江苏省泰州中学、宜兴中学、梁丰中学、江都中学2024届数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析

江苏省泰州中学、宜兴中学、梁丰中学、江都中学2024届数学
高一第二学期期末监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n =( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．171 172
B ．170 172
C ．168 172
D ．170 175
3．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，
n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的正切值为（ ）
A ．
1
3
B ．
23
C ．
23
D ．
73
4．如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点且APB β∠=，
02
π
β<<
，则图中阴影区域面积的最大值为（ )
A ．cos ββ+
B ．sin ββ+
C ．22cos ββ+
D ．44sin ββ+
5．函数sin 2y x =-，x ∈R 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数
D ．最小正周期为2π的偶函数
6．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()2016
1,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫
-⋅≥⎪ ⎪
⎝⎭⎩
，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和.下列关于lim n n S →+∞的结论，正确的是（ ） A ．lim 1n n S →+∞
=- B ．lim 2015n n S →+∞
= C ．()()
()
*2016,12016lim 1.2017n n n S n N n →+∞
⎧≤≤⎪=∈⎨
-≥⎪⎩
D ．以上结论都不对
7．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
8．已知向量（2，0），||＝1，1，则与的夹角为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +的最小值是（） A ．6-
B ．3-
C ．4-
D ．2-
10．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．2
2π
B ．2
π
C ．
2
2
π D ．
2
3
π
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．若4sin 5α=
，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为______．
12．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．
13．已知直线3230x y +-=与直线610x my ++=互相平行，则m =______. 14．方程124x -=的解为______．
15．直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为 ． 16．函数
的定义域是_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； 18．数列{}n a 满足：11232n n a a a +==+，． （1）求证：{}1n a +为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式．
19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n
S n n N n
*∈均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .
20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-． （1）求等比数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求1
1
{
}n n b b +的前n 项和n T ． 21．已知直线330l x y -=
（1）若直线1l 过点(0,1)，且1//l l .求直线1l 的方程.
（2）若直线2l 过点A (2,0)，且2l l ⊥，求直线2l 的方程及直线2l ,l ,x 轴围成的三角形的面积.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
开始，输入1,1,0,1a A S n ====，
则2S =，判断210≥，否，循环，1
2,,22
n a A ===， 则92S =，判断9102≥，否，循环，1
3,,4,4n a A ===
则354S =，判断
35104≥，否，循环，1
4,,8,8n a A === 则1358S =，判断
135
108
≥，是，输出4n =，结束.故选择C. 2、A 【解题分析】
由中位数和众数的定义，即可得到本题答案. 【题目详解】
把这组数据从小到大排列为166，168，168，170，172，172，172，175，则中位数为
170172
1712
+=，众数为172. 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查中位数和众数的求法. 3、D 【解题分析】
根据大角对大边判断最小角为C ，利用正弦定理得到1
cos 2(1)
n C n +=
-，代入余弦定理
计算得到5n =，最后得到tan 3
C =. 【题目详解】
根据大角对大边判断最小角为C
根据正弦定理知：
111
cos sin sin sin 2sin 2(1)
a c n n n C A C C C n +-+=⇒=⇒=- 根据余弦定理：
222221
(1)(1)2(1)cos (1)2(1)2(1)
n n n n n n C n n n n
n +-=++-+=++-+-
化简得：5n =
13cos tan 2(1)43
n C C n +=
=⇒=
- 故答案选D 【题目点拨】
本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力. 4、D 【解题分析】
由题意可得22AOB APB ∠=∠=β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB ⊥，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．
【题目详解】
由题意可得22AOB APB ∠=∠=β，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB ⊥， 即有2QO =，Q 到线段AB 的距离为22cos β+， 22sin 4sin AB ββ==，
扇形AOB 的面积为
1
2442
ββ=， ABQ ∆的面积为1
(22cos )4sin 4sin 4sin cos 4sin 2sin 22
βββββββ+=+=+，
1
4sin 2sin 222sin 24sin 2
AOQ BOQ S S ββββ∆∆+=+-
=， 即有阴影区域的面积的最大值为44sin ββ+． 故选D ． 【题目点拨】
