苏教版八下数学《相似三角形》期末汇编(含答案)

八下数学《相似三角形》期末汇编
一．选择题（共11小题）
1．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）
A．1：1B．1：2C．1：3D．2：3
2．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）
A．（3，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，2）
3．如图，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，则AB的长为（）
A．1B．2C．3D．4
4．如图，在▱ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果＝，那么的值是（）
A．B．C．D．
5．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP并延长，交BC于点Q．连接DP，将△ADP
绕点A顺时针旋转90°至△ABP′，连结PP′．若AP＝1，PB＝2，PD＝，则线段AQ的长为（）
A．B．4C．D．
6．如图，＝＝2，则＝（）
A．B．2C．D．3
7．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（）
A．B．C．D．
8．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判断△ADE∽△ACB的是（）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．D．
9．如图，已知点A是反比例函数y＝在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以OA 为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）
A．﹣3B．3C．﹣D．3
10．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝的图象经过点D，则k值为（）
A．﹣14B．14C．7D．﹣7
11．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
二．填空题（共17小题）
12．若，则＝．
13．如图，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜（平面镜的高度忽略不计），刚好在平面镜中的点C处看到旗杆顶部E，此时小军的站立点B与点C的水平距离为2m，旗杆底部D与点C的水平距离为12m．若小军的眼睛距离地面的高度为1.5m（即AB＝1.5m），则旗杆的高度为m．
14．如图，在△ABC中，DE∥MN∥BC，且DE、MN把△ABC的面积三等分，那么DE：MN：BC＝．
15．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A在DE边上，则△BEC的面积＝．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝3cm，∠A＝60°．点E，F分别在边AD，AB上，且DE ＝1cm．将△AEF沿EF翻折，使点A落在对角线BD上的点A'处，则＝．
17．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为．
18．如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线l的同侧，边AD，EH在直线l上，且AD＝5cm，EH＝4cm，EF＝3cm．保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线l左右移动，连接BF，CG，则BF+CG的最小值为cm．
19．已知＝，则＝．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝．
22．已知2a＝3b，那么＝．
23．如图，小丽在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网3米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网米处．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B'C'，B'C′交AB于点E，若AE＝BD，则DE的长是．
25．如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为m．
26．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，要△ABC∽△DAC，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q 分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝时，△CPQ与△CBA相似．
28．如图，直线y＝2x与反比例函数y＝的图象交于点A（3，m），点B是线段OA的中点，点E（n，4）在反比例函数的图象上，点F在x轴上，若∠EAB＝∠EBF＝∠AOF，则点F的横坐标为．
三．解答题（共17小题）
29．如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE＝3cm，求BC的长．
30．如图1已知矩形ABCD，点M为矩形中心（AC与BD交点），现有两动点P、Q分别沿着A﹣B﹣C及A﹣D﹣C的方向同时出发匀速运动，速度都为每秒一个单位长度，当点P 到达终点C时两动点都停止运动，连接PQ，在运动过程中，设运动时间为t（s），线段PQ长度为d个单位长度，d与t的函数关系如图2
（1）AD＝AB＝．
（2）t为多少时，线段PQ经过点M？并且求出此时∠APM的度数．
（3）运动过程中，连接MQ和MP，求当∠PMQ为直角时的t值．
31．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm．点P从点A出发，以5cm/s 的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）．
（1）PQ＝；（用含t的代数式表示）
（2）当点N分别满足下列条件时，求出相应的t的值；
①点C，N，M在同一条直线上；
②点N落在BC边上；
（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值．
32．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，＝＝，△BCD的周长是24cm．（1）求△ABC的周长；
（2）求△BCD与△ABD的面积比．
33．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当＝时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG．34．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y＝（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．
（1）m＝；
（2）求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
35．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别A（1，3），B（2，1），C（4，2），以坐标原点为位似中心，在第三象限画出与△ABC位似的三角形，使相似比为2：1，并写出所画三角形的顶点坐标．
36．如图，Rt△ABC中∠C＝90°且AC＝CD＝，又E、D为CB的三等分点．（1）求证△ADE∽△BDA；
（2）证明：∠ADC＝∠AEC+∠B；
（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE则使线段PE的长度为整数的点的个数．（直接写答案无需说明理由）
