2017-2018学年甘肃省武威一中高一(上)期末数学试卷

2017-2018学年甘肃省武威一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（4×12=48，请将答案涂在机读答题卡）
1．（4分）点（1，﹣1）到直线y=x+1的距离是（）
A．B．C．D．
2．（4分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是（）
A．2x﹣y﹣1=0 B．2x﹣y+1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y﹣1=0
3．（4分）已知两条平行直线l1：3x+4y+5=0，l2：6x+by+c=0间的距离为3，则b+c=（）
A．﹣12 B．48 C．36 D．﹣12或48
4．（4分）下列命题中正确的个数是（）
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（4分）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（4分）一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）
A．B．C．D．
7．（4分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．（4分）一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为（）
A．B．C．D．
9．（4分）已知a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A．（）B．（）C．（）D．（）
10．（4分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）
A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0
11．（4分）如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为（）A．18dm2B．18 dm2C．12dm2D．12 dm2
12．（4分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
二、填空题（4×4=16）
13．（4分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有条．
14．（4分）底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是．
15．（4分）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成的二面角为．
16．（4分）已知两点A（﹣3，2），B（2，1），点P（x，y）为线段AB上的动点，
假设m=，则m的取值范围为．
三、解答题（第19，20，21题均为12分）
17．（10分）求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．18．（10分）△ABC中，已知C（2，5），角A的平分线所在的直线方程是y=x，BC边上高线所在的直线方程是y=2x﹣1，试求顶点B的坐标．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
20．（12分）当0＜a＜2时，直线l1：ax﹣2y=2a﹣4与l2：2x+a2y=2a2+4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．21．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱
PA与底面ABCD所成的角的正切值为．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．
2017-2018学年甘肃省武威一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（4×12=48，请将答案涂在机读答题卡）
1．（4分）点（1，﹣1）到直线y=x+1的距离是（）
A．B．C．D．
【分析】利用点到直线的距离公式直接求解．
【解答】解：点（1，﹣1）到直线y=x+1的距离：
d==．
故选：D．
【点评】本题考查点到直线方程的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
2．（4分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是（）
A．2x﹣y﹣1=0 B．2x﹣y+1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y﹣1=0
【分析】求出圆的圆心坐标，验证选项即可．
【解答】解：因为圆的方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0，
所以圆心坐标（1，﹣3），
代入选项可知C正确．
故选：C．
【点评】本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．
3．（4分）已知两条平行直线l1：3x+4y+5=0，l2：6x+by+c=0间的距离为3，则b+c=（）
A．﹣12 B．48 C．36 D．﹣12或48
【分析】将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，利用两条直线平行及距离为3，
即可求得结论．
【解答】解：将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，
因为两条直线平行，所以b=8．
由=3，解得c=﹣20或c=40．
所以b+c=﹣12或48
故选：D．
【点评】本题考查两条平行线间距离的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．（4分）下列命题中正确的个数是（）
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据直线和平面的位置关系判断．②利用直线和平面的位置关系判．③利用线面平行的定义判断．④利用线面平行的性质判断．⑤根据线面平行的性质判断．
【解答】解：①若直线a不在α内，则a可能和α相交，所以①错误．
②a和α相交时，直线l上有无数个点不在平面α内，但此时l∥α不成立，所以
②错误．
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都没有公共点，所以直线可能平行或异面，所以③错误．
④根据线面平行的定义可知，若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，以④正确．
⑤根据线面平行的性质可知平行于同一个平面的两两条直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，所以⑤正确．
故正确的是：④⑤．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间直线和平面平行判定和性质，要求熟练掌握线面平行的定义和性质．
5．（4分）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．【解答】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，
由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，
由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．
6．（4分）一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）
A．B．C．D．
【分析】对选项进行分析，即可得出结论．
【解答】解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．
故选：A．
【点评】本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
7．（4分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．
【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D=A1B=DB=AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°
故选：C．
【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．
8．（4分）一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为（）
A．B．C．D．
【分析】正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，它的正视图外围是一个正方形，正方形的左上角是以虚线画出的三角形，右上角是一个实线画出的三角形，看出结果．
【解答】解：根据主视图和左视图可知
正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，
∴它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以实线画出的三角形，
左上角是一个实线画出的三角形，
依题意可知该几何体的直观图如图，其俯视图应选C．
故选：C．
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，本题解题的关键是通过两个视图，想象出正方体的形状和位置，注意虚线和实线的区别．
9．（4分）已知a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A．（）B．（）C．（）D．（）
【分析】利用已知条件，消去a，得到直线系方程，然后求出直线系经过的定点坐标．
【解答】解：因为a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0化为（1﹣2b）x+3y+b=0，即x+3y+b（﹣2x+1）=0恒成立，
，
解得，
所以直线经过定点（）．
故选：B．
【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点的求法，考查计算能力．
10．（4分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）
A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0
【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一
般式．
【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为
y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，
故选：A．
【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．
11．（4分）如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为（）A．18dm2B．18 dm2C．12dm2D．12 dm2
【分析】先由正四面体的体积为9dm3，计算正四面体的棱长，即可计算表面积S的值．
