浙江省温州市2014届高三第一次适应性考试一模数学文试题

（第5
2019年温州市高三第一次适应性测试数学（文科）试题2019.2
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四
个选项，只有一项符合题目要求.
1．已知i 是虚数单位，则2(1i)+=( ) A ．2i
B ．2i -
C ．2i +
D ．2i -
2．已知集合{1,2,3}A =，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈+∈∈=，则B 中所含元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
3．m 是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是( ) A ．若m ∥α，α∥β，则m ∥β B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β
C ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β
D ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥
β
4．设a ，b +∈R ，则“1a b ->”是“221a b ->”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是( )
A ．1 3cm
B ．33cm
C ．53cm
D ．73cm
6．已知1sin 23
α=，则2cos ()4
πα-=( )
A ．13
B ．13
- C ．23
D ．23
-
7．设函数32()f x ax bx cx =++，若1和1-是函数()f x 的两个零点，1x 和2x 是()f x 的两个极值 点，则12x x 等于( )
A ．1-
B ．1
C ．13
- D ． 1
3
8．若正实数x ，y 满足11
5x y x y
++
+=，则x y +的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9．对于函数1()42x x f x m +=-⋅，若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数
m 的取值范围是( ) w
A ．
12m ≤
B ．1
2m ≥
C ．1m ≤
D ．1m ≥
10．已知点P 是双曲线22
22:1(00)x y
C a b a b
-=>>，右支上一点，1F 是双曲线的左
焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是( ) A 23 C. 25二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11．已知函数3()log f x x =，则(
3)f = ．
12．同时抛掷4枚硬币，其中恰有2枚正面朝上的概率是 ．（结果用分数表示）．
13．公比q 不为1的等比数列{}n a 满足*212()n n n a a a n +++=∈N ，则q = ． 14．某程序框图如图所示，若输入的n ＝10，则输出的结果
是 ．
15．直线20x y -+=及曲线(1)(2)(3)(4)0x x y y --+--=
的交点个数是 ．
16. 若不等式组10,
210,10x y x y kx y +-⎧⎪--⎨⎪++⎩
≤≥≥表示的平面区域是三角形，
则实数k 的取值范围是 ．
17．平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A +=. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =
1b =，求ABC ∆的面积．
19．（本小题满分14分）在等差数列{}n a 中，已知35a =，12749a a a ++
+=.
（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）若*1
1
()n n n b n a a +=∈N ，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较2+n a 及n S 16的大小．
20．（本小题满分14
分）如图，平面ABEF ⊥
四边形ABEF 为矩形，△ABC O 为AB 的中点，OF EC ⊥．
（Ⅰ）求证：OE FC ⊥；
（Ⅱ）求二面角E FC O --的正切值．
21．（本小题满分15分）设函数2()ln f x ax x =+.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（第20
（Ⅱ）设函数()(21)g x a x =+，若当(1,)x ∈+∞时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.
22．（本小题满分15
分）抛物线
2
1:4C x y =在点A ，B 处的切线垂直相交于点P ，直线AB 及
椭圆22
2:1
42x y C +=相交于C ，D 两点．
（Ⅰ）求抛物线1C 的焦点F 及椭圆2C 的左焦点1F 的距离；
（Ⅱ）设点P 到直线AB 的距离为d ，试问：是否存在直线AB ，使得||AB ，
d
，||CD
成等比数列？若存在，求直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．
2019年温州市高三第一次适应性测试数学（文科）试题参考答案2019.2 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项符合题目要求.