37．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10与x轴、y轴分别交于A，B两点．（1）反比例函数y＝的图象与直线AB交于第一象限内的C，D两点（BD＜BC），当AD＝4DB时，求k1的值；
（2）设线段AB的中点为P，过P作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y＝的图象于点Q，连接OP，OQ，当以P，O，Q为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似时，求k2的值．
38．如图，AM是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作KD ∥AB，交BC于点K，过点C作CE∥AM，交KD的延长线于点E，连接AE、BD．（1）求证：△ABM∽△EKC；
（2）求证：AB•CK＝EK•CM；
（3）判断线段BD、AE的关系，并说明理由．
39．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点A（m，3）
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝x沿y轴向上平移n个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若＝，连接AB，OB．
①求n的值；②判断AB与OA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在射线OA上有一点P（不与O重合），使△P AB∽△BAO，求点P的坐标．
40．按下列要求在如图格点中作图：
（1）作出△ABC关于原点成中心对称的图形△A'B'C'；
（2）以点B为位似中心，作出△ABC放大2倍的图形△BA″C″．
41．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在BC上，AE交BD于F．（1）若E是靠近点B的三等分点，求；
①的值；
②△BEF与△DAF的面积比；
（2）当时，求的值．
42．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点B（6，8），动点M，N同时从O 点出发，点M沿射线OA方向以每秒1个单位的速度运动，点N沿线段OB方向以每秒
0.6个单位的速度运动，当点N到达点B时，点M，N同时停止运动，连接MN，设运动
时间为t（秒）．
（1）求证△ONM～△OAB；
（2）当点M是运动到点时，若双曲线的图象恰好过点N，试求k的值；
（3）△MNB与△OAB能否相似？若能试求出所有t的值，若不能请说明理由．
43．如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，点B在反比例函数（x＞0）图象上，△BOC的面积为8．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，△BEF的面积最大？
（3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
44．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣8，0）．
（1）点B的坐标为；
（2）在第二象限内是否存在点P，使得以P、O、A为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，请求出所有符台条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）
A．1：1B．1：2C．1：3D．2：3
【分析】如图，证明AD∥BC，AD＝BC；得到△DEF∽△BCF，进而得到；证明BC＝AD＝2DE，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC；
∴△DEF∽△BCF，
∴；
∵点E是边AD的中点，
∴BC＝AD＝2DE，
∴．故选B．
【点评】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键．2．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）
A．（3，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，2）
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
3．如图，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，则AB的长为（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵△ACD∽△ADB，
∴＝，
∴AB＝＝1，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
4．如图，在▱ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果＝，那么的值是（）
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的性质、相似三角形的判定定理得到△EAF∽△EBC，△EAF∽△CFD，根据相似三角形的性质定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△EAF∽△EBC，△EAF∽△CFD，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比、相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
5．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP并延长，交BC于点Q．连接DP，将△ADP 绕点A顺时针旋转90°至△ABP′，连结PP′．若AP＝1，PB＝2，PD＝，则线段AQ的长为（）
A．B．4C．D．
【分析】如图作BH⊥AQ于H．首先证明∠BPP′＝90°，再证明△PHB是等腰直角三角形，求出PH、BH、AB，再证明△ABH∽△AQB，可得AB2＝AH•AQ，由此即可解决问题；
【解答】解：如图作BH⊥AQ于H．
∵△P AP′是等腰直角三角形，P A＝1，
∴PP′＝，
∵BP′＝PD＝，PB＝2，
∴P′B2＝PB2+PP′2，
∴∠BPP′＝90°，
∵∠APP′＝45°，
∴∠HPB＝45°，
∴PH＝HB＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝，
∵∠BAH＝∠BAQ，∠ABQ＝∠AHB＝90°，
∴△ABH∽△AQB，
∴AB2＝AH•AQ，
∴AQ＝，
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，所以中考常考题型．
6．如图，＝＝2，则＝（）
A．B．2C．D．3
【分析】设AD＝2k，BD＝k，则AB＝3k，既可求得结果．
【解答】解：∵，
设AD＝2k，BD＝k，
∴AB＝3k，
∴＝
故选：D．
【点评】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行线分线段成比例解答．
7．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（）
A．B．C．D．
【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：∵，
∴AB2＝2×（2﹣AB），
∴AB2+2AB﹣4＝0，
解得，AB1＝，AB2＝（舍去），
故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程得到解法、理解黄金分割的概念是解题的关键．
8．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判断△ADE∽△ACB的是（）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．D．