本题考查扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题． 5、A 【解题分析】
判断函数函数sin2y x =-，x R ∈的奇偶性，求出其周期即可得到结论. 【题目详解】
设()sin2,y f x x ==- 则()()()sin2sin2,f x x x f x -=--==- 故函数函数
sin2y x =-，x R ∈是奇函数，由2,2
T π
π=
= 故函数sin2y x =-，x R ∈是最小正周期为π的奇函数. 故选A. 【题目点拨】
本题考查正弦函数的奇偶性和周期性，属基础题. 6、B 【解题分析】
根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当2017n ≥时，2016
120153n n S -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
再由极限的运算法则，即可得出结果. 【题目详解】
因为数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()2016
1,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫
-⋅≥⎪ ⎪
⎝⎭⎩
，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，
所以122016...1a a a ====，201723a =-，20182
9
a =-，...… ， 所以当2017n ≥时，
2016
201620162113311201620161201513313
n n n n S ---⎡⎤⎛⎫
--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+
=-+=+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
-， 因此2016
1lim lim 201520153n n n n S -→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫
=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型. 7、B
【解题分析】
试题分析：由三角形的面积公式，得
，即
，
解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.
考点：三角形的面积公式. 8、A 【解题分析】
直接利用向量夹角公式得到答案. 【题目详解】 解：向量（2，0），||＝1，•1，
可得cos
，
则与b 的夹角为：． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查． 9、A 【解题分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【题目详解】
由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，
设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y •+=-⋅-+⋅-=-+
222[(3)3]x y =+--，
所以当0,3x y ==()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.
【题目点拨】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10、A 【解题分析】
由已知易得圆柱的高为2π，底面圆周长为2π，求出半径进而求得底面圆半径即可求出圆柱体积。

【题目详解】
底面圆周长22l r ππ==，1r = ，2S r ππ== 所以222V Sh πππ==⨯= 故选：A 【题目点拨】
此题考查圆柱的侧面展开为长方形，长为底面圆周长，宽为圆柱高，属于简单题目。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
33
10
【解题分析】
求出cos α，将sin 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开即可得解．
【题目详解】 因为4sin 5α=
，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭， 所以3
cos 5
α=-， 所以4331433
sin sin cos cos sin 666552πππααα-⎛⎫
⎛⎫+
=+=+-⨯= ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭. 【题目点拨】
本题主要考查了三角恒等式及两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题．
12、(3, 【解题分析】
利用正弦定理得到sin
A =ABC ∆有两解得到sin sin 1
B A <=
<，
计算得到答案. 【题目详解】
由正弦定理得：
sin
sin sin sin a b x A A B A =⇒=⇒= 若ABC ∆有两解：
sin sin 13
B A x <=
<⇒<<
故答案为(3, 【题目点拨】
本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力. 13、4 【解题分析】 由两直线平行得，61
323
m =≠-，解出m 值. 【题目详解】
由直线3230x y +-=与直线610x my ++=互相平行，得61323
m =≠-， 解得4m =. 故答案为：4. 【题目点拨】
本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题. 14、3x =或1x =- 【解题分析】
由指数函数的性质得12x -=，由此能求出结果． 【题目详解】 方程124x -=，
12x ∴-=，
12x ∴-=或12x -=-，
解得3x =或1x =-． 故答案为3x =或1x =-． 【题目点拨】
本题考查指数方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用． 15、
【解题分析】
试题分析：画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．
解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°， M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 如图：BC 的中点为O ，连结ON ，MN ，OB
，
∴MN
OB ，∴MN0B 是平行四边形，∴BM 与AN 所成角就是∠ANO ，
∵BC=CA=CC 1，
设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=
，
MB=
=
，
在△ANO 中，由余弦定理得：cos ∠ANO=
==．
故答案为
．
考点：异面直线及其所成的角． 16、
【解题分析】
解方程
即得函数的定义域. 【题目详解】 由题得，解之得 故答案为
. 【题目点拨】 本题主要考查正切型函数的定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) 2n n a =； (2) 1(1)22n n T n +=-⋅+
【解题分析】
（1）利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 求解； （2）由（1）知2n n a =，2n n b n =⋅，差比数列，利用错位相减法求其前n 项和.
