(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第五章 解三角形 第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用 文

第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用
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1.(必修5P 16练习1改编)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则cos C = .
【答案】-1
2
【解析】由正弦定理知a ∶b ∶c =7∶8∶13，再由余弦定理得cos C =22278-13278+⨯⨯=-1
2.
2.(必修5P 24复习题1改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a 2-b 2
，
sin C
B ，则角A = .
【答案】π
6
【解析】由sin C
B 得c
b ，代入a 2-b 2
得a 2-b 2=6b 2，所以a 2=7b 2
，a
，
所以cos A =222-2b c a bc +
=2，所以角A =π6.
3.(必修5P 20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°方向、距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为
n mile/h.
(第3题)
【答案】2
4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C
-
sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45°
【解析】由正弦定理得a2+c2
=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B
=，
因此B=45°.
5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为.
【答案】
π0
3⎛⎤ ⎥⎝⎦，
【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B=
222
-
2
a c b
ac
+
=
22-
2
a c ac
ac
+
≥
1
2，
因为0<B<π，所以0<B≤π3.
1.测量问题的有关名词
(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.
(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.
(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.
(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.
(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.
2.求解三角形实际问题的基本步骤
(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；
(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.
【要点导学】
要点导学各个击破
利用正、余弦定理解常见的三角问题
例1 (2016·苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且a sin B
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.
【解答】(1)由正弦定理，得a sin B=b sin A.
因为b=4，a sin B
sin A
=2.
又0<A<π
2，所以A=
π
3.
(2)若b=4，c=6，由余弦定理得
a2=b2+c2-2bc cos A=16+36-2×24×1
2=28，
所以a
又因为a sin B
sin B
=7，
所以cos B
=7.
因为D为BC的中点，所以BD=DC
.
在△ABD中，由余弦定理，
得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B，
即AD2=36+7-
7=19，
所以AD
.
变式(2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sin
A sin C.
(1)若a=b，求cos B的值；
(2)若B=90°，且a
ABC的面积.
【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac. 又因为a=b，所以b=2c，a=2c，
由余弦定理可得cos B=
222
-
2
a c b
ac
=
1
4.
(2)由(1)知b2=2ac.
因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac，得c=a
所以△ABC的面积为1.
【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.
实际问题中解三角形
例2 2011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知
在其南偏西30°，相距40 n mile 的C 处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B 处救援
.
(例2(1))
(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h ，求救援船到达客轮遇险位置的时间
()；
(2)求tan θ的值.
【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC 即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sin ∠ACB ，然后利用同角基本关系求出tan ∠ACB ，再利用两角和的正切公式即可得出结果
.
(例2(2))
【解答】(1)如图(2)， 在△ABC 中，AB =80，
AC =40，∠BAC =120°，
由余弦定理可知
BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos 120°，
即BC
， 故救援船到达客轮遇险位置所需时间为
≈1.76 (h ).
(2)在△ABC 中，
由正弦定理可得sin AB ACB ∠=sin BC
BAC ∠， 则sin ∠ACB =AB
BC ·sin ∠BAC
=7.
显然∠ACB 为锐角，
故cos ∠ACB
=，tan ∠ACB
=，
而θ=∠ACB +30°.
所以tan θ=tan(∠ACB +30°)=00
tan tan301-tan30tan ACB ACB ∠∠+
=3.
变式 如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5 km 的E 港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度
.
(变式)
【解答】设∠ABE =θ，船的速度为v km/h ，
则BC =43v ，BE =1
3v ，
在△ABE 中，5sin θ=0
13
sin30v
，即sin θ=152v . 在△ABC 中，0sin(180-)AC θ=0
43
sin120v ， 即AC
=4sin v θ⋅
=
415v ⋅
.
在△ACE 中，
2
53v ⎛⎫
⎪
⎝⎭
=25+2
-
2×5××cos 150°，
化简得259v 2
=25+4003+100=775
3，
即v 2
=93，所以v
例3 (2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心、半径
为
的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB (不计B 离河岸的距离)，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E .经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45°，30°和60°.
(例3)
(1)求烟囱AB 的高度；
(2)如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长.
