2019年高考物理考纲解读与热点难点突破专题07带电粒子在复合场中的运动教学案201902161248

专题07 带电粒子在复合场中的运动
【2019年高考考纲解读】
(1)主要考查三种常见的运动规律，即匀变速直线运动、平抛运动及圆周运动．一般出现在试卷的压轴题中．
(2)以电磁技术的应用为背景材料，联系实际考查学以致用的能力，一般出现在压轴题中．
(3)偶尔出现在选择题中，给出一段技术应用的背景材料，考查带电粒子在场中的运动规律及特点．
【命题趋势】
(1)考查带电粒子在组合场中的运动问题；
(2)考查带电粒子在复合场中的运动问题；
(3)考查以带电粒子在组合场、复合场中的运动规律为工作原理的仪器在科学领域、生活实际中的应用．
【重点、难点剖析】
一、带电粒子在“组合场”中的运动
(1)组合场：指电场、磁场、重力场有两种场同时存在，但各位于一定的区域内且并不重叠，且带电粒子在一个场中只受一种场力的作用。

(2)对“组合场”问题的处理方法
最简单的方法是进行分段处理，要注意在两种区域的交界处的边界问题与运动的连接条件，根据受力情况分析和运动情况分析，大致画出粒子的运动轨迹图，从而有利于直观地解决问题。

【方法技巧】解决带电粒子在组合场中运动的一般思路和方法:
(1)明确组合场是由哪些场组合成的。

(2)判断粒子经过组合场时的受力和运动情况，并画出相应的运动轨迹简图。

(3)带电粒子经过电场时利用动能定理和类平抛运动知识分析。

(4)带电粒子经过磁场区域时通常用圆周运动知识结合几何知识来处理。

二、带电粒子在复合场中的运动
1.正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提
带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始运动的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析。

2.灵活选用力学规律是解决问题的关键
当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解;当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解;当带电粒子在复合场中做非匀变速曲
线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。

由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，往往出现临界问题，此时应以题目中出现的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解。

三、带电粒子在周期性的电场、磁场中的运动
带电粒子在交变电场或磁场中运动情况较复杂，运动情况不仅取决于场的变化规律，还与粒子进入场的时刻有关，一定要从粒子的受力情况着手，分析出粒子在不同时间间隔内的运动情况，若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，那么粒子在穿越电场的过程中，可看做匀强电场。

【变式探究】【2017·天津卷】平面直角坐标系xOy 中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ现象存在沿y 轴负方向的匀强电场，如图所示。

一带负电的粒子从电场中的Q 点以速度v 0沿x 轴正方向开始运动，Q 点到y 轴的距离为到x 轴距离的2倍。

粒子从坐标原点O 离开电场进入磁场，最终从x 轴上的
P 点射出磁场，P 点到y 轴距离与Q 点到y 轴距离相等。

不计粒子重力，问：
（1）粒子到达O 点时速度的大小和方向； （2）电场强度和磁感应强度的大小之比。

【答案】（1）02v v =
，方向与x 轴方向的夹角为45°角斜向上 （2）
2
v B E =
【解析】（1）粒子在电场中由Q 到O 做类平抛运动，设O 点速度v 与+x 方向夹角为α，Q 点到x 轴的距离为L ，到y 轴的距离为2L ，粒子的加速度为a ，运动时间为t ，根据类平抛运动的规律，有：
x 方向：t v L 02= y 方向：22
1at L =
粒子到达O 点时沿y 轴方向的分速度为：at v y = 又：0
tan v v y =
α
解得：1tan =α，即 45=α，粒子到达O 点时速度方向与x 轴方向的夹角为45°角斜向上。

粒子到达O 点时的速度大小为
【变式探究】(2016·全国卷Ⅰ，15)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图1所示，其中加速电压恒定。

质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。

若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。

此离子和质子的质量比约为( )
图1
A ．11
B ．12
C ．121
D ．144
【答案】D
【解析】设质子的质量和电荷量分别为m 1、q 1，一价正离子的质量和电荷量为m 2、q 2。

