备战高考数学(精讲+精练+精析)专题10.2 双曲线试题 理(含解析)

专题10.2 双曲线
【三年高考】
1. 【2016高考新课标1卷】已知方程22
2
213x y m n m n
-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )
（A ）()1,3- （B
）(- （C ）()0,3 （D
）( 【答案】
A
2．【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x
轴垂直，211
sin 3
MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A
（B ）3
2
（C
（D ）2
【答案】A
【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以22
12,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3
MF F ∠=，即212
2
1
3
2b MF a
b MF a a
=
=+
，化简得b a =
，故双曲线离心率e ==.选A. 3．【2016高考天津理数】已知双曲线2
2
24=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的 圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）
（A ）22443=1y x -（B ）223
44=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2
224=11x y - 【答案】D
4．【2016年高考北京理数】双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所
在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2
【解析】∵OABC 是正方形，∴45AOB ∠=︒，即直线OA 方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，
又由题意OB =
，∴2
2
2
a a +=，2a =．故填：2．
5．【2016高考上海理数】双曲线22
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线
交于A B 、两点. （1）若l 的倾斜角为2
π
，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2
）设b =
l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.
【解析】（1）设(),x y A A A ．由题意，()2F ,0c
，c =，()2
2
2
41y b c
b A =-=，因为1F ∆AB 是等
边三角形，所以2c A =，即(
)2
4
413b
b
+=，解得2
2b =
．故双曲线的渐近线方程为y =．
（2）由已知，()1F 2,0-，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．
由()2
213
2y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩
，得()
2222
34430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由()
11F F 0A +B ⋅AB =即1F 0M⋅AB =，知1F M⊥A B ，
故1F 1k k M ⋅=-．而2
122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，1F 2
323k k k M =-，所以23123k k k ⋅=--，得2
35
k =，故l
的斜率为．
6. 【2015高考福建，理3】若双曲线:
1916
E -= 的左、右焦点分别为12,
F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3 【答案】B
【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．
7.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2
212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是( )
（A ）（-
3，3） （B ）（-6，6
） （C ）（3-，3） （D ）（）
【答案】A
8.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <
C ．对任意的,a b ，12e e <
D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >
【答案】D
【解析】依题意，2
221)(1a
b a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=
， 因为
)
()
()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ， 所以当b a >时，10<<
a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，2
2)()(m a m b a b ++<，所以12e e <； 当b a <时，1>a b
，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)(
)(m
a m
b a b ++>，所以12e e >. 所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >.
9.【2015高考重庆，理10】设双曲线221a b
-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交
于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A 、(1,0)(0,1)-
B 、(,1)(1,)-∞-+∞
C 、((0,2)
D 、(,(2,)-∞+∞
【答案】A
10.【2014新课标1，理4】已知F 是双曲线C ：22
3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 （ ）
A B .3 C D .3m
【答案】A
【解析】化为标准方程为：
22
133
x y m -=，则焦点F ，0）到渐近线方程为0x +=距离
，故选A.
11. 【2014天津，理5】已知双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，
双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）
（A ）
22
1520
x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 【答案】A
【解析】依题意得222
25b a
c c a b ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩
，所以25a =，2
20b =，双曲线的方程为
221520x y -= ，故选A. 12.【2014江西，理20】如图，已知双曲线C :22
21x y a
-=(0a >)的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐
近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）. （1）求双曲线C 的方程；
（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:
20=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线2
3
=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，
NF
MF
恒为定值，并求此定值
.
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程．(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数,,,a b c e 及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为主，分值为5分，难度为容易题和中档题. 【2017年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出 , 双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现,解答题很少考查,主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率,最值或范围问题，过定点问题，定值问题等, 直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大, 故预测2016年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主．备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素,,a b c .另外，要深入理解参数,,a b c 的关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.
【2017年高考考点定位】
高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】双曲线的定义与标准方程 【备考知识梳理】
1.双曲线的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：
12||||2PF PF a -=±(122||a F F <).
注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是直线12F F 去掉线段12F F .(2)当122||a F F >时，轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程：（1） 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上
的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>.给定椭圆221()x y m n m n
+=与异号，要根据,m n 的正负判
定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上. (2)双曲线中,,a b c 关系为：2
2
2
-a c b =. 【规律方法技巧】
1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理.
