带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题探析课件

甲
乙
图Z812 (1)若 Δt＝12TB，求 B0. (2)若 Δt＝32TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小． (3)若 B0＝4mqdv0，为使粒子仍能垂直打在 P 板上，求 TB.
解：(1)设粒子做圆周运动的半径为 R1，由牛顿第二定
律得 qv0B0＝mRv120
①
据题意由几何关系得 R1＝d
R＋2(R＋Rsin θ)n＝d
⑪
当 n＝0 时，无解
当 n＝1 时，联立⑨⑪式解得 θ＝π6或sin θ＝12 ⑫
联立⑦⑨⑩⑫式解得 TB＝3πvd0
⑬
当 n≥2 时，不满足 0＜θ<π2的要求
若在 B 点击中 P 板，据题意由几何关系得
R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d
⑭
当 n＝0 时，无解
(1)求匀强电场的电场强度 E. (2)求图乙中 t＝45π×10－5 s 时电荷距 O 点的水平距离． (3)如果在 O 点右方 d＝68 cm 处有一垂直于 MN 的足够 大的挡板，求电荷从 O 点出发运动到挡板所需的时间．(已 知 sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80)
甲
乙
图 Z8-14
②
Bqv＝mvR2
③
联立①②③式解得 y1＝8Bn22qmaE2 (n＝1,2，…)
故初始坐标应满足的条件是横坐标为 0，纵坐标为
8Bn22qmaE2 ，其中 n＝1,2，….
突破二 带电粒子在交变磁场中运动的多解问题 例 5：如图 Z8-12 甲所示，间距为 d、垂直于纸面的两 平行板 P、Q 间存在匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的 正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t＝0 时刻，一质量为 m、带电荷量为＋q 的粒子(不计重力)，以 初速度 v0 由 Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平 行于板面的方向射入磁场区．当 B0 和 TB 取某些特定值时， 可使 t＝0 时刻入射的粒子经 Δt 时间恰能垂直打在 P 板上 (不考虑粒子反弹)．上述 m、q、d、v0 为已知量．
强磁场，如图 Z8-6 所示，磁感应强度为 B，板间距离也为
l，板不带电，现有质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子(不
计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射
入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度 v＜B4mql
B．使粒子的速度 v＞54Bmql
C．使粒子的速度 v＞Bmql
－q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线 成 30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达 P 点．改变 粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置． 不计粒子的重力．
图 Z8-9
(1)求磁场区域的宽度 h. (2)欲使粒子到达收集板的位置从 P 点移到 N 点，求粒 子入射速度的最小变化量Δv. (3)欲使粒子到达 M 点，求粒子入射速度大小的可能值．
要使粒子能经过 P 点，其初始坐标应满足
什么条件？(重力作用忽略不计)
图 Z8-11
解：(1)粒子从 y 轴上由静止释放，在电场加速下进入
磁场做半径为 R 的匀速圆周运动．由于粒子可能偏转一个、
二个…半圆到达 P 点，故
a＝2nR(n＝1,2，…)
①
设释放处距 O 点的距离为 y1，则有：
qEy1＝12mv2
图 Z8-1
解：题目中只给出粒子“电荷量为 q”，未说明是带哪
种电荷．若 q 为正电荷，轨迹是如图 Z8-2 所示的上方与
NN′相切的14圆弧，轨道半径 R＝mBqv
又
d＝R－
R 2
解得 v＝(2＋
Bqd 2) m .
若 q 为负电荷，轨迹如图所示的下方
与 NN′相切的34圆弧，则有 R′＝mBvq′
解：(1)电荷在电场中做匀加速直线运动，设其在电场 中运动的时间为 t1，有：v0＝at1
Eq＝ma 解得：E＝mqvt10≈7.2×103 N/C. (2)当磁场垂直纸面向外时，电荷运动的轨迹半径： r1＝mB1vq0＝5 cm 周期 T1＝2Bπ1mq ＝23π×10－5 s 当磁场垂直纸面向里时，电荷运动的半径：
的时间为
t1＝36θ01 °T＝23πBmq 若粒子带正电，它从 O 到 B 所用的时间为
图 D56
t2＝36θ02 °T＝3πBmq.