对于任意粒子，在加速电场中，由动能定理得
qU ＝12
mv 2－0，得v ＝2qU
m
①
在磁场中qvB ＝m v 2
r
②
由①②式联立得m ＝B 2r 2q
2U ，由题意知，两种粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，加速电压U 不变，其
中B 2＝12B 1，q 1＝q 2，可得m 2m 1＝B 22
B 21
＝144，故选项D 正确。

由②③式解得r 2＝
2
B
mEd q
④
(2)设粒子在第n 层磁场中运动的速度为v n ,轨迹半径为r n (各量的下标均代表 粒子所在层数，下同)．
nqEd ＝12
mv 2n ⑤
qv n B ＝m v 2n
r n
⑥
图1
由⑥⑦⑧式得
r n sin θn －r n －1sin θ
n －1
＝d ⑨
由⑨式看出r 1sin θ1，r 2sin θ2，…，r n sin θn 为一等差数列，公差为d ，可
得
r n sin θn ＝r 1sin θ1＋(n －1)d ⑩
图2
当n ＝1时，由图2看出
r 1sin θ1＝d
由⑤⑥⑩⑪式得
sin θn ＝B
nqd
2mE
⑫
【变式探究】(2015·江苏单科，15，16分)一台质谱仪的工作原理如图所示， 电荷量均为＋q 、质
量不同的离子飘入电压为U 0的加速电场，其初速度几乎
为零．这些离子经加速后通过狭缝O 沿着与磁
场垂直的方向进入磁感应强度 为B 的匀强磁场，最后打在底片上．已知放置底片的区域MN ＝L ，且OM ＝
L .某次测量发现MN 中左侧23区域MQ 损坏，检测不到离子，但右侧13
区域QN
仍能正常检测到离子．在适
当调节加速电压后，原本打在MQ 的离子即可在 QN 检测到．
(1)求原本打在MN 中点P 的离子质量m ；
(2)为使原本打在P 的离子能打在QN 区域，求加速电压U 的调节范围；
(3)为了在QN 区域将原本打在MQ 区域的所有离子检测完整，求需要调节U
的最少次数．(取lg 2
＝0.301，lg 3＝0.477，lg 5＝0.699)
【答案】(1)9qB 2L 2
32U 0 (2)100U 081≤U ≤16U 0
9
(3)3次
(2)由(1)知，U ＝16U 0r 2
9L 2离子打在Q 点时r ＝56L ，U ＝
100U 0
81
离子打在N 点时r ＝L ，U ＝
16U 0
9
，则电压的范围
100U 081≤U ≤16U 0
9
(2)加电场后，小球从O 点到A 点和B 点，高度分别降低了d 2和3d
2
，设电势能分别减小ΔE p A 和ΔE p B ，
由能量守恒及④式得
ΔE p A ＝3E k0－E k0－12mgd ＝2
3E k0⑦
ΔE p B ＝6E k0－E k0－3
2
mgd ＝E k0⑧
在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的．设直线OB 上的M 点与A 点等电势，M 与O 点的距离为x ，如图，则有
x
32
d ＝
ΔE p A
ΔE p B
⑨ 解得x ＝d .MA 为等势线，电场必与其垂线OC 方向平行．设电场方向与竖直向下的方向的夹角为α，由几何关系可得
α＝30°⑩
即电场方向与竖直向下的方向的夹角为30°.
设场强的大小为E，有qEd cos 30°＝ΔE p A⑪由④⑦⑪式得
E＝3mg
6q
⑫
【举一反三】如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异号电荷．一带电微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么( )
A．若微粒带正电荷，则A板一定带正电荷
B．微粒从M点运动到N点电势能一定增加
C．微粒从M点运动到N点动能一定增加
D．微粒从M点运动到N点机械能一定增加
【答案】C
【变式探究】如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45 °角，不计粒子所受的重力．求：
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值．
【答案】(1)mv20
2qh (2)2v0方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45 °角(3)
2mv0
qL
(3)
粒子在磁场中运动时，有qvB ＝m v 2
r
电场加速 且 解得
根据几何关系x =2r 1 –L 解得
（2）（见图） 最窄处位于过两虚线交点的垂线上
解得
【变式探究】(2016·天津理综，11)如图6所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5 3 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T。