2.求双曲线的标准方程方法
(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只.
(2)待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是双曲线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出双曲
线的标准方程.
3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设双曲线的方程为2
2
1Ax By +=，其中,A B 异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算.
4.若已知双曲线的渐近线方程为0ax bx ±=，则可设双曲线的标准方程为ax bx λ±=（0λ≠）可避免分类讨论.
【考点针对训练】
1. 【2016年江西师大附中模考】已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于32
,其中一条准线方程43x =-，
则双曲线C 的方程是（ ）
A .
221
4x = B ．22145x y -= C ．22
125x y -=- D ．2212x =- 【答案】B
2. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】过双曲线22
145
x y -=的左焦点1F ，作圆224x y +=的切线交双
曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点为M ，则||||MO MT -=_____________． 【答案】25-
【考点2】双曲线的几何性质 【备考知识梳理】 1.双曲线的几何性质
2.等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为2
2
(0)x y λλ-=≠，离心率为
，渐近线为y x =±.
【规律方法技巧】
1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.
3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合2
2
2
c b a =+化出关于,a c 的式子，
再利用c
e a
=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为：2222
22c a b e a a +===22
1b a +⇒b a
=.
4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，可变形为x y
a b
=±，即22220x y a b -=，所以
双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的.
4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为2
2b a
，是过椭圆焦点
的直线被椭圆所截得弦长的最小值.
5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[,c a -+∞). 【考点针对训练】
1. 【2016年湖北安庆一中高三一模测试】设点A 、(),0F c 分别是双曲线22
221x y a b -=（0a >,0b >）的
右顶点和右焦点,直线2
a x c
=交双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率
为（ ）
A ．3 C D ．2 【答案】D
222222()()()()()a a a c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a +⇒+=-
2211111
e e e e +⇒+=-. 解得 2e =.故选D. 2. 【2016年河北石家庄高三二模】已知双曲线
14
22
2=+-m y m x 的一条渐近线方程为x y 3=，则实数m 的值为______. 【答案】
5
4
【考点3】直线与双曲线的位置关系 【备考知识梳理】
设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，直线0Ax By C ++=，将直线方程与双曲线方程联立，消去
y 得到关于x 的方程2
0mx nx p ++=.
(1) 若m ≠0，当△＞0时，直线与双曲线有两个交点.当△=0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当△＜0时，直线与双曲线无公共点.
（2）当m =0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行. 【规律方法技巧】
1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2
|x 1－x 2|＝ 1＋k 2
·
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝
1＋1
k
2·|y 1－y 2|＝
1＋1k
2·
y 1＋y 2
2
－4y 1y 2.
3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】
1. 【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F 作一条直线，当
直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心 率的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C
2. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、
2F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离
心率为________． 【答案】7
【解析】根据双曲线的定义，可得a BF BF 221=-，∵2ABF ∆是等边三角形，即AB BF =2，∴
a BF BF 221=-，即a AF AB BF 211==-，又∵a AF AF 212=-，∴a a AF AF 4212=+=，∵
21F AF ∆中，a AF 21=，a AF 42
=， 12021=∠AF F ，∴
120cos 2212
221221AF AF AF AF F F ⋅-+=，即2
2
2228214221644a a a a a c =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
⨯⨯⨯-+=，解之得a c 7=，由此可得双曲线C 的离心率7==
a
c
e ，故答案为：7.
【应试技巧点拨】
１．焦点三角形问题的求解技巧
(1)所谓焦点三角形，就是以双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在双曲线上的三角形．
(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①双曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式． ２．离心率的求法 双曲线的离心率就是
c
a
的值，有些试题中可以直接求出,a c 的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出,a c 的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于,a c 或,a b 的方程，通过这个方程解出c
a
或
b a ，利用公式c
e a
=求出，对双曲线来说，e =，对椭圆来说，e =.
3． 有关弦的问题
(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视双曲线的定义的运用，以简化运算．
①斜率为k 的直线与双曲线的交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长1212|||
PP x x =-
或1221|||P P y y =-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：
12||x x -=
21||y y -=.