【分析】A和B：根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【解答】解：A、由∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
D、因为，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
因为本题选择不能判断△ADE∽△ACB的条件，
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．
9．如图，已知点A是反比例函数y＝在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以OA 为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）
A．﹣3B．3C．﹣D．3
【分析】设A（a，b），则ab＝，分别过A，C作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，根据相似三角形的判定证得△AOE∽△COF，由相似三角形的性质得到OF＝b，CF＝b，则k＝﹣OF•CF＝﹣3．
【解答】解：设A（a，b），
∴OE＝a，AE＝b，
∵在反比例函数y＝图象上，
∴ab＝，
分别过A，C作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵矩形AOCB，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
∴∠OAE＝∠COF＝90°﹣∠AOE，
∴△AOE∽△COF，
∵OC＝OA，
∴＝＝＝，
∴OF＝AE＝b，CF＝OE＝a，
∵C在反比例函数y＝的图象上，且点C在第四象限，
∴k＝﹣OF•CF＝﹣a•b＝﹣3ab＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义和求法，正确作出辅助线证得△AOE∽△COF是解题的关键，同时注意k的符号．10．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝的图象经过点D，则k值为（）
A．﹣14B．14C．7D．﹣7
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由同角的余角相等可得出∠OBA＝∠EAD，结合∠AOB＝∠DEA＝90°可得出△AOB∽△DEA，根据相似三角形的性质结合点A、B的坐标，即可得出AE、DE的长度，进而可得出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示．
∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠EAD＝90°，
∴∠OBA＝∠EAD．
又∵∠AOB＝∠DEA＝90°，
∴△AOB∽△DEA，
∴＝＝．
∵四边形ABCD为矩形，点A（3，0），B（0，6），AB：BC＝3：2，
∴DE＝AO＝2，AE＝BO＝4，
∴OE＝OA+AE＝3+4＝7，
∴点D的坐标为（7，2）．
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝7×2＝14．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出点D的坐标是解题的关键．
11．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形．
【解答】解：根据题意，可得△ADE∽△ABC，
根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为AE与EC不是对应边，
所以B不成立．
故选：B．
【点评】此题考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．
二．填空题（共17小题）
12．若，则＝．
【分析】根据合比性质得到：则易得＝．
【解答】解：∵，
∴＝＝，
∴＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了比例的性质，注意合比性质的利用．
13．如图，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜（平面镜的高度忽略不计），刚好在平面镜中的点C处看到旗杆顶部E，此时小军的站立点B与点C的水平距离为2m，旗杆底部D与点C的水平距离为12m．若小军的眼睛距离地面的高度为1.5m（即AB＝1.5m），则旗杆的高度为9m．
【分析】根据题意容易得到△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意可得：AB＝1.5m，BC＝2m，DC＝12m，
△ABC∽△EDC，
则＝，
即＝，
解得：DE＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．
14．如图，在△ABC中，DE∥MN∥BC，且DE、MN把△ABC的面积三等分，那么DE：MN：BC＝1：．
【分析】根据相似三角形的判定及其性质，求出线段DE，MN，BC之间的数量关系，即可解决问题．
【解答】解：∵DE、FG将△ABC的面积三等分，
∴设△ADE、△AFG、△ABC的面积分别为λ、2λ、3λ
∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴＝（）2，＝（）2，
∴DE：MN：BC＝1：：，
故答案为1：：．
【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
15．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A在DE边上，则△BEC的面积＝．
【分析】过B作BP⊥AD于P，BQ⊥AC于Q，依据∠BAD＝∠BAC，即AB平分∠DAC，可得BP＝BQ，进而得出BP＝，AD＝，S△ABD＝AD×BP＝，再根据△ABD ∽△CBE，可得＝（）2，即可得到S△CBE＝．
【解答】解：如图，过B作BP⊥AD于P，BQ⊥AC于Q，
由旋转可得，∠CAB＝∠D，BD＝BA＝3，
∴∠D＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠BAC，即AB平分∠DAC，
∴BP＝BQ，
又∵Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，BQ＝，
∴BP＝，
∴Rt△ABP中，AP＝＝，
∴AD＝，
∴S△ABD＝AD×BP＝，
由旋转可得，∠ABD＝∠CBE，DB＝AB，EB＝CB，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝（）2，即＝，
解得S△CBE＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意相似三角形的面积之比等于相似比的平方．16．如图，在菱形ABCD中，AB＝3cm，∠A＝60°．点E，F分别在边AD，AB上，且DE ＝1cm．将△AEF沿EF翻折，使点A落在对角线BD上的点A'处，则＝．
【分析】只要证明△A′DE∽△FBA′，可得＝延长即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AD＝AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ABD＝60°，
∵∠EA′B＝∠EA′F+∠F A′B＝∠DEA′+∠EDA′，
∵∠EA′F＝∠EDA′＝60°，
∴∠DEA′＝∠F A′B，
∴△A′DE∽△FBA′，
∴＝
∵AD＝AB＝3，DE＝1，
∵EA＝EA′＝2，
∴＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换、菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为75°．