有一带正电的小球，质量m＝1×10－6kg，电荷量q＝2×10－6C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g＝10 m/s2，求：
图6
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。

【答案】(1)20 m/s 与电场方向成60°角斜向上
(2)3.5 s
【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
(2)解法一撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图所示，设其加速度为a，有
a＝q2E2＋m2g2
m
⑤
设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有x＝vt⑥
2．解题思路
(1)小物体P 1在水平轨道CD 上做匀速直线运动，结合平衡条件，可求出运动速度v 的大小． (2)根据动能定理求出小物体P 1到G 点时的速度v G ，此后P 1沿倾斜轨道做匀变速运动，小物体P 2沿倾斜轨道做匀加速运动，由牛顿第二定律求出两物体的加速度，两物体在倾斜轨道上运动的距离之和即为倾斜轨道的长度．
【答案】(1)4 m/s (2)0.56 m
(2)设P 1在G 点的速度大小为v G ，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理
qEr sin θ－mgr (1－cos θ)＝1
2mv 2G －12
mv 2
⑤
P 1在GH 上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a 1，根据牛顿第二定律 qE cos θ－mg sin θ－μ(mg cos θ＋qE sin θ)＝ma 1⑥ P 1与P 2在GH 上相遇时，设P 1在GH 上运动的距离为s 1，则 s 1＝v G t ＋12
a 1t 2⑦
设P 2质量为m 2，在GH 上运动的加速度为a 2，则
m 2g sin θ－μm 2g cos θ＝m 2a 2⑧
P 1与P 2在GH 上相遇时，设P 2在GH 上运动的距离为s 2，则 s 2＝12
a 2t 2⑨ s ＝s 1＋s 2⑩
联立⑤～⑩式，代入数据得
s ＝0.56 m ⑪
【变式探究】如图3－7－5所示，坐标系xOy 在竖直平面内，空间内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，在x >0的空间内有沿x 轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为E .一个带正电的油滴经过图中x 轴上的A 点，恰好能沿着与水平方向成θ＝30°角斜向下的直线做匀速运动，经过y 轴上的B 点进入x <0的区域，要使油滴进入x <0区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需在x <0区域内另加一匀强电场．若带电油滴做圆周运动通过x 轴上的C 点，且OA ＝OC ，设重力加速度为g ，求：
图3－7－5
(1)油滴运动速度的大小．
(2)在x <0区域所加电场的大小和方向．
(3)油滴从B 点运动到C 点所用时间及OA 的长度．
【答案】(1)2E B (2)3E ，方向竖直向上 (3)23πE 3gB 33E 2
gB 2
(2)使油滴在x <0的区域做匀速圆周运动，则油滴的重力与所受的电场力平衡，洛伦兹力提供油滴做圆周运动的向心力．所以有：mg ＝qE ′
又tan θ＝qE
mg
v 1t 3＝
πr 2，解得t 3＝5πr 6v
所以t 总＝t 1＋t 2＋t 3＝5d 4v ＋5πr 3v
题型三、带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在电场和磁场的组合场中运动，实际上是将粒子在电场中加速与偏转和磁偏转两种运动有效组合在一起，寻找两种运动的联系和几何关系是解题的关键．当带电粒子连续通过几个不同的场区时，粒子的受力情况和运动情况也发生相应的变化，其运动过程则由几个不同的运动阶段组成．