考向 2 磁场方向不确定形成多解 例 2：(多选)在 M、N 两条长直导线所在的平面内，一 带电粒子的运动轨迹示意图如图 Z8-4 所示．已知两条导线 M、N 中只有一条导线中通有恒定电流，另一条导线中无电 流，关于电流方向和粒子带电情况及运动的方向，可能是 ()
2qB C. m
qB D. m
答案：AC
考向 3 临界状态不唯一形成多解 如图 Z8-5 所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界 磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接 穿过去了，也可能转过 180°从入射界面反向飞出，于是形 成了多解．
图 Z8-5
例 3：(多选)长为 l 的水平极板间有垂直纸面里的匀
解：(1)设粒子在磁场中的轨道半径为 r，画出带电粒子
的运动轨迹如图 Z8-10 所示．
3
由几何关系得 L＝3rsin 30°＋tan2d30°
①
又由 h＝r(1－cos 30°)
②
联立①②式解得 h＝23L－ 3d1－ 23.
图 Z8-10
(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为 r′，
d＝R′＋R′2 ，
图 Z8-2
解得 v′＝(2－
Bqd 2) m .
【触类旁通】 1．如图 Z8-3 所示，第一象限范围内有垂直于 xOy 平 面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.质量为 m，电荷 量大小为 q 的带电粒子在 xOy 平面里经原点 O 射入磁场中， 初速度 v0 与 x 轴夹角θ＝60°，试分析计算： (1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁 场时运动方向发生的偏转角？ (2)带电粒子在磁场中运动的时间？
图 Z8-3
解：(1)如图 D56 所示，若粒子带负电，它将从 x 轴上
A 点离开磁场，运动方向发生的偏转角 θ1＝120°
A 点与 O 点相距 x＝
3R＝
3mv0 Bq
若粒子带正电，它将从 y 轴上 B 点
离开磁场，运动方向发生的偏转角 θ2＝60°
B 点与 O 点相距 y＝R＝mBvq0.
(1)若粒子带负电，它从 O 到 A 所用
因此粒子从右边射出必须满足的条件是 r≥r2 ，即 v0≥d2＋4d4ml2qB
所以当 v0≤B4dmq或 v0≥d2＋4d4ml2qB时，粒子可以从磁场 内射出．
考向 4 运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时， 往往具有往复性，因而形成多解． 例4：某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如 图 Z8-9 所示．装置的长为 L，上、下两个相同的矩形区域 内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为 B、方向与纸面垂直 且相反，两磁场的间距为 d.装置右端有一收集板，M、N、 P 为板上的三点，M 位于轴线 OO′上，N、P 分别位于下 方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为 m、电荷量为
图 Z8-4
A．M 中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从 a 点向 b 点运动
B．M 中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从 b 点向 a 点运动
C．N 中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从 b 点向 a 点运动
D．N 中通有自下而上的恒定电流，带负电的粒子从 a 点向 b 点运动
解析：考虑到磁场可能是垂直纸面向外，也可能是垂 直纸面向里，并结合安培定则、左手定则及导线两侧磁场 强弱与导线距离的关系，易知 A、B 正确．
答案：AB
图 Z8-7
【触类旁通】 3．如图 Z8-8 所示，A、B 为一对平行板，板长为 l， 两板距离为 d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大 小为 B，方向垂直纸面向里，一个质量为 m，带电量为＋q 的带电粒子以初速度 v0，从 A、B 两板的中间，沿垂直于磁 感线的方向射入磁场．求 v0 在什么范围内，粒子能从磁场 内射出？
图 Z8-6
D．使粒子的速度 v 满足B4mql＜v＜54Bmql
解析：如图 Z8-7 所示，带电粒子刚好打在极板右边缘， 有 r21＝r1－2l 2＋l2，又因 r1＝mBvq1，解得 v1＝54Bmql；粒子刚 好打在极板左边缘，有 r2＝4l ＝mBvq2，解得 v2＝B4mql，故 A、 B 正确．
