【金版优课】高中数学北师大版选修2-3第1章 单元综合检测2 Word版含解析

第一章　单元综合检测(二)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2012·课标全国卷]将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A．12种B．10种
C．9种D．8种
解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C C＝12种安排方案．
1224
答案：A　
2．如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A．400种B．460种
C．480种D．496种
解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种，故选C.
答案：C　
3．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85B．56
C．49D．28
2171227
解析：分两类计算，C C＋C C＝49，故选C.
答案：C　
4．编号为1,2,3,4,5的5人，入座编号也为1,2,3,4,5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为( )
A．120B．130
C．90D．109
解析：问题的正面有3种情况：
有且仅有1人对号入座，有且仅有2人对号入座和全未对号入座，这种3种情况都难以求解．
从反面入手，只有2种情况：
全对号入座(4人对号入座时必定全对号入座)，有且仅有3人对号入座．全对号入座时只有1种坐法；有3人对号入座时，分2步完成：从5人中选3人有C种选法，安排其
35
余2人不对号入座，只有1种坐法．
因此，反面情况共有1＋C·1＝11(种)不同坐法．
35
5
5人无约束条件入座5个座位，有A＝120(种)不同坐法．
所以满足要求的坐法种数为120－11＝109.
答案：D　
5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5B．5
C．－10D．10
3536解析：(1－x)5中x3的系数为－C＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.
答案：D　
6．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有( ) A．48个B．36个
C．24个D．18个
33
解析：个位数字是2的有3A＝18个，个位数字是4的有3A＝18个，所以共有36
个．
答案：B　
7．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )
33
A．6A B．3A
32144
C．2A D．A A A
142解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A种选法，这两名女歌手有A种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A种排法，根据分步乘法计数原
4
理，有A A A 种出场方案．1
424答案：D
8．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
解析：第1步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第2步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 种排法，故总的排法种数有2×2×A ＝24.
33答案：B
9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )
A ．24种
B ．36种
C ．60种
D ．66种
解析：先排甲、乙外的3人，有A 种排法，再插入甲、乙两人，有A 种方法，又甲32
4排在乙的左边和甲排在乙的右边各占，故所求不同的站法有A A ＝36(种)．1
21
232
4答案：B
10．若(2x ＋)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3，则(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值为( )3A ．－1B ．1C ．0
D ．2
解析：在(2x ＋)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3中，分别令x ＝1及x ＝－1得3a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝(2＋)3，a 0－a 1＋a 2－a 3＝(－2＋)3.所以(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)
332＝(a
0＋a 2＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2－a 1－a 3)＝(2＋
)3(－2＋)3＝(3－4)3＝－1，故选A.
33答案：A
11．若(2x －)n 展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n 等于( )1
x 1
x 21
x 4A ．4B ．6C ．8
D ．10解析：展开式通项为T k ＋1＝C (2x )n －k (－)k ＝(－1)k 2n －k C ·x n －2k .选项A 中若n ＝4，则k n 1
x k n T k ＋1＝(－1)k ·24－k C x 4－2k ，k 4
当4－2k ＝－2时，k ＝3，当4－2k ＝－4时，k ＝4，则T 4＝(－1)
3·24－3C x －2＝－8x －2，T
5＝(－1)
420C x －4＝x －4，此时系数比不是－5.
344选项B 中若n ＝6，则T k ＋1＝(－1)k 26－k C x 6－2k ，当6－2k ＝－2时，k ＝4，当k 6
6－2k ＝－4时，k ＝5，则T 5＝(－1)4·22C x －2＝60x －2，T 6＝(－1)521C x －4＝－12x －4，此时4
656系数比为－5，所以B 正确，同理可以验证C 、D 选项不正确．故选B.