例3、人类研究磁场的目的之一是为了通过磁场控制带电粒子的运动．如图10所示是通过磁场控制带电粒子运动的一种模型．在0≤x ＜d 和d <x ≤2d 的区域内，存在磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，其方向分别垂直纸面向里和垂直纸面向外．在坐标原点有一粒子源连续不断地沿x 轴正方向释放出质量为m 、带电荷量为q (q >0)的粒子，其速率有两种，分别为v 1＝23qBd 3m 、v 2＝2qBd
m .(不考虑粒子的重力以及粒子之间的
相互作用)
图10
(1)求两种速率的粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中做圆周运动的半径R 1和R 2. (2)求两种速率的粒子从x ＝2d 的边界射出时，两出射点的距离Δy 的大小．
(3)在x >2d 的区域添加另一匀强磁场，使得从x ＝2d 边界射出的两束粒子最终汇聚成一束，并平行y 轴正方向运动．在图中用实线画出粒子的大致运动轨迹(无需通过计算说明)，用虚线画出所添加磁场的边界线．
【答案】(1)233d 2d (2)4(23
3
－1)d (3)见解析图
【解析】(1)根据qvB ＝m v 2R 可得：R ＝mv
qB
又因为粒子速率有两种，分别为：v 1＝23qBd 3m ，v 2＝2qBd
m
解得：R 1＝23
3
d ，R 2＝2d
(2)图甲为某一速率的粒子运动的轨迹示意图，
(3)两个粒子运动轨迹如图乙中实线所示，磁场边界如图中虚线所示，可以使得从x＝2d边界射出的两束粒子最终汇聚成一束，并平行y轴正方向运动．
【变式探究】某高中物理课程基地拟采购一批实验器材，增强学生对电偏转和磁偏转研究的动手能力，其核心结构原理可简化为如图11所示．AB、CD间的区域有竖直向上的匀强电场，在CD的右侧有一与CD相切于M点的圆形有界匀强磁场，磁场方向垂直于纸面．一带正电粒子自O点以水平初速度v0正对P点进入该电场后，从M点飞离CD边界，再经磁场偏转后又从N点垂直于CD边界回到电场区域，并恰能返回O点．已
知O、P间距离为d，粒子质量为m，电荷量为q，电场强度大小E＝3mv02
qd
，粒子重力不计．试求：
图11
(1)粒子从M点飞离CD边界时的速度大小；
(2)P、N两点间的距离；
(3)圆形有界匀强磁场的半径和磁感应强度的大小．
【答案】(1)2v0(2)
3
8
d(3)
5
4
d
83mv0
5qd
【解析】(1)据题意，作出带电粒子的运动轨迹，如图所示：
(2)粒子从N 到O 点时间：t 2＝
d 2v 0
粒子从N 到O 点过程的竖直方向位移：y ＝12at 22
故P 、N 两点间的距离为：PN ＝y ＝
38
d
【变式探究】如图12所示，半径r ＝0.06 m 的半圆形无场区的圆心在坐标原点O 处，半径R ＝0.1 m 、磁感应强度大小B ＝0.075 T 的圆形有界磁场区的圆心坐标为(0,0.08 m)，平行金属板MN 的极板长L ＝0.3 m 、间距d ＝0.1 m ，极板间所加电压U ＝6.4×102
V ，其中N 极板收集的粒子全部被中和吸收．一位于O 处的粒子源向第Ⅰ、Ⅱ象限均匀地发射速度大小v ＝6×105
m/s 的带正电粒子，经圆形磁场偏转后，从第Ⅰ象限出射的粒子速度方向均沿x 轴正方向．若粒子重力不计、比荷q
m
＝108
C/kg 、不计粒子间的相互作用力及电场的边缘效应．sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
图12
(1)粒子在磁场中的运动半径R 0；
(2)从坐标(0,0.18 m)处射出磁场的粒子，其在O 点入射方向与y 轴的夹角θ； (3)N 板收集到的粒子占所有发射粒子的比例η. 【答案】见解析
【解析】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由qvB ＝mv 2
R 0
得R 0＝mv qB
＝0.08 m
(2)如图所示，从y ＝0.18 m 处出射的粒子对应入射方向与y 轴的夹角为θ，轨迹圆心与y 轴交于(0,0.10 m)处，
由几何关系可得：sin θ＝0.8，故θ＝53°。