带电粒子在匀强磁场 中运动的多解问题探析
突破一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
考向 1 带电粒子电性不确定形成多解
例1：如图 Z8-1 所示，宽度为 d 的有界
匀强磁场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′
是它的两条边界．现有质量为 m，电荷量为
q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要
使粒子不能从边界 NN′射出，则粒子入射 速率 v 的最大值可能是多少．
3d(2≤n<
33dL，n
取整数)．
【触类旁通】
4．如图 Z8-11 所示，在 x 轴上方有一匀强电场，场强
为 E，方向竖直向下．在 x 轴下方有一匀强磁场，磁感应强
度为 B，方向垂直纸面向里．在 x 轴上有一点 P，离原点 O
的距离为 a.现有一带电荷量为＋q 的粒子，
质量为 m，从 y 轴上某点由静止开始释放，
答案：AB
【触类旁通】 2．(多选)一质量为 m，电荷量为 q 的负电荷在磁感应 强度为 B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道 做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作 用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆 周运动的角速度可能是( )
4qB A. m
3qB B. m
⑧
由题意知 B0＝4mqdv0，代入⑧式得 d＝4R ⑨
粒子在 1 个 TB 内的运动轨迹如图 Z8-13 所示，O1、O2 为圆心，O1O2 连线与水平方向的夹角为 θ，在每个 TB 内，
只有 A、B 两个位置才有可能垂直击中 P 板，且均要求 0<θ<π2
由题意可知π22＋πθT＝T2B
⑩
设经历完整 TB 的个数为 n(n＝0,1,2,3，…) 若在 A 点击中 P 板，据题意由几何关系得
r2＝mB2vq0＝3 cm
周期 T2＝2Bπ2mq ＝25π×10－5 s 故电荷从 t＝0 时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如 图 D58 甲所示．
t＝45π×10－5 s 时刻电荷距 O 点的水平距离： Δd＝2(r1－r2)＝4 cm.
甲
乙
图D58
(3)电荷从第一次通过 MN 开始，其运动的周期 T＝ 45π×10－5s，根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运 动的完整周期数为 15 个，此时电荷沿 MN 运动的距离 x＝ 15Δd＝60 cm
图 Z8-8
解：如图 D57 所示，当粒子从左边射出时，其轨道半
径 r1＝d4.因此粒子从左边射出必须满足 r≤r1.由于 Bqv0＝ mvr20，所以
v0＝rBmq，即：v0≤B4dmq
当粒子从右边射出时，其轨道
径为 r2.由几何关系可得： r22＝r2－d22＋l2，r2＝d4＋ld2
图D57
当 n＝1 时，联立⑨⑭式解得
θ＝arcsin14或sin θ＝14
⑮
联立⑦⑨⑩⑮式解得 TB＝π2＋arcsin142dv0 当 n≥2 时，不满足 0<θ<π2的要求．
图 Z8-13
【触类旁通】
5．如图 Z8-14 甲所示，水平直线 MN 下方有竖直向 上的匀强电场，现将一重力不计、比荷为mq ＝1.0×106 C/kg 的正电荷置于电场中的 O 点并由静止释放，经过1π5×10－5 s 后，电荷以 v0＝1.5×104 m/s 的速度通过 MN 进入上方的匀 强磁场中，磁场与纸面垂直，磁感应强度 B 按如图乙所示 规律周期性变化(图乙中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷 第一次通过 MN 时为 t＝0 时刻)．
②
联立①②式解得 B0＝mqvd0.
③
(2)设粒子做圆周运动的半径为 R2，加速度大小为 a，
由圆周运动公式得 a＝Rv202
④
据题意由几何关系得 3R2＝d
⑤
联立④⑤式解得 a＝3dv20.
⑥
(3)设粒子做圆周运动的半径为 R，周期为 T，由圆周运
动公式得 T＝2vπ0R
⑦
由牛顿第二定律得 qv0B0＝mRv20
则有 qvB＝mvr2及 qv′B＝mvr′′2
③
又由几何关系得 3rsin 30°＝4r′sin 30°
④
联立③④式解得 Δv＝v－v′＝qmBL6－ 43d.
(3)设粒子经过上、下方磁场 n 次，则由几何关系得
L＝2rnsin 30°＋tannd30° 又由 qvnB＝mvrn2n，解得
vn＝qmBLn－