【题目详解】
（1）由题意知2,,n n a S 成等差数列，所以22n n a S =+ ① ,
可得11222()n n a S n --=+≥ ②
①-②得12(2)n n a a n -=≥，又1122a a =+，12a =，
所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，
2n n a ∴=.
（2）由（1）可得2n n b n =⋅，用错位相减法得：
23422232422n n T n =+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ①
2n T =231222(1)22n n n n ++⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ②
①-②可得1(1)22n n T n +=-⋅+.
【题目点拨】
已知n a 与n S 的关系式利用公式11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解
错位相减法求等差乘等比数列的前n 项和．
18、（1）见解析（2）31n n a =-
【解题分析】
（1）证明11n a ++和1n a +的比是定值，即得；（2）由（1）的通项公式入手，即得。

【题目详解】
（1）由题得，113213(1)n n n a a a ++=++=+，即有1131
n n a a ++=+，相邻两项之比为定值3，故{}1n a +为公比3q =的等比数列；（2）因为{}1n a +为等比数列，且12a =，
则有1113(1)3n n n a a -+=+=，整理得{}n a 的通项公式为31n n a =-.
【题目点拨】
本题考查等比数列的概念，以及求数列的通项公式，是基础题。

19、（Ⅰ）65()n a n n N *=-∈（Ⅱ）10
【解题分析】
解：（I ）依题意得，32,n S n n
=-即232n S n n =-． 当n ≥2时，()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
; 当1113121n a S ===⨯-=时，
所以65()n a n n N *=-∈．
（II ）由（I ）得[]131111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +⎛⎫=
==- ⎪-+--+⎝⎭
， 故111111111...277136561n n n T b n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑=111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭． 因此，使得111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭<()20m n N *∈成立的m 必须满足20m max 111261n ⎛⎫>- ⎪+⎝⎭， 1,10202
m m ∴≥≥故满足要求的最小正整数m 为10. 20、（1）2n n a =（2）1
n n T n =+ 【解题分析】
（1）将已知两式作差，利用等比数列的通项公式，可得公比，由等比数列的求和可得
首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n ＝n ，11111
n n b b n n +=-+，由裂项相消求和可得答案．
【题目详解】
（1）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-①，
342S a =-②．
②﹣①，得3422a a a =-，则220q q --=，
又0q >，所以2q ，
因为2222S a =-，所以12222a a a +=-，
所以12a =，
所以2n n a =；
（2）22log log 2n n n b a n ===，11111(1)1
n n b b n n n n +==-++ 所以前n 项和11111111223111
n n T n n n n =-
+-++-=-=+++． 【题目点拨】 裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c
为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如
1(1)(3)n n ++或
1(2)
n n
+. 21、 (1) 330
y -+=； (2) +0y =【解题分析】
（1）根据已知求得1l 的斜率，由点斜式求出直线1l 的方程.（2）根据已知求得2l 的斜率，由点斜式写出直线
2l 的方程，联立12,l l 的方程，求得两条直线交点的坐标，再由三角形面积公式求得三角形面积.
【题目详解】
解：（1）∵1l ∥l ，∴直线1l 的斜率是3
又直线1l 过点()0,1，
∴直线1l
的方程为13
y x =+
330y -+= （2）∵2l l ⊥，∴直线2l
的斜率是又直线2l 过点(2,0)A ，
∴直线2l
的方程为)2y x =-
+0y =
由300
y y ⎧-=⎪+-=得1l 与2l
的交点为32⎛ ⎝⎭ ∴直线2l ,l ,x
轴围成的三角形的面积是
122⨯ 【题目点拨】
本小题主要考查两条直线平行、垂直时，斜率的对应关系，考查直线的点斜式方程，考查两条直线交点坐标的求法，考查三角形的面积公式，属于基础题.。