答案：B
12．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A ．72
B ．96
C ．108
D ．144
解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C 种方法，将其余两个偶数全排列，1
3有A 种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A 种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有23A ·A 种方法，故满足题意的偶数个数有C ·A (A ＋A ·A )＝108个．22
31323223答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2013·天津高考](x －)6的二项展开式中的常数项为________．
1
x 解析：通项T r ＋1＝C ·x 6－r ·(－1)r ·(x －)r ＝(－1)r ·C x 6－，令6－r ＝0，得r ＝4，所r 61
2r 63r
23
2以常数项为(－1)4·C ＝15.4
6答案：15
14．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有________种．
解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有C 种选法，再将3人安排到三23个科目，有A 种不同排法，因此共有C A ＝18种不同方案．32
33答案：18
15．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有__________种．
解析：两老一新时，有C ×C A ＝12种排法；两新一老时，有C C ×A ＝36种排1
312212233
法，即共有48种排法．
答案：48
16．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________(用数字作答)．
解析：3个人各站一级台阶有A ＝210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人3
7站在另一级，有C A ＝126种站法．共有210＋126＝336种站法．故填336.2
327答案：336
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．
解：由题意知需要分两类：第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，共有52种；
第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，共有4×2×5种．
根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况．18．(12分)求证：4×6n ＋5n ＋1－9能被20整除(n ∈N )．证明：4×6n ＋5n ＋1－9＝4×(5＋1)n ＋5(4＋1)n －9
＝4(C 5n ＋C 5n －1＋…＋C 5＋C )＋5(C 4n ＋C 4n －1＋…＋C 4＋C )0
n 1n n －1n n 0n 1n n －1n n －9＝4×5(C 5n －1＋C 5n －2＋…＋C )＋4＋5×4(C 4n －1＋C 4n －2＋…＋C )＋5－90
n 1n n －1n 0n 1n n －1n ＝20(C 5n －1＋C 5n －2＋…＋C )＋20(C 4n －1＋…＋C )0
n 1n n －1n 0n n －1n 故4×6n ＋5n ＋1－9能被20整除．
19．(12分)4名男生与4名女生坐成一排照相．(1)女同学坐在一起；(2)女同学互不相邻；(3)男女生交叉坐．
问：各有多少种不同的排法？
解：(1)(捆绑法)将4名女生看成一个整体，与4名男生进行排列，有A 种排法；女5生之间又可互换位置进行排列，有A 种排法．
4所以共有A A ＝2880种不同的排法．
54(2)(插空法)4名男生先排，有A 种排法，4名女生插入5个空当中，有A 种排法．445所以共有A A ＝2880种不同的排法．44
5(3)先排男生后可有5个空当可供女生插空，即①男②男③男④男⑤.
依题意，女生只能排在1～4号或2～5号空当内，故共有2A ×A ＝1152种不同的排44法．
20．(12分)已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于(x 2＋)5的展开式的常数项，16
51
x 而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．
解：(x 2＋)5的展开式的通项为
16
51
x T r ＋1＝C (x 2)5－r ()r r 5
1651
x ＝()5－r C x ，
165r 5
20－5r 2
令20－5r ＝0，得r ＝4，
故常数项T 5＝C ×＝16.4
516
5又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意知2n ＝16，得n ＝4.
由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中系数最大的项是中间项T 3，故有C a 4＝54，解得a ＝±.2
4321．(12分)有6名男医生，4名女医生．
(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种分派方法？
(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生，则有多少种不同分法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，又有多少种分派方案？
解：(1)法一：分三步完成．
第一步：从6名男医生中选3名有C 种方法；3
6第二步：从4名女医生中选2名有C 种方法；2
4第三步：对选出的5人分配到5个地区有A 种方法．5根据分步乘法计数原理，共有N ＝C C A ＝14400(种)．36245法二：分两步完成．
第一步：从5个地区中选出3个地区，再将3个地区的工作分配给6名男医生中的3人，有C A 种；3
536第二步：将余下的2个地区的工作分给4名女医生中的2人，有A 种．24根据分步乘法计数原理，共有N ＝C A A ＝14400(种)．3
53624(2)医生的选法有以下两类情况：
第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2人．共有C C 种不同的分法；1
446第二类：两组中人数都有女医生2人男医生3人．因为组与组之间无顺序，故共有C 1
2C 种不同的分法．
2436因此，把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生的不同的分法共有C C ＋C C ＝120种．1
4461
22436若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，则共有(C C ＋C C )14461
22436A A A ＝96000种分派方案．22
52522．(12分)已知f (x )＝(＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
3
x 2(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．
解：令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992.
∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，
∴2n ＝－31(舍去)，或2n ＝32，∴n ＝5.
(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T 3＝C (x )3(3x 2)2＝90x 6，2
52
3T 4＝C (x )2(3x 2)3＝270x .3
523
223
(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C 3r ·x (5＋2r )．r 52
3假设T r ＋1项系数最大，则有Error!∴Error!∴Error!∴≤r ≤，7
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2∵r ∈N ，∴r ＝4.
∴展开式中系数最大的项为T 5＝C x (3x 2)4＝405x .4
523
26
3。