苏科版2021-2022学年八年级数学上册 第3章 勾股定理 单元检测试题 含答案

第3章勾股定理单元检测试题
（满分100分；时间：90分钟）
一、选择题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）
1. 三角形三边长分别是5，12，13，它的最短边上的高为（）
B.30
C.13
D.12
A.60
13
2. 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）
A.13
B.5
C.13或5
D.4
3. 下列各组3个整数是勾股数的是（）
A.4，5，6
B.6，8，9
C.13，14，15
D.8，15，17
4. 如图，以Rt△ABC的直角边BC为边向外画正方形BCDE，斜边AB长为20cm，正方形的面积144cm2，则AC边的长为（）
A.256cm
B.8cm
C.16cm
D.32cm
5. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）
A.1，2，3
B.√2，√6，√3
C.1，2，√3
D.2，3，5
6. 如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面距离为5米，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根C距离为3m，同时梯
子顶端B下降至B′，那么BB′()
A.等于1米
B.小于1米
C.大于1米
D.以上都不对
7. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律的第⑦组勾股数是（）
A.14、48、49
B.16、12、20
C.16、63、65
D.16、30、34
8. 如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距
多少海里？（）
A.35海里
B.50海里
C.60海里
D.40海里
9. （读诗解题）有诗曰：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士好奇，算出索长有几？”（注：一步合五尺）（）
A.12尺
B.13.5尺
C.14.5尺
D.15.5尺
二、填空题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）
10. 若直角三角形的两直角边之和为7，面积为6，则斜边长为________．
11. 三角形的三边长为a，b，c，满足(a+b)2−c2=2ab，则此三角形是________．
12. 满足a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数，如3、4、5是一组勾股数．请写出一组勾股数（不是3、4、5的整数倍）：________．
13. 下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8．其中可以为直角三角形三边长的有________．（把所有你认为正确的序号都写上）
14. 测得一块三角形麦田的三边长分别为5m，12m，13m，则这块麦田的面积为
________m2．
15. 有一个长方体纸盒，长，宽，高分别为16cm，7cm，5cm，一根长为18cm的铅笔________（填能或不能）放入这个纸盒中．
16. 如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从A角走到C角，至少走________
米．
17. 有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为________米．
18. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形E的面积为100，则A、B、C、D四个正方形的面积之和为________．
三、解答题（本题共计7 小题，共计66分，）
19. 如图，△ABC中AC=4，BC=3，AB=5，求△ABC的面积．
20. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？
21. 甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35∘方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．
22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13；
（3）如图3，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC．
23. 一个长方形门框内框的尺寸（单位：分米）如图所示，一块长4米，宽3米的玻璃板（厚度不计），能否从门框内通过？为什么？
24. 如图所示，是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离H=6.5米，自动扶梯的
倾斜角为30∘．
（1）求自动扶梯两基点A、B间的距离L和这两点的水平距离M；
（2）若自动扶梯的运动速度为v=0.5米/秒，求顾客乘自动扶梯上一层楼的时间t．
25. 在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
其中m，n为正整数，且m>n．
(1)观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a，b，c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
(2)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：a=________，b=________，c=________．
