
y
6 6
消x 去b ,y得:
2 x 2 3 y 2 6
5x2 6bx3b260, 2
即 5 x 2 26 b x 6 由b 2Δ 1 =2 0 ，0 ， 得 或 b 1 0
2
b 10 , 2
当 b 时1 0，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最远，此时
k AB
b2x0 a2y0
.
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0,y0)，
设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0-x，2y0-y)，
则
x2 a2
y2 b2
1，
2x0
a2
x 2
2y0
b2
y2
1，
两式作差即得所求直线方程.
【变式训练】直线y=x+1被椭圆 x 2 y 2 1 所截得的弦的中点
⇒ 1(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0，因为
2
b
2
x，1x2=
a 2 1 代b 2入，(*)化简得
a2 b2
1 a2
1 b2
2.
答案：2
(2)①由 c 6 ,a所以3, b=c1, 2 ,
a3
所以椭圆的方程为: x 2 y 2 1.
3
②由已知 m 所以3 ,
1 k2 2
联立l:y=kx+m和x 2 y 2 1,
42
坐标是( )
A.(2,5) 33
C.(2,1) 33
B.(4, 7) 33
D.(13,17) 22
【解析】选C.由
y x
x 消1, 去y,得3x2+4x-2=0,
2 2y2 4
设弦的两端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
中点坐标为(x中，y中)，
则x1+x2=
4 3
,
所以x中=
4x229y22 ②14.4
①-②得：4(x1-x2)(x1+x2)+9(y1-y2)(y1+y2)=0,
又 x1x23,y1y22,
2
2
因此可得：4(x1-x2)×6+9(y1-y2)×4=0,
所以 k y1 y2 2,
x1 x2 3
故弦所在直线方程为 y22x3,
3
即2x+3y-12=0,选B.
3
m2 3 1k2 , 4
消去y,整理可得：
(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0,
则x1+x2=-2,x1x2=-6.
所以弦长 M N1k2|x1x2|
= 5 4 ［ x 1 x 22 4 x 1 x 2 ］ 5 44 2 4 3 5 .
答案： 3 5
类型三 与椭圆有关的综合问题
【典例3】
(1)椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a＞b＞0)与直线x+y=1交于P，Q两点，且
OP⊥OQ，其中O为坐标原点，则 1 1 =_______.
轴长为4,离心率为 3 .
2
①求椭圆C的方程；
②设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两 点，且 AB 16 2, 求直线l的方程.
5
【解题探究】1.题(1)求弦所在直线的方程，还需确定什么？
如何利用中点这个条件？
2.题(2)求弦长的一般思路是什么？你能得出弦长的公式吗？
【探究提示】1.还需确定直线的斜率，可设出弦的两个端点坐
又因为椭圆的焦点在x轴上,所以0<m<5,
所以1≤m<5.
方法二：因为直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，
所以要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或
0＜ m ＜ 5，
椭圆上，由此得 答案：［1,5)
02＋ 5
1
2解得1≤m＜5.
1，
m
(2)由
y
6 6
得x
2,
2 x 2 3 y 2 6
2 3
.
从而y中=x中+1=
2 3
1
1， 3
所以中点坐标为 ( 2 , 1 ) .
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 2
x
消去y并化简得x2+2x-6=0.
1,
设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),
第2课时 椭圆方程及性质的应用
【题型示范】
类型一 直线与椭圆的位置关系
【典例1】 (1)若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 x 2 ＋ y 2 1 总有公共
5m
点，则m的取值范围为________． (2)判断直线l: y 6 x 2 和椭圆2x2+3y2=6是否有公共点.
6
【解题探究】1.题(1)中直线y=kx+1是否恒过定点？若恒过定 点，过哪个定点？当点在什么位置时，经过该点的直线总与椭 圆有公共点？ 2.题(2)判断直线是否与椭圆有公共点，常用什么方法？ 【探究提示】1.恒过定点(0,1)，当点在椭圆上或在椭圆内部时， 经过该点的直线与椭圆总有公共点. 2.判断直线与椭圆是否有公共点，往往利用判别式的符号进行 判断.
y x m,
由方程组
y2 1 6
x2 4
1,
消去y,得5x2+2mx+m2-16=0,
由题意，得Δ=(2m)2-20(m2-16)>0, 且 x1x225 m ,x1x2m 25 16,
因为|AB|= x1x22y1y22 = 1 1 x 1 x 2 2 g x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 1 5 62 ,
2.解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组， 消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点 坐标公式解决.
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标
分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关
系，具体如下： 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
1 2
4
所以 ky1y21再由x1垂x直2,平分线的性质得
x1x2 3 y1y2
1 k
y1 x1
y2
2 x2
2 0
y1 y2 4, x1 x2
2
所以 3y1y2y1y24,
x1x2
x1x2
所以y1+y2=-2,所以x1+x2=-3k(y1+y2)=6k,
故MN的中点(3k,-1),
把y=kx+m代入椭圆Cx ：2 y 2 1 得，
a2 a2 4
由
x2
a
2
a
y2 2
得4
ห้องสมุดไป่ตู้
1，
x 3 y 4 0 ,
4 a 2 1 2 y 2 8 3 a 2 4 y 1 6 a 2 a 2 4 0 .
因为直线与椭圆只有一个交点，所以Δ=0，即192(a2-4)216(a2-3)×(16-a2)×(a2-4)=0，解得a=0(舍去)，a=2(舍去)， a 所7，以长轴长 2a 2 7.
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)(2014·衡水高二检测)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3,2),过
点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
B.2x+3y-12=0
C.4x+9y-144=0
D.9x+4y-144=0
(2)(2014·济宁高二检测)已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短
x22 y42
1.
12
4
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1,y1),N(x2,y2)分别代入椭圆C：x 2 y 2 得1：
12 4
x
2 1
y12
1,
①
12 4
x 22 y 22 1,
②
12 4
用①减去②得：x 1 x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1 y 2,
2
m的方程为y 6 x 10 ,
6
2
10 2
直线m与直线l的距离d 2
105 2 42 .
1 ( 6 )2
7
6
所以最大距离为 105 2 42 .
7
【方法技巧】直线与椭圆位置关系的判断方程
【变式训练】已知椭圆C：x 2 y 2 1, 一个顶点为A(0，2).
12 4
(1)若将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D，求椭圆D的方
x2 a2
y2 b2
1
(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0,y0)是线段AB的中点，则
x 12 a2
y12 b2
1
①,
x
2
2
a 2
y22 b2
1
②,
由①-②，得 a 1 2 x12x22b 1 2变y 12 形y 得22 0 ,
y1 y2 x1 x2
ba22gxy11 xy22 即ab22gxy00,