【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设AB =h m ，在Rt △ABE 中，∠AEB =60°，可
求得EB
=h .
(1)在Rt △ABO 中，∠AOB =30°，OB
，由OE
AB .
(2)在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，BC =AB ，在△CBO 中，求出cos ∠COB ，在△CEO 中，求CE 的长.
【解答】(1)设AB 的高度为h m. 在△CAB 中，因为∠ACB =45°， 所以CB =h .
在△OAB 和△EAB 中，因为∠AOB =30°，∠AEB =60°，
所以OB
，EB
=h .
-3
h =15.
答：烟囱的高度为15 m.
(2)在△OBC 中，OC
m ，OB
，BC =15 m ，
所以cos ∠COB =222-2?OC OB BC OC OB +
5
6，
所以在△OCE 中，OC
m ，OE
，
所以CE 2=OC 2+OE 2
-2OC ·OE cos ∠COE =300+300-600×5
6=100.
答：CE 的长为10 m.
变式 (2015·苏锡常镇三模)如图(1)，甲船从A 处以每小时30 n mile 的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，B 在A 南偏西75°方向且与A 相距
n mile 处.当甲船航行20 min 到达C 处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的D 处，此时两船相距10 n
mile.
(变式(1))
(1)求乙船每小时航行多少海里?
(2)在C 处的北偏西30°方向且与C
相距3 n mile 处有一个暗礁E ，暗礁E
n
mile 范围内为航行危险区域.问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险?如无危险，请说明理由.
(变式(2))
【解答】(1)如图(2)，连接AD ，
由题知CD =10，AC =20
60×30=10，∠ACD =60°，
所以△ACD 为等边三角形， 所以AD =10，又因为∠DAB =45°， 在△ABD 中，由余弦定理得
BD 2=AD 2+AB 2-2AB ×AD cos 45°=100， BD =10，v =10×3=30(n mile/h).
答：乙船的速度为每小时30 n mile.
(2)在海平面内，以点B 为原点，分别以东西方向作x 轴，以南北方向作y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E 为圆心，半径为r
因为∠DAB =∠DBA =45°， 易知直线BD 的方程为y
x ，
E 的横坐标为AB cos 15°-CE sin 30°，纵坐标为AB sin 15°+CE cos 30°+AC ，求得
A
+5，
，C
，
，
E
592⎛++ ⎝， 点E 到直线BD 的距离为d 1
=2+
，故乙船有危险； 点E 到直线AC 的距离为d 2
=
，
故甲船没有危险.
以E
BD 所得的弦长为l
，
所以乙船遭遇危险持续时间t=2
30=
1
15(h).
答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续
1
15h后脱险.
解三角形中的不等关系微课9
● 典型示例
例4 如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP
，点M在线段PQ上
.
(例4)
(1)若OM
PM的长；
(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.
【思维导图】
【规范解答】(1)在△OMP中，∠P=45°，OM
OP
由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos 45°，
得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.
(2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得
sin OM OPM
∠=sin OP OMP
∠，
所以OM=
sin45
sin(45)
OP
α
+，同理ON=
sin45
sin(75)
OP
α
+，
故S△OMN=1
2×OM×ON×sin ∠MON
=1
4×
220
00
sin45
sin(45)sin(75)
OP
αα
++
=
000
1
sin(45)sin(4530)
αα
+++
=⎣⎦
=
=
=
=.
因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°.
所以当α=30°时，sin(2α+30°)取得最大值为1，此时△OMN的面积取得最小值，即
∠POM=30°时，△OMN的面积最小，其最小值为
.
● 总结归纳
(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=A sin(ωx+φ)+B的形式，求得最值.
● 题组强化
1.若△ABC的内角满足sin A
+B=2sin C，则cos C的最小值是.
【答案】4
【解析】由sin A
B=2sin C及正弦定理可得a
b=2c，
所以cos
C=
222
-
2
a b c
ab
+
=
2
22-
2
a b
ab
+
⎝⎭
=
22
32
8
a b
ab
+
≥8ab
=4，
当且仅当3a2=2b2，即a
b
时等号成立，所以cos C
的最小值为4.
