9。4三垂线定理复习

结 论 成
同理可得OF⊥AC
立
例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高 15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求 出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于 90°，再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20m
A
B
90°
C
45°
D
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。 ∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m)
A1
P
B1
D
A
O
B
谁是基础平面呢？
C1
若以平面BB1D1D为基础面，可 有如下的证明方法，如图六因为
AO⊥BD，而BB1⊥面ABCD， 从而有AO⊥BB1 ，得AO⊥平面
C BB1D1D，故PO就是AP在平面
BB1D1D上的射影
证明：设PO＝ a ，连PB1
∵BD＝B1D1＝ 2a，∴OB＝OD＝ 2 a ， 2
与AB重合的任意直线，

∠OAB= ，∠BAC= ∠OAC= ，

，

A

C
B
求证：cos =cos cos
斜—非—角线的面余角弦（等斜于射角线）面，角的—余—射弦非与角射非角余弦 的—积—斜非角
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直，
如图，O点在平面A1ADD1上的射影恰为AD的 中点M，只要证明A1M⊥AP即可。这在正方形 A1ADD1中是显然的结论。
D1
C1
A1 P
B1
D C
A
O B
解题小结：不同的选择，
使问题的解决过程有难有
易，由此也体现 出灵活性
并非能轻而易举地获得， D1
C1
所以要加强训练。
A1
F B1
有趣的是，在线段A1B1 上任取一点F，结论都能
A
O
B
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1的 中点，O为底面ABCD的中心，求证B1O⊥PA
导析：正方体中有众多的线面垂直，为我们使用“三垂 线定理”提供了极为便利的条件。
D1
C1
A1
P
B1
D C
A
O
B
谁是基础平面呢？
若以平面A1ADD1为基础面， 显然B1A1⊥平面A1ADD1，只 须作出O点在平面A1ADD1上 的 射影即可得到斜线B1O在平 面A1ADD1上的射影。
PDC有F来自⊥AP。原因何在？ AO
B
1．如图，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC ＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离．
设BC的中点为D，连结PD． ∵AB＝AC＝13，BC＝10， ∴AD⊥BC． 且AD＝12． 又∵PA⊥平面ABC， ∴PD⊥BC． 即 PD的长度就是P到直线BC的 距离． 而 PD＝13．
（×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射 D
C
⑷影若b则则垂a是aa直⊥⊥平于bb面a在α的平斜面线α内,b∥的（α（射,直影√×线，））面直直面面直直面 直 直AA线 线线线ABA线 线B1BBABAAABCCC111B11DCBDCDCBC→→ →→→1→ →→→垂斜 垂斜面斜 垂面面B线线 线线α线 线ααβ babaab
O
（4）在四面体ABCD中，顶点A到
C
BC、CD、DB的距离相等，则A
在底面BCD上的射影是底面BCD
的 内 心。
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1的 中点，O为底面ABCD的中心，求证B1O⊥PA
导析：正方体中有众多的线面垂直，为我们使用“三垂 线定理”提供了极为便利的条件。
D1
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
m
A
B

直线与平面垂直的判定定理
如果直线 l和平面 内的两条相交直线
m,n都垂直，那么直线 l垂直平面 。
l
即：
m ,n
lm, ln

,
m

n

P

l
m
P
n

线不在多，重在相交
判定线面垂直的一个命题
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面
a 2
OB1
＝
2 2
a
2 ＋
2＝
3 a2 2
又OP 2
＝
2 2
a

2
＋


a 2
2
＝ 3 a2 4
A1
D1
PB12 ＝
2a
2＋

a
2
2
＝ 9 a2 4
P
D
B1
C1
有OP 2＋OB12＝PB12 ， 则B1O⊥OP
C
由三垂线定理得B1O⊥PA
线射垂直
那么，它就和这条斜线垂直。
定 理
三垂线定理的逆理：
逆 定 理
在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直，
线斜垂直
那么，它也和这条斜线的射
影垂直。
三垂线定理及其逆定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
C
思考题：（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则
A在底面BCD上的射影是底面BCD的 垂 心。
A （2）在四面体ABCD中，AB、ＡＣ、 ＡＤ互相垂直，则A在底面BCD上的射
影是底面BCD的 垂 心
（3）在四面体ABCD中，
B
D
AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射
影是底面BCD的 外 心。
求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
练习：判断下列命题的真假：
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a
在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×） D1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内 的直线b垂直于a在平面α内的射
A1
C1 B1
影，则 a⊥b
线面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线平行
A
定理 从平面外一
O
B
点向这个平面所引的
C
垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
平面的斜线和平面所成的角
思考题：（1）在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，
AC⊥BD 。求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
B
90°
C
45°
D
例5 直接利用三垂线定理证明下列各题： (1)已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角
线BD的中点。 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中
点， 求证：BC⊥AM
(3) 已知：在正方体AC1中，
直线和平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面 内的任意一条直线都垂 直，我们就说直线 l 和平面 互相垂直，记作 l ．
直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面．
它们唯一的公共点即交点叫做垂足．
唯一性公理一
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直
m A

唯一性公理二
2、Rt△ABC在平面α内，∠C＝90°，AC＝16， P为α外一点，PA＝PB＝PC，如果P到BC的距离 为17，求点P到平面α的距离．
解：作PO⊥平面α， ∵ PA＝PB＝PC， ∴ OA＝OB＝OC． ∴ O为Rt△ABC的外心． 取BC中点D，连结PD、OD． 则OD是△ABC中位线．
由三垂线定理知PD⊥BC，即PD＝17， 在Rt△ABC中，OP＝
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO
P
分析： 要证 ∠BAO=∠CAO 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC
? ??A
EB O
证明： ∵ PO ⊥

C
∴OE、OF是PE、PF在内的射影 F
∵ PE=PF
∴ OE=OF
由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB

1
平面的一条斜线和
它在平面上的射影所成 的锐角(即斜射角)，叫 做这条直线和这个平面
所成的角。
一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所
成的角是0 的角。 直线和平面所成角的范围是[0，90]。
O
如图，OA是平面的斜线，
OB⊥平面 于B，AC是 内不