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．12 12．38 13．2- 14．5 15．2 16．1
1
2k -<<
17三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程
第22题
或演算步骤．
18（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由sin cos 0a B b A +=及正弦定理，得 sin sin sin cos 0A B B A +=， ………2分
sin cos 0A A ∴+=， …………………………………………
…………4分
(0,)A π∈
34
A π
∴=
. ……………………………………………7分
（Ⅱ）解：
由a =1b =，34
A π
=
及余弦定理，
得210c +-=， ……………
9分
得
c =
， (11)
分
1sin 2ABC S bc A ∆∴==……………………………………………14分
19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意得：
1125
72149+=⎧⎨
+=⎩a d a d (2)
分
解得
11
2
a d =⎧⎨
=⎩ …………………………………………………………………………4分
21n a n ∴=-. ……………………………………………………………
……6分
（Ⅱ）解：因为1
1
n n n b a a +=
，所以1
(21)(21)
n b n n =
-+， (7)
分
…
…………10分
所以n n S a 162-+=-+32n 1216+n n
=12)
32)(12(+--n n n ， (12)
分
所以当1=n 时，n n S a 162<+；当2n ≥时，
n
n S a 162>+. ……………………14分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结OC ，因AC BC =，O 是AB 的中点，
故OC AB ⊥． …………1分
又因平面ABC ⊥平面ABEF ，
故OC ⊥平面ABEF ， 于是OC OF ⊥． …………3分 又OF EC ⊥，
所以OF ⊥平面OEC ， 所以OF OE ⊥， …………5分 又因OC OE ⊥，故OE ⊥平面OFC ， 所以OE FC ⊥． …………7分
（Ⅱ)由（Ⅰ），得AF AB 2=．不妨设1=AF ，则2=AB ．
因为ABC ∆为等边三角形，则
2AC BC == (9)
分
过O 作OG FC ⊥，垂足为G ，连接EG ， 则EGO ∠就是二面角E FC O --的平面角. …………11分
在
OFC ∆中，OF =
，OC =FC =，
所以
=
OG
EO =，所以tan 3
EGO ∠=
即二面角E FC O --的正切值为
3
． …………14分
21．（本小题满分15分） （Ⅰ）解：因为2
()ln f x ax x =+，其中0x >． 所以
221
()ax f x x
+'=， …………
2分
当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数 ………………………………4分
当0a <时，令()0f x '=，得x =
所以()f x 在上是增函数，在)+∞上是减函数. ………………6分 （Ⅱ）解：令()()()h x f x g x =
-，则2()(21)ln h x ax a x x =-++，
根据题意，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <恒成
立. ………………………………………8分
所以1(1)(21)
'()2(21)x ax h x ax a x x
--=-++
=
（1）当1
02a <<
时，
1(,)2x a ∈+∞时，'()0h x >恒成立. 所以()h x 在
1
(
,)
2a
+∞上是增函数，且1()((),)2h x h a
∈+∞，所以不符题意…………10分
（2）当
1
2a ≥
时，(1,)x ∈+∞时，'()0h x >恒成立.
所以()h x 在(1,)+∞上是增函数，且
()((1),)
h x h ∈+∞，所以不符题
意………………12分
（3）当0a ≤时，(1,)x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在(1,)+∞上是减函数，
于是“()0h x <对任意(1,)x ∈+∞都成立”的充要条件是(1)0h ≤， 即(21)0a a -+≤，解得1a -≥，故10a -≤≤.
综上所述，a 的取值范围是
[1,0]-. (15)
分
22．（本小题满分15分）
（I）解：抛物线1C的焦点(0,1)
F，………1分
椭圆2C的左焦
点
1(
F，………2分
则
1
||
FF=………3分
（II）解：设直线:
AB y kx m
=+，11
(,)
A x y，22
(,)
B x y，33
(,)
C x y，44
(,)
D x y，
由2
,
4
y kx m
x y
=+
⎧
⎨
=
⎩，得2440
x kx m
--=，………4分故124
x x k
+=，124
x x m
=-．
由24
x y
=，得2
x
y'=
，故切线PA，PB的斜率分别为
1
2
PA
x
k=
，
2
2
PB
x
k=
，再由PA PB
⊥，得1
PA PB
k k=-，即1212
4
1
2244
x x x x m
m
-
⋅===-=-
，
故1
m=，这说明直线AB过抛物线1C的焦点F．………7分
由
2
11
2
22
24
24
x x
y x
x x
y x
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
，得
12
=2
2
x x
x k
+
=
，
222
11112112
11
=21
244444
x x x x x x x x
y k kx x
+
⋅-=-=⋅-==-
，即(2,1)
P k-．………8分
于是点(2,1)P k -到直线:10AB kx y -+=
的距离2d =
=. ………
9分
由22
1,142
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，
得
22(12)420k x kx ++-=， (10)
分
从而||CD ==， (11)
分
同
理
，
2||4(1)AB k =+． (12)
分
若
||
AB ，
d
，
||
CD 成等比数列，则
2||||d AB CD =⋅， (13)
分
即
224(1)k =+，化简整理，得4
2283670k
k ++=，
此方程无实根，所以不存在直线AB ，使得||AB ，d ，||CD 成等比数列． ………15分。