2.在锐角三角形ABC中，已知A=2B，则a
b的取值范围是.
【答案】
)
【解析】因为A+B+C=180°，A=2B，△ABC为锐角三角形，
所以30°<B<45°，所以a
b=
sin2
sin
B
B=2cos B∈
3.已知线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时
摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始h后，两车的距离最小
.
(第3题)
【答案】70 43
【解析】如图，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.
因为AB =200，所以BD =200-80t ，问题就转化为求DE 最小时t 的值.
由余弦定理，得DE 2
=BD 2
+BE 2
-2BD ·BE cos 60°=(200-80t )2
+2 500t 2
-(200-80t )·50t =12 900t 2
-42 000t +40 000.当t =70
43时，DE 最小.
4.(2015·苏州调查)如图，有两条相交成60°角的直路X 'X ，Y 'Y ，交点为O ，甲、乙两人分别在OX ，OY 上，甲的起始位置与点O 相距3 km ，乙的起始位置与点O 相距1km.后来甲沿XX '的方向、乙沿YY '的方向同时以4 km/h 的速度步行
.
(第4题)
(1)求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；
(2)设t h 后甲、乙两人的距离为d (t )，写出d (t )的表达式，当t 为何值时，甲、乙两人之间的距离最短?并求出两人之间的最短距离.
【解答】(1)
(km). (2)设t h 后两人的距离为d (t )，
则当0≤t ≤1
4时，d (t
当t >3
4时，d (t
； 当14<t ≤3
4时，d (t
所以d (t
t ≥0)， 当t =1
2
答：当t =1
2
1.(2015·北京卷)在△ABC 中，已知a =3，b
A =2π
3，则角B = . 【答案】π
4
【解析】由正弦定理，得sin a A =sin b B
，即
=，所以sin B
=2，因为b <a ，所以角
B =π4.
2.(2016·苏州期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A =2tan B ，a 2
-b 2=1
3c ，则c = .
【答案】1
【解析】由已知及正、余弦定理知，tan A =2tan B ⇒2221-b c a +=222
2-a c b +⇒3a 2
-3b 2
=c 2
，
又a 2-b 2=13c ，所以c 2
-c =0，解得c =1或c =0(舍去)，故c =1.
3.为了测量塔AB 的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C ，D ，E ，测得仰角分别为θ，2θ，4θ，CD =30 m ，DE
，则θ= ，塔高AB = m. 【答案】15°
15
(第3题)
【解析】如图，设塔脚为B ，由题意得∠ADE =2∠ACD =2θ，可知△ACD 为等腰三角形，所以
AD =30，同理△ADE 也是等腰三角形，AE
=10，在△ADE 中，cos 2θ
=
=2，所以
2θ=30°，所以θ=15°，AB =AE sin 4θ=AE
=15(m).
4.(2015·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点.已知∠B =60°，AD =2，
AC
DC
，则AB =
.
(第4题)
【答案】
【解析】在△ACD 中，因为AD =2，AC
，DC
所以cos ∠ADC
=-，从而∠ADC =135°，
所以∠ADB =45°.在△ADB 中，0sin45AB =0
2sin60，
所以AB
=2⨯
=.
5.(2015·苏州期末)如图，某生态园将三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200 m ，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆
.
(第5题)
(1)若围墙AP ，AQ 的总长度为200 m ，问：如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大?
(2)已知AP 段围墙高1 m ，AQ 段围墙高1.5 m ，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省? 【解答】(1)设AP =x m ，AQ =y m ， 则x +y =200，x >0，y >0.
△APQ 的面积S =1
2xy
sin 120°=4xy .
因为xy ≤
2
x y 2+⎛⎫ ⎪⎝⎭=10 000，当且仅当x =y =100时取等号. 所以当AP =AQ =100 m 时，可使三角形地块APQ 的面积最大. (2)由题意得100×(1×x +1.5×y )=20 000， 即x +1.5y =200.