【解答】解：设正四面体P﹣ABC，棱长为a，高为PO，O为底面正三角形外心（重心），
=，
∴底面正三角形高为AD=，S
△ABC
∵AO=，∴PO=，
∴V=••==9
∴a=3（dm），
∴表面积S=4•=18（dm2）
故选：A．
【点评】本题考查正四面体的体积、表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（4分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，
在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，
所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，
所以AB：A'B'=，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度
二、填空题（4×4=16）
13．（4分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条．
【分析】本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC﹣A1B1C1，结合图象分析即可得到答案．
【解答】解：如下图示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，
其中与平面ABB1A1平行的直线有：
DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．
故答案为：6
【点评】要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．
14．（4分）底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是160．
【分析】根据线面垂直的定义，利用勾股定理结合题中数据算出底面菱形的对角线长分别为和10，再由菱形的性质算出底面的边长为8，根据直棱柱的侧面积公式加以计算，可得该棱柱的侧面积．
【解答】解：设直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线A1C=9，BD1=15，
∵A1A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴A1A⊥AC，
Rt△A1AC中，A1A=5，可得AC==，
同理可得BD===10，
∵四边形ABCD为菱形，可得AC、BD互相垂直平分，
∴AB===8，即菱形ABCD的边长等于8．
因此，这个棱柱的侧面积S
=（AB+BC+CD+DA）×A1A=4×8×5=160．
侧
故答案为：160
【点评】本题给出直棱柱满足的条件，求它的侧面积．着重考查了线面垂直的定义、菱形的性质和直棱柱的侧面积公式等知识，属于中档题．
15．（4分）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成的二面角为60°．
【分析】过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，易证∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，通过解直角三角形可得答案．
【解答】解：过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD 中点E，连接OE，则OE⊥CD，
由三垂线定理知CD⊥SE，
所以∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，
在Rt△SOE中，SE===2，OE=1，
所以cos∠SEO=，则∠SEO=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查二面角的平面角及其求法，考查学生推理论证能力，属中档题．
16．（4分）已知两点A（﹣3，2），B（2，1），点P（x，y）为线段AB上的动点，
假设m=，则m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），．
【分析】根据直线的倾斜公式，设C（0，﹣1）得m=，表示PC的斜率．由此作出图形并观察PC倾斜角的变化，即可得到m=，的取值范围．
【解答】解：设C（0，﹣1），则m==k PC，表示PC的斜率
观察图形，直线PA的倾斜角总是钝角，由此可得
当P与A重合时，k PC==﹣1达到最大值；
当P与B重合时，k PC==1达到最小值
∴k PC∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
即m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
【点评】本题给出线段AB，求直线斜率的范围并求距离和的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、点关于直线对称和两点的距离公式等知识，属于基础题．
三、解答题（第19，20，21题均为12分）
17．（10分）求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．【分析】设直线方程为：y=x+b．可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（﹣b，0）．由=6，解得b即可得出．
【解答】解：设直线方程为：y=x+b．
可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（﹣b，0）．
由=6，化为：b2=9，解得b=±3．
∴要求的直线方程为：y=x±3．
【点评】本题考查了直线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（10分）△ABC中，已知C（2，5），角A的平分线所在的直线方程是y=x，BC边上高线所在的直线方程是y=2x﹣1，试求顶点B的坐标．
【分析】首先求出A点的坐标，进而求出AB边所在的直线方程，然后根据两直线垂直求出BC边所在的直线的斜率和方程，最后联立方程即可求出B得的坐标．【解答】解：依条件，由解得A（1，1）．
因为角A的平分线所在的直线方程是y=x，
所以点C（2，5）关于y=x的对称点C'（5，2）
在AB边所在的直线上．
AB边所在的直线方程为y﹣1=（x﹣1），
整理得x﹣4y+3=0．
又BC边上高线所在的直线方程是y=2x﹣1，
所以BC边所在的直线的斜率为﹣．
BC边所在的直线的方程是y=﹣（x﹣2）+5，
整理得x+2y﹣12=0．
联立x﹣4y+3=0与x+2y﹣12=0，
解得B（7，）．
【点评】考查了直线的一般方程和直线的截距方程、直线的位置关系等知识，属于基础题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，
AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；
（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：
方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D 到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；
方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．
【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
=1．
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S
△ABC
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．
因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．
=V P﹣ABC，，得，
由V A
﹣PBC
故点A到平面PBC的距离等于．
【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．
20．（12分）当0＜a＜2时，直线l1：ax﹣2y=2a﹣4与l2：2x+a2y=2a2+4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．
=S△BCE﹣S△OAB即可得出S=（a﹣）2+，结合二次函数【分析】根据S
四边形OCEA
最值的求法解答．
【解答】解：如图，由已知l1：a（x﹣2）﹣2（y﹣2）=0，
l2：2（x﹣2）+a2（y﹣2）=0．
∴l1、l2都过定点（2，2），且l1的纵截距为2﹣a，
l2的横截距为a2+2．
∴四边形面积S=×2×（2﹣a）+×2×（2+a2）=a2﹣a+4
=（a﹣）2+，
又0＜a＜2，故当a=时，S min=．
【点评】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．
【分析】（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P﹣AD﹣O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tan ∠PAO=，设AB=a，则AO=a，PO=AO•tan∠POA=a，MO=a，tan∠PMO=
，∠PMO=60°；
（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，
由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB，故△AOE为直角三角形，OE=PD=
=a，所以tan∠AEO==；
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F 是AD的4等分点，靠近A点的位置．
【解答】解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，
依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P﹣AD﹣O的平面角．∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO=，
设AB=a，AO=a，
∴PO=AO•tan∠POA=a，
tan∠PMO==．
∴∠PMO=60°．
（2）连接AE，OE，
∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．
∵AO⊥BD，AO⊥PO，
∴AO⊥平面PBD．
又OE⊂平面PBD，
∴AO⊥OE．
∵OE=PD==a，
∴tan∠AEO==；
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．
∵BC⊥MN，BC⊥PN，
∴BC⊥平面PMN
∴平面PMN⊥平面PBC．
又PM=PN，∠PMN=60°，
∴△PMN为正三角形．
∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC=PN，
∴MG⊥平面PBC．
∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．
【点评】本题考查二面角及平面角的求法，异面直线所成角的正切值的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。