高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》易错题汇编附答案

新数学复习题《三角函数与解三角形》专题解析
一、选择题
1．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}
0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,
22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．35,22⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．725,
26⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．725,26⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣
3
π
）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：
令2sin （ωx ﹣
3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=
76
π
+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω
，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =
322ππωω+，x B =46ππ
ωω
+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，
即
322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．
2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．
5π3
B ．
43
π C ．
23
π D ．
3
π
【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】
依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++
⎪
⎝
⎭，由于函数为奇函数，故ππ
π,π33
k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=
或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3
θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，
()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上是增函数，不符合题意.
故选C. 【点睛】
本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则
a
b
=( )
A ．
B ．2
C
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又
A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解
【详解】
由正弦定理：
2sin sin b c
R B C
==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=
在ABC ∆中，A B C π++=
故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =
故
sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
0AB BC ⋅>u ur u u r u u
，2
a =，则
b
c +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B
．32⎫⎪⎪⎝⎭
C ．13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．31,2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
利用余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，可得3A π=，由
|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r
，可得B
为钝角，由正弦定理可得
sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解
【详解】
由余弦定理有：222
cos 2b c a A bc
+-=，又222b c a bc +-=
故2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===
又A 为三角形的内角，故3
A π
=
又2
a
=sin sin sin(120)o
b c c B C B ==
- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r
故cos 0B B <∴为钝角
3sin sin(120)sin 30)2o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+
(90,120)o o B ∈Q ，可得
13
30(120150)sin(30)(,)22o o o o B B +∈∴+∈，
333sin(30)(
,)22
o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
5．函数()[]()
cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．
53
π B ．2π
C ．
76
π D ．π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】
令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1
sin 2
x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-
或32x π=或6x π=或56
x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522
266
s π
πππ
π=-+
++=，故选B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
6．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'
2357︒'
2413︒'
2428︒'
2444︒'
正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年
【答案】D 【解析】 【分析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：
则16tan 1.610α=
=，169.4tan 0.6610
β-==， tan tan 1.60.66
tan()0.4571tan tan 1 1.60.66
αβαβαβ---=
=≈++⨯g ．
0.4550.4570.461<<Q ，
∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故选：D ． 【点睛】
本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．
7．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2
k a k Z π
≠
∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,
3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调且存在020,
3
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,
3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．24,33⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203
x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
上单调且存在()()0020203
x f x f x x π⎛⎫
∈+-= ⎪⎝⎭
，
，，即可得出结论． 【详解】
∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52
k π
≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝
2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 7
3
2a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，
∴d 8
π
=
．
∴f （x ）8
π
=
cosωx ，
∵在203
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，上单调 ∴
23
ππω≥， ∴ω32
≤
； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭
，，， 所以f （x ）在（0，
23
π
）上存在零点，
即
223ππω＜，得到ω34
＞． 故答案为 33,42⎛⎤
⎥⎝⎦
故选D 【点睛】
本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．
8．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 【答案】D 【解析】
f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.
9．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则()f x 的最大值为（ ）
A ．2
B
C ．
D 或【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则有()(0)2
f f π
-=，解得a ，得到函数再求最值.
【详解】
因为函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称， 所以()(0)2f f π
-=，
即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，
当2a =-时，()sin 2cos 2cos 42sin 44f x x x x x π⎛⎫
=--=-
⎪⎝
⎭
，此时()f x 的最大值为42；
当1a =时，()sin cos 2cos 2sin 4f x x x x x π⎛
⎫=+-=- ⎪⎝
⎭，此时()f x 的最大值为2；
综上()f x 的最大值为2或42. 故选：D 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
10．在ABC ∆中，若2
sin sin cos 2
C
A B =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
sin sin cos
2C
A B =，所以，1cos sin sin 2
C A B +=，即
2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。

考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。

点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。

11．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v
（ ）
A ．3155A
B A
C +u u u
v u u u v
B ．2155
AB AC +u u u
v u u u v
C ．481515AB AC +u u u
v u u u v D ．841515
AB AC +u u u
v u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】
设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
cos DAE ∠，由此得到45
AF AD =u u u r u u u r
，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将
45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r
为基底来表示的形式.
【详解】
设6BC =
，则2AB AC BD DE EC =====，
AD AE ==
=，101044cos 2105DAE +-∠=
=⨯， 所以
4
5AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()
1133AD AB BC AB AC AB =+=+
-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133
AB AC =+u u u
r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=
+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
12．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线
3
x π
=
对称；③在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
B ．sin 26x y π⎛⎫=-
⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
D ．cos 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】
逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为241
2
π
π
=,故排除B ；
又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪
⎝
⎭，所以cos 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ-
≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，
故排除D ； 令22
6
2
x π
π
π
-
≤-
≤
，得63x ππ-
≤≤，所以函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递
增．由周期公式可得22T π
π=
=,当3x π=时,sin(2)sin 1362
πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭同时满足三个性质.
故选A ． 【点睛】
本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.
13．将函数cos y x =的图象先左移4
π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的1
2，所得图象
的解析式为（ ） A ．sin 24y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．1
3sin 2
4y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
C ．1
sin 2
4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．3sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】
cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
纵坐标不变，横坐标缩为原来的12
，变为3sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】
本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.
14．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4
F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A
．y =
B
．3y x =± C ．y x =± D ．2y x =±
【答案】A
【解析】
【分析】 因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.
【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2221(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅
化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=
可得
:b = Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=± 则双曲线渐近线方程为
: y =
故选:A.
【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
15．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）
A
．B
． C
D
【答案】B
【解析】
【分析】
由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果.
【详解】
()()
sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=-
()
max f x ∴sin 2cos θθ-=
又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】
本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.
16．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23
x π=时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，
上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，
上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，
上是增函数 【答案】B
【解析】
【分析】 先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项.
【详解】
由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33
k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，故B 选项正确.所以本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.
17．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ）
A ．152
km
B ．30km
C ．15km
D ．153km 【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．
【详解】
设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，
可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =
30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒
在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：
sin sin AC BC ABC BAC
=∠∠， 可得sin 1153sin 2
3BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D
【点睛】
本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．
18．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．2D ．﹣2 【答案】B
【解析】
【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，
代入tanθ可得答案.
【详解】
因为向量m =r (1，cosθ)，n =r (sinθ，﹣2)，
所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r
因为m r ⊥n r
，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B.
【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
19．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）
A ．15
B ．315
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】
【分析】
先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．
【详解】
如图：
()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，
在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB
=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC
=∠∠， 因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244
AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 144B ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
.
1
sin 2
ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.
20．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论：
①()f x 是奇函数；
②()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增； ③π是()f x 的周期；
④()f x 的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】
【分析】
计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案.
【详解】 ()()()sin tan cos tan f x x x =-，
()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，
所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=， 所以π是()f x 的周期，所以③正确；
假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k π
π=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于
2，所以④错误.
故选：C .
【点睛】
本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。