(3)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
参考答案
一、选择题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）1.
【答案】
D
【解答】
解：∵ 52+122=132，
∵ 此三角形是直角三角形，
∵ 5是最短边，
∵ 最短边上的高就是另一直角边12．
故选D．
2.
【答案】
C
【解答】
当2和3都是直角边时，则x2＝4+9＝13；
当3是斜边时，则x2＝9−4＝5．
3.
【答案】
D
【解答】
解：A、42+52=41≠62，故不是勾股数；
B、62+82=100≠92，故不是勾股数；
C、132+142=365≠152，故不是勾股数；
D、82+152=289=172，故是勾股数；
故选D．
4.
【答案】
C
【解答】
∵ 正方形BCDE的面积为144cm2，
∵ BC=√144=12cm，
∵ 在直角三角形ABC中，斜边AB长为20cm，
∵ AC2+122＝202，
解得AC＝16．
5.
【答案】
C
【解答】
A、12+22≠32，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、(√2)2+(√3)2≠(√6)2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、12+(√3)2＝22，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D、22+32≠52，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
6.
【答案】
B
【解答】
解：在直角三角形ACB中，因为CA=2，CB=5
由勾股定理得：AB=√29，
由题意可知AB=A′B′，=√29，
又CA′=3，根据勾股定理得：CB′=2√5，
∵ BB′=5−2√5<1．
故选B．
7.
【答案】
C
【解答】
解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2(n+1)，第二个是：n(n+2)，第三个数是：(n+1)2+1，
故可得第⑦组勾股数是16，63，65．
故选C．
8.
【答案】
C
【解答】
解：∵ 两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∵ ∠BAC=90∘，
两小时后，两艘船分别行驶了16×3=48，12×3=36海里，
根据勾股定理得：√482+362=60（海里）．
故选C．
9.
【答案】
C
【解答】
解：设绳索长为x尺，
则由题意得(x−4)2+102=x2
解得x=14.5（尺）
故选C．
二、填空题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）
10.
【答案】
5
【解答】
解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7−x，
x(7−x)=6，
根据题意得1
2
解得x=3或x=4，
所以斜边长为√32+42=5，
故答案为：5．
11.
【答案】
直角三角形
【解答】
解：∵ (a+b)2−c2=2ab，
∵ a2+b2=c2，
∵ 三角形是直角三角形．
12.
【答案】
5，12，13（答案不唯一）
【解答】
解：∵ 52+122=132，
∵ 5，12，13是一组勾股数．
故答案为：5，12，13（答案不唯一）．
13.
【答案】
①②
【解答】
解：①∵ 52+122=132，能构成直角三角形；
②72+242=252，能构成直角三角形；
③12+22≠42，不能构成直角三角形；
④52+62≠82，不能构成直角三角形．
所以①②．
故答案为：①②．
14.
【答案】
30
【解答】
解：∵ 52+122=132，
∵ 三边长分别为5m、12m、13m的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5m、12m，
×5×12=30m2．
∵ 此三角形的面积为1
2
故答案为：30．
15.
【答案】
能
【解答】
解：如图所示：
由题意得：AC2=AB2+BC2，=162+72=305，AC′2=AC2+ CC′2，
故AC′2=AB2+BC2+CC′2，
从而可得对角线长度AC′=√AC2+CC′2=√305+52=√330(cm)>18cm，
∵ 能将一根长为18cm的铅笔放入这个盒子里面．
故答案为：能．
16.
【答案】
50
【解答】
解：如图连接AC，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∵ B=90∘，
在Rt△ABC中，∵ ∠B=90∘，AB=30米，BC=40米，
∵ AC=√AB2+BC2=√302+402=50米．
根据两点之间线段最短可知，小王从A角走到C角，至少走50米，故答案为50．
17.
【答案】
√2
2
【解答】
解：∵ 正方形的对角线长=√12+12=√2，
∵ 圆形盖半径至少为√2
米．
2
．
故答案为：√2
2
18.
【答案】
100
【解答】
解：
根据勾股定理的几何意义，
可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，
S1+S2=S E，于是S E=S1+S2，
即S E=A+B+C+D=100．
故答案为：100．
三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）
19.
【答案】
解：∵ AC=4，BC=3，AB=5，
∵ AC2+BC2=AB2，
∵ ∠C=90∘，
∵ △ABC的面积=1
2×AC×BC=1
2
×3×4=6．
【解答】