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故答案为：75°．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理的综合运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线l的同侧，边AD，EH在直线l上，且AD＝5cm，EH＝4cm，EF＝3cm．保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线l左右移动，连接BF，CG，则BF+CG的最小值为cm．
【分析】作点C关于FG的对称点P，连接GP，以FG，PG为邻边作平行四边形PGFQ，则BF+CG＝BF+QF，当B，F，Q三点共线时，BF+CG的最小值为BQ的长，过点Q作QN⊥AB于N，依据勾股定理即可得到Rt△BNQ中，BQ＝＝，即可得出BF+CG的最小值为．
【解答】解：如图所示，作点C关于FG的对称点P，连接GP，
以FG，PG为邻边作平行四边形PGFQ，则FQ＝PG＝CG，FG＝QP＝4，
∴BF+CG＝BF+QF，
∴当B，F，Q三点共线时，BF+CG的最小值为BQ的长，
过点Q作QN⊥AB于N，
由题可得BN＝2（5﹣3）＝4，NQ＝5﹣4＝1，
∴Rt△BNQ中，BQ＝＝，
∴BF+CG的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19．已知＝，则＝﹣．
【分析】根据题意，设x＝3k，y＝4k，代入即求得的值．
【解答】解：设x＝3k，y＝4k，
∴＝＝﹣．
【点评】已知几个量的比值时，设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于．
【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO＝AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD＝AE＝b，AD＝OE＝a，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAE+∠BAD＝90°，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠BAD＝∠AOE，
在△AOE和△BAD中，
，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE＝BD＝b，OE＝AD＝a，
∴DE＝AE﹣AD＝b﹣a，OE+BD＝a+b，
则B（a+b，b﹣a）；
∵A与B都在反比例图象上，得到ab＝（a+b）（b﹣a），
整理得：b2﹣a2＝ab，即（）2﹣﹣1＝0，
∵△＝1+4＝5，
∴＝，
∵点A（a，b）为第一象限内一点，
∴a＞0，b＞0，
则＝．
故答案为．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝5．
【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．
【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CF A＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
即BG＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．
22．已知2a＝3b，那么＝．
【分析】直接利用已知得出a＝b，进而代入求出答案．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴a＝b，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用b代替a是解题关键．
23．如图，小丽在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网3米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网6米处．
【分析】由题意可得，△ABE∽△ACD，故＝，由此可求得AC的长，那么BC的长就可得出．
【解答】解：如图所示：
已知网高BE＝0.8m，击球高度CD＝2.4m，AB＝3m，
由题意可得，△ABE∽△ACD
∴＝
∴AC＝＝＝9（m），
∴BC＝AC﹣AB＝6（m），
∴她应站在离网6米处．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B'C'，B'C′交AB于点E，若AE＝BD，则DE的长是2．
【分析】在Rt△ACB中，AB＝＝5，由题意设BD＝B′D＝AE＝x，由△EDB′∽△ACB，可得＝，推出DE＝x，可得x+x+x＝5，求出x即可解决问题；
【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝5，
由题意设BD＝B′D＝AE＝x，
∵△EDB′∽△ACB，
∴＝，
∴DE＝x，
∴x+x+x＝5，
∴x＝，
∴DE＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查旋转变换、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由参数构建方程解决问题，所以中考常考题型．
25．如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为m．
【分析】先求出点C到AB边的距离，再根据相似三角形△ACB和△DCE对应高的比等于相似比列式求解即可．
【解答】解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，
∴另一直角边长为：＝2（m），
则斜边长为：＝2.5，
设点C到AB的距离为h，
则S△ABC＝×2.5h＝1.5，
解得：h＝1.2，
∵正方形GFDE的边DE∥GF，
∴△ACB∽△DCE，
＝，
即＝，
解得：x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，相似三角形对应高的比等于相似比的性质，读懂题目信息并熟记性质是解题的关键．
26．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，要△ABC∽△DAC，还需添加一个条件，你添加的条件是∠BAC＝∠D．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【分析】先根据角平分线的定义得出∠ACB＝∠ACD，再用判断两三角形相似的方法即可．
【解答】解：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠D（或∠ABC＝∠ADC），
∴△ABC∽△DAC，
故答案为∠BAC＝∠D．
【点评】此题是相似三角形的判定，主要考查了角平分线的定义，相似三角形的判定，解本题的关键找掌握判断两三角形相似的方法．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q 分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝ 4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
【分析】分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边
成比例列式计算即可得解．
【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，＝，
即＝，
解得t＝4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，＝，
即＝，
解得t＝．
综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．
28．如图，直线y＝2x与反比例函数y＝的图象交于点A（3，m），点B是线段OA的中点，点E（n，4）在反比例函数的图象上，点F在x轴上，若∠EAB＝∠EBF＝∠AOF，则点F的横坐标为．
【分析】根据点A在直线y＝2x上可以求得点A的坐标，从而可以求得点B的坐标和k 的值，进而求得点E的坐标，然后根据三角形相似即可求得OF的长度，本题得以解决．【解答】解：∵直线y＝2x与反比例函数y＝的图象交于点A（3，m），
∴m＝2×3＝6，。