河南省商丘市1516学年度上学期高三期末考试(图片)——数学理数学理

商丘市2015—2016学年度第一学期期末考试参考答案
高三数学（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
CDDA CBBC DDBA
二、填空题（每小题5分，共20分）
（13） （14）1 (15) （16） 三、解答题（本大题共6小题，共70分） （17）解：（Ⅰ）∵，………①
∴（），……② ………………………………………1分
①②两式相减得，即（）， 又因为，所以，
故是首项为1，公比为3的等比数列， ………………………………3分 ∴. …………………………………………………………………5分
（Ⅱ）设的公差为，由得，可得，
可得， ………………………………………………………………………………6分 故可设，， 又∵，并且，，成等比数列，
∴2
(51)(59)(53)d d -+⋅++=+，
解得， ……………………………………………………………………8分 ∵等差数列的各项为正，∴，∴， ……………………………………9分 ∴2(1)
3222
n n n T n n n -=+
⨯=+. ………………………………………………………10分 （18）解：（Ⅰ）∵2
2
2()2cos a b ac B bc -=⋅+，
∴222
2
2
2222()22a c b a b ac bc a c b bc ac
+--=⋅
+=+-+．…………………1分 整理得， ……………………………………………………2分
所以， ……………………………………………………………………3分 即．……………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）因为，所以，． …………………………5分
在△中，有， ………………………………………………7分 又∵，
∴， ………………………………………………………………………8分
3
sin 2sin 2
C C C -=，………………………………………10分 整理得．…………………………………………………………… ……12分
（19）解：(Ⅰ) 设为与的交点，作⊥于点．
由四边形是等腰梯形得
A B
O
P
H
，3DE =
=，
∴， ……………………………1分
从而得45DBC BCA ∠=∠=︒，…………………2分 ∴，即…………………3分
由⊥平面得，∴⊥平面…………………5分
方法一：(Ⅱ) 作于点，连接．
由(Ⅰ)知⊥平面，故． ∴⊥平面，从而得，．
故是二面角的平面角，∴．………8分 在Rt △中，由，得．
在Rt △中，．设，可得………………10分 解得，即．……………………………………12分
方法二：(Ⅱ) 由(Ⅰ)知．以为原点，所在直线为x ，y 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意知各点坐标如下：，，，．…………………………………………………6分 由⊥平面，得∥轴，故设点 ()．
设为平面的法向量，
由，，得
0,
0.
tz ⎧-=⎪⎨
+-=⎪⎩ 取，得． ………………………………………………………8分 又平面的法向量为，于是
1
cos ,2
m n m n m n
⋅<>=
=
=
⋅．…………………………………………………10分 解得，即 ．…………………………………………………12分
（20）解：(Ⅰ)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为
，.………………………………………………………………………2分
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件，则
1111115
()42244416
P A =⨯+⨯+⨯=.
∴甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. ……………………………………4分
(Ⅱ)ξ可能取的值有………………………………………………………………………5分
， 11115(2)422216
P ξ==
⨯+⨯=， 1111115(4)24424416P ξ==⨯+⨯+⨯=，11113
(6)244416
P ξ==⨯+⨯=，
111
(8)4416
P ξ==⨯=.…………………………………………………………………………9分
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
10分
所以155317
024688161616162
E ξ=⨯+⨯
+⨯+⨯+⨯=. …………………………………12分 （21）解：(Ⅰ)∵∥，且边通过点，∴所在直线的方程为，……1分
设两点坐标分别为．
由得，………………………………………………………2分
∴12AB x -=.………………………………………………………3分 又∵边上的高等于原点到直线的距离，∴，
.……………………………………………………………5分 (Ⅱ)设所在直线的方程为，
由，得2246340x mx m ++-=. ∵在椭圆上，∴，
解得2233
m m -
<<<<或………………………………………………6分 设两点坐标分别为．则，，
∴12AB x =-=………………………………………………8分
又∵的长等于点到直线的距离，即.
∴2
2
2
22210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++.…………………10分
∵(2)(2,33
m ∈-
⋃， ∴当时，边最长． 此时所在直线的方程为.……………………… …12分
（22）解：（Ⅰ）∵函数的定义域为，， ………………………………1分
∴当时，，当时，．
∴增区间为，减区间为. ……………………………………3分
（Ⅱ）假设存在，使得成立， 则…4分
∵2(1)1
()()()x
x
x t x g x x f x t f x e
e -+-+'=⋅+⋅+=，
∴2[(1)]()(1)
()x
x
x t x t x t x g x e e --++-⋅-'==-，…………………………………5分 ①当时，，在上单调递减，
∴，即；…………………………………………………7分 ②当时，，在上单调递增，
∴，即； ……………………………………………9分 ③当时，在，，在上单调递减， 在，，在上单调递增,……………………………10分 ∴{}2()max (0),(1)g t g g <， 即132max 1,t t t e e +-⎧⎫
⋅
<⎨⎬⎩⎭
﹣﹣（*） 由（Ⅰ）知，在上单调递减，故，
而，所以不等式（*）无解，………………………………………11分 综上所述，存在(,32)
(3,)2
e
t e ∈-∞--+∞，使得命题成立． ……………12分。