在△APQ 中，PQ 2
=x 2
+y 2
-2xy cos 120°=x 2
+y 2
+xy ，
即PQ 2=(200-1.5y )2+y 2+(200-1.5y )y =1.75y 2
-400y +40 000，其中0<y <400
3. 则当y =8007，x =200
7时，PQ 2
取得最小值，从而PQ 也取得最小值. 所以当AP =2007 m ，AQ =800
7 m 时，可使竹篱笆用料最省.
【融会贯通】
融会贯通 能力提升
已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan C =222
-ab a b c +.
(1)求角C 的大小；
(2)当c =1时，求a 2
+b 2
的取值范围.
【思维引导】
【规范解答】
(1) 由已知及余弦定理，得sin cos C C =2cos ab ab C ，所以sin C =1
2
.
(2)
分
因为C 为锐角，所以C =30°.
………………………………………………4分
(2)由正弦定理，得sin a A =sin b B =sin c C =1
1
2=2， …………………………5分
所以a =2sin A ，b =2sin B =2sin(A +30°).
a 2+
b 2=4[sin 2A +sin 2(A +30°)]
=401-cos21-cos(260)22A A ⎡⎤
++⎢⎥⎣
⎦
=41111-cos2-cos2-sin22222A A A ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ =4-3cos 2A
sin 2A
A -60°).……………………………………………………………………8分
由000
000900150-90A A ⎧<<⎨<<⎩，
，得60°<A <90°，…………………………………………10分
所以60°<2A -
60°<120°，<sin(2A -60°)≤1 .………………………………12分
所以7<a2+b2所以a2+b2的取值范围是(7，
【精要点评】三角形有六个基本元素，即三条边和三个角，解三角形最主要的就是将六个基本元素化为已知的过程，一般要用正、余弦定理等工具，但选用怎样的公式，如何转化分析，要总结经验和规律.
趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第63~64页.
【检测与评估】
第32课正弦定理与余弦定理的综合应用
一、填空题
1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离为.
2.小明同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是.
3.如图，要测量河对岸A，B两点之间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离为m.
(第3题)
4.已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为.
5.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向、相距20 n mile 的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10 n mile 的C 处的乙船.设乙船朝北偏东θ度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ= .
(第5题)
6.如图，在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，AD ⊥AC ，sin ∠
BAC=3，
，AD=3，那么BD
的长为
.
(第6题)
7.(2015·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =2，cos C=-1
4，
3sin A=2sin B ，则c = .
8.(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西60°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶D 在北偏西15°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m .
(第8题)
二、 解答题
9.如图，在△ABC 中，sin 2
ABC
=，AB=2，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，
BD=.
(1)求BC 的长. (2)求△DBC 的面积
.
(第9题)
10.(2015·南京三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a cos C+c cos A=2b cos A. (1)求角A 的大小；
(2)求sin B+sin C 的取值范围.
11.如图，在海岛A 上有一座海拔1 km 的山，山顶设有一个观察站P ，上午9时，测得一轮船在海岛北偏东30°、俯角为30°的B 处，到9时10分又测得该船(船直线航行)在海岛北偏西60°、俯角为45°的C 处. (1)求船的航行速度；
(2)在C 处，该船改为向正南方向航行，且不改变速度，10min 后到达什么位置(以点A 为参照点
)?
(第11题)
三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)
12.在△ABC 中，已知·cos ·
cos b C c B =1cos21cos2C
B ++，则△AB
C 的形状为 .
13.在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2
(B+C)<sin 2
B+sin 2
C ，则角A 的取值范围是 .
【检测与评估答案】
第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用
1. 70 n mile 【解析】设轮船A ，B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ，F ，则依题意有
CE=25×2=50(n mile)，CF=15×2=30(n mile)，且∠ECF=120°，所以
70.
2.
km 【解析】如图，由条件知AB=24×15
60=6，在△ABS 中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°-75°=105°，所以∠ASB=45°.由正弦定理知0sin30BS =0
sin45AB ，所以BS=0
sin45AB ·sin 30°=
(km)
.
(第2题)
3.
20 【解析】如图，由题设知△BDC 为等腰直角三角形，故DB=40.由∠ACB=60°和∠ADB=60°知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠BAD=∠BCD=45°.在△BDA 中，运用正弦定理可得
AB=
.