②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
4.求解双曲线的的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,a c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于,a c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数． 二年模拟
1. 【2016届邯郸市一中高三十研】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆：
22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）
A B ．22 D 【答案】C
2. 【2016年江西省九江市三模】过双曲线),0,0(1:2
22222b a c b a b y a x C +=>>=-的左焦点F 作圆⊙
4
2
2
2
c y x =+的切线，且点为E ，延长PE 交双曲线C 右支于点P ，若E 为PF 的中点，，则双曲线C 的离
心率为（ )
A ．12+
B ．212+
C ．13+
D ．2
1
3+ 【答案】C
【解析】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，依题意可得F P EO '∥，PF EO ⊥，则
,3,c PF c F P =='∴c c a -=32，即131
32
+=-=
e .
3. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点与抛物线
22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双
曲线的焦距为（ ）
A ．．． D ．【答案】A
4. 【2016年河南省商丘市高三三模】 已知抛物线x y 82
=与双曲线12
22=-y a
x 的一个交点为M ，F 为
抛物线的焦点，若5=MF ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．035=±y x
B ．053=±y x
C ．054=±y x
D ．045=±y x 【答案】A
【解析】依题意,抛物线焦点()2,0F ,设()00,M x y ,因为5MF =,所以0025,3x x +==,所以
(
3,M ±,代入2221x y a -=得2
299241,25a a -==,所以令2220x y a -=,得双曲线的渐近线为x y a
=±,
即035=±y x .
5..【2016年湖南师大附中高三三模】已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1，F 2分别为双
曲线的左右焦点，且|F 1F 2|＝b 2
a
，G 为三角形PF 1F 2的内心，若S △GPF 1＝S △GPF 2＋λS △GF 1F 2成立， 则λ的值为
（ ） A.
1＋22
2
B ．23－1 C.2＋1 D.2－1 【答案】D
6. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考】设双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线与直线
1x =-的一个交点的纵坐标为0y ,若02y <,则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．(
B ．(
C ．)+∞
D ．
)
+∞
【答案】B
【解析】由题意得0b y a =
，所以2222
2451b c a a e e a
<⇒-<⇒<⇒<< B. 7. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】双曲线M ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的实轴的两个端点为A 、
B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若动点Q 满足,QA PA QB PB ⊥⊥,则动点Q 的轨迹为
（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 【答案】C
【解析】设22
22(,),(,),1x y P m n Q x y M a b
-=双曲线:,实轴的两个顶点(,0),(,0)A a B a -,
(,),(,)QA x a y PA m a n =---=---∵QA ⊥PA ，∴()()0x a m a ny ----+=，可得,ny
m a x a
+=-
+同理根据QB ⊥PB ，可得ny m a x a -=--两式相乘可得2222
22
n y m a x a
-=-,∵点(,)P m n 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，22221m n a b ∴-=，整理得2222
2()b n m a a
=- 222221x b y a a -= 故选C ．
8. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知点P 为双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>右支上的一点，点
12,F F ，若M 为12PF F ∆的内心，且1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆=+，则λ的值为 ．
【答案】
4
9．【2016届天津市和平区高三三模】设双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的半焦距为c ，原点到直线
:l ax by ab +=的距离等于1
13
c +，则c 的最小值为 ．
【答案】6
【解析】由题设原点O 到直线:l ax by ab +=的距离为c c ab b a ab d 3
1
12
2+==
+=
,即ab c c 332=+.而222b a ab +≤（当且仅当b a =取等号）,所以)(2333222b a ab c c +≤=+,即222
3
3c c c ≤+,解之得
6≥c ,即的最小值为6.
10. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知C ∆AB 的边AB 在直角坐标平面的x 轴上，AB 的中点为坐标原点，若
C 12AB⋅A =
AB
，
C 3
2BA ⋅B =BA
，又E 点在C B 边上，且满足32C BE =E ，以A 、B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点． （Ⅰ）求AB 及此双曲线的方程；
（Ⅱ）若圆心为()0,0x T 的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M ，N ，求T 点横坐标0x 取值范围．
11.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】双曲线)0,0(1:2
22
2>>=-
b a b
y a
x C 的离心率为2，焦
点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（ ）
A ．2
B ．22
C ．32
D ．4 【答案】D
【解析】∵双曲线)0,0(1:
2
22
2>>=-b a b y a x C 的离心率为2，∴2c
e a
=
=，∵双曲线的渐近线方程为b
y x a =±
，不妨设b
y x a
=，即0bx ay -=，则2c a =，b =，∵焦点到渐近线的距离为
3，∴
d =
=22
a =
==2c =，则焦距为24c =． 12.【2015届吉林省实验中学高三上学期第五次模拟】已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的左、右焦点分别是12,F F ，
正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是 （ ）
A ．
123+ B ．1313+ D ．
1
3
【答案】D
【解析】设14AF m =，则1BF m =,所以22202221624cos6013,BF m m m m m BF =+-⨯⨯⨯=，
=D ． 13.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】设12,F F 分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、
右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若
121
||||3MP F F =,则C 的离心率为（ ）
A.3
2
【答案】A
14. 【山东省济南市2015届高三上学期期末考试】已知12,F F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右两
个焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是
A. (
B.
C.
)
D. ()2+∞，
【答案】D
15.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】我们把离心率2
1
5+=
e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()
2
22
222,0,01b a c b a b
y a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：①双曲线11
5222
=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③
若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且0
21190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为 ．
【答案】①②③④
【解析】对于①，215,12
2+==b a ，则235222+=+=b a c ，2
222215235⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==a c e ，2
15+=
∴e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，ac a c b =-=2
22，整理得012=--e e ，解得2
51+=
e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于③()22212
22212211,,2c a A F a b A B b c B F +=+=+=，由勾股
定理得()2
2
222c a a b b c +=+++，整理得ac b =2由②可知2
5
1+=
e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于()0,2c F ，把c x =代入双曲线方程得12222=-b y a c ，解得a b y 2±=，a b NF 2
2=，由对称关系知2
ONF ∆为等腰直角三角形，a
b c 2=∴，即ac b =2，由①可知25
1+=e 所以双曲线是黄金双曲线．
拓展试题以及解析
1.已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，直线y a =与双曲线两条渐近线的左、右交
点分别为,A B ，若四边形21ABF F 的面积为5ab ，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D 【答案】A
【入选理由】本题考查双曲线的方程及其几何性质,直线与双曲线的位置关系,面积公式等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.
2.已知抛物线2
(0)x ay a =>的焦点与双曲线
22
122
x y -=的右焦点重合，则=a （ ）
A.4
B.8
C.41
D.18
【答案】D 【解析】抛物线方程化为2
1y x a =，∴抛物线的焦点为1(,0)4F a ，双曲线22
122x y -=的右焦点为()20，，∴124a =，∴18
a =，故选D. 【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.
3.在双曲线),0,0(12222
22b a c b a b
y a x +=>>=-中，已知b a c ,,成等差数列，则该双曲线的渐近线的斜率等于（ ） A. 43± B. 35± C. 34± D.53
± 【答案】C
【入选理由】本题考查双曲线的方程，双曲线的性质,等差数列等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.
4.设双曲线22
21(0)2x y b b
-=>与抛物线28y x =交于两点A B 、，且=8AB ，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A ．13
B ．23
C ．4
D 【答案】C
【解析】由已知得(2,4)A ，带入双曲线方程得21621b
-=，则216,4b b ==，所以双曲线的渐近线方程为
y =±，故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为4d =
=，故选C ． 【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查
分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.
5.已知双曲线22
221(0)x y a b a b
=>>－与两条平行直线1l ：y x a =+与2l ：y x a =-相交所得的平行四边形的面积为26b ，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D ．2 【答案】B
【入选理由】本题考查双曲线方程,双曲线的简单几何性质直线与双曲线的位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力，试题形式新颖，故选此题.
6.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准线的交点坐标为48(,)33
-，且双曲线与抛物线的一个公共点M 的坐标0(,4)x ，则双曲线的方程为—————. 【答案】22
1520
x y -=.
【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.。