解：∵ AC=4，BC=3，AB=5，∵ AC2+BC2=AB2，
∵ ∠C=90∘，
∵ △ABC的面积=1
2×AC×BC=1
2
×3×4=6．
20.
【答案】
线段AD的长度是6.4
【解答】
∵ Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝8，BC＝6，∵ 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=10
又∵ CD⊥AB
∵ S△ABC=1
2AC×BC=1
2
AB×CD
∵ 1
2×8×6=1
2
×10×CD
∵ CD＝4.8
∵ 在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AD=√AC2−CD2=√82−4.82=6.4
21.
【答案】
解：由题意得：甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里，∵ 602+802=1002，
∵ ∠BAC=90∘，
∵ C岛在A北偏东35∘方向，
∵ B岛在A北偏西55∘方向．
∵ 乙船所走方向是北偏西55∘方向．
【解答】
解：由题意得：甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里，∵ 602+802=1002，
∵ ∠BAC=90∘，
∵ C岛在A北偏东35∘方向，
∵ B岛在A北偏西55∘方向．
∵ 乙船所走方向是北偏西55∘方向．
22.
【答案】
解：（1）（2）如图所示：
（3）连接AC，
由勾股定理得：AC=BC=√5，AB=√10，
∵ AC2+BC2=AB2=10，
∵ △ABC为等腰直角三角形
∵ ∠ABC=45∘．
【解答】
解：（1）（2）如图所示：
（3）连接AC，
由勾股定理得：AC=BC=√5，AB=√10，
∵ AC2+BC2=AB2=10，
∵ △ABC为等腰直角三角形
∵ ∠ABC=45∘．
23.
【答案】
解：连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC=√AB2+BC2=√1．52+2．52=√8.5<3．
故薄木板不能从门框内通过．
【解答】
解：连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC=√AB2+BC2=√1．52+2．52=√8.5<3．
故薄木板不能从门框内通过．
24.
【答案】
解：（1）∵ ∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，H=6.5，
∵ L=2H=2×6.5=13（米），
∵ M =√L 2−H 2=√132−(132)2=
13√32（米）； （2）由t =L v ，得t =130.5=26（秒）．
【解答】
解：（1）∵ ∠ACB =90∘，∠BAC =30∘，H =6.5，
∵ L =2H =2×6.5=13（米），
∵ M =√L 2−H 2=√132−(132
)2=13√32（米）； （2）由t =L v ，得t =130.5=26（秒）．
25.
【答案】
解：(1)当m =2，n =1时，a =5，b =4，c =3，
∵ 32+42=52，
∵ a ，b ，c 的值能为直角三角形三边的长；
m 2+n 2,2mn ,m 2−n 2
(3)以a ，b ，c 为边长的三角形一定为直角三角形，
∵ a 2=(m 2+n 2)2=m 4+2m 2n 2+n 4，
b 2+
c 2=m 4−2m 2n 2+n 4+4m 2n 2=m 4+2m 2n 2+n 4，
∵ a 2=b 2+c 2，
∵ 以a ，b ，c 为边长的三角形一定为直角三角形．
【解答】
解：(1)当m =2，n =1时，a =5，b =4，c =3，
∵ 32+42=52，
∵ a ，b ，c 的值能为直角三角形三边的长；
(2)观察得，a =m 2+n 2，b =2mn ，c =m 2−n 2；
故答案为：m 2+n 2；2mn ；m 2−n 2.
(3)以a ，b ，c 为边长的三角形一定为直角三角形，
∵ a 2=(m 2+n 2)2=m 4+2m 2n 2+n 4，
b 2+
c 2=m 4−2m 2n 2+n 4+4m 2n 2=m 4+2m 2n 2+n 4，
∵ a 2=b 2+c 2，
∵ 以a ，b ，c 为边长的三角形一定为直角三角形．
1、三人行，必有我师。

21.10.410.4.202108:0508:05:13Oct -2108:05
2、书是人类进步的阶梯。

二〇二一年十月四日2021年10月4日星期一
3、会当凌绝顶，一览众山小。

08:0510.4.202108:0510.4.202108:0508:05:1310.4.202108:0510.4.2021
4、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。

10.4.202110.4.202108:0508:0508:05:1308:05:13
5、一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。

Monday, October 4, 2021October 21Monday, October 4, 202110/4/2021
6、路遥知马力日久见人心。

8时5分8时5分4-Oct -2110.4.2021
7、山不在高，有仙则灵。

21.10.421.10.421.10.4。

2021年10月4日星期一二〇二一年十月四日
8、有花堪折直须折，莫待无花空折枝。

08:0508:05:1410.4.2021Monday, October 4, 2021 亲爱的读者： 春去燕归来，新桃换旧符。

在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。