(第3题)
4.
-4 【解析】设最小边为a
a ，2a.由余弦定理得最大角的余弦值为cos α
=-4.
5.
【解析】如图，过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，则∠DAC=60°，AC=10，所
以AD=5，CD=
BD=25，BC=
sin θ=sin ∠DCB=BD BC
=
.
(第5题)
6.
【解析】因为AD ⊥AC ，所以∠DAC=90°，所以在△ABD 中，cos ∠BAD=cos(∠BAC-
90°)=sin ∠
BAC=，所以
7. 4 【解析】由3sin A=2sin B 及正弦定理得3a=2b ，又因为a=2，所以b=3，由余弦定理得
c 2=a 2+b 2
-2ab cos C=4+9-2×2×3×1-4⎛⎫
⎪⎝⎭=16，所以c=4.
8.
【解析】在△ABC 中，∠CAB=30°，∠ACB=75°-30°=45°，根据正弦定理知
sin BC BAC ∠=sin AB ACB ∠，即BC=sin AB ACB ∠×sin ∠
BAC=×12=
CD=BC×tan ∠DBC=
×=
9. (1) 因为sin
2
ABC
∠
=3，
所以cos ∠ABC=1-2×13=1
3.
在△ABC 中，设BC=a ，AC=3b ，
则由余弦定理可得9b 2=a 2
+4-43a ， ①
在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得
cos ∠
ADB=2164-4b +，
cos ∠
BDC=
22
16-b a +.
因为cos ∠ADB=-cos ∠BDC ，
所以2164-4b +
=-2216-b a +，
所以3b 2
-a 2
=-6. ②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3.
(2) 由(1)得△ABC的面积为1
2×2×3
×3=
，所以△DBC
的面积为3.
10. (1) 因为a cos C+c cos A=2b cos A，
所以sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos A，即sin(A+C)=2sin B cos A.
因为A+B+C=π，
所以sin(A+C)=sin B.
从而sin B=2sin B cos A，
因为sin B≠0，所以cos A=1 2.
因为0<A<π，所以A=π3.
(2) sin B+sin C=sin B+sin
2π
-
3
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭=sin B+sin
2π
3cos B-cos
2π
3sin B
=3
2sin
B+2cos
π
6
B
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭.
因为0<B<2π
3，所以
π
6<B+
π
6<
5π
6.
所以sin B+sin C
的取值范围为
2
⎛
⎝.
11. (1) 如图，在Rt△APB中，∠APB=60°，PA=1，所以
.
在Rt△PAC中，∠APC=45°，
所以AC=PA=1.
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，
所以
=2.
所以船的航行速度是2÷1
6=12(km/h).
(第11题) (2) 设10 min后该船到达点D.
因为该船向正南方向航行，
所以∠ACD=60°，CD=12×1
6=2.
在△ACD中，由余弦定理得AD2=CD2+AC2-2CD×AC×cos ∠ACD=4+1-2×2×1×1
2=3，所以
，
所以△ACD是直角三角形，∠CAD=90°.
而∠EAC=30°，所以∠EAD=90°-30°=60°，
所以10 min后该船距离在点A南偏西30°、距离A
km处.
12.等腰或直角三角形【解析】由题设得1cos2
1cos2
C
B
+
+=
2
2
2cos
2cos
C
B=
2
2
cos
cos
C
B=
·cos
·cos
b C
c B，
所以cos
cos
C
B=
b
c.由正弦定理知
b
c=
sin
sin
B
C，所以
sin
sin
B
C=
cos
cos
C
B，所以sin C cos C=sin B cos B，
即sin 2C=sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C=2B或2C+2B=180°，所以B=C或B+C=90°，故三角形为等腰或直角三角形.
13.
ππ
32
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
【解析】由题意得sin2A<sin2B+sin2C，再由正弦定理得a2<b2+c2，即b2+c2-a2>0，
则cos A=
222
-
2
b c a
bc
+
>0，因为0<A<π，所以0<A<
π
2.又a为最大边，所以A>
π
3.因此角A的取值
范围是
ππ
32
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
.。