2021届高考数学二轮复习平面解析几何专题练之直线、圆的位置关系

2021届高考数学二轮复习平面解析几何专题练之直线、圆的位
置关系
1.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( ) 5 25
35
45
2.两圆2246120x y x y ++-+=与22214150x y x y +--+=公共弦所在直线的方程是( ) A. 310x y -+= B. 6210x y +-= C. 6830x y +-=
D. 350x y -+=
3.已知直线230x y -+=与圆22:10C x y ay ++-=相切，则实数a 的值为( ) A.1-
B.4
C.1-或4
D.1- 或2
4.若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>的公共弦的长为23a =( ) A ．2
B ．1
C ．-1
D ．-2
5.已知圆2260x y x +-=，过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22M 与圆
22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是( ) A ． 内切
B ． 相离
C ． 外切
D ． 相交
7.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若在圆C 中存在弦AB ，满足23AB =，且AB 的中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是( ) A.[25,25]-
B.[5,5]-
C.(5,5)-
D.[5,5]
8.已知直线10ax y +-=与圆22:(1)()1C x y a -++=相交于,A B 两点，ABC △为等腰直角三角形，则实数a =( ) A.1
B.2
C.1或2
D.1或-1
9.已知圆22:2640C x y x y +--+=与直线:0l x y b ++=，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，
90AOB ∠=︒ (O 为坐标原点)，则b 的值为( )
A.-1
B. -2
C. 1
D.2
10.两圆222210x y my m +-+-=和2224490x y nx n +-+-=恰有一条公切线，若
m R,n R ∈∈，且0mn ≠，则
22
41m n +的最小值为( ) A ． 4
B ． 3
C ．2
D ．1
11.圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-对称的圆的方程为________________. 12.已知点(21,22)P ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=，则过点P 的圆C 的切线方程为_________.
13.已知圆2222:()()(R,0)C x a y a r a r -+-=∈>与直线1
4
y =-相切，则圆C 所过的定点为
________.
14.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若圆C 上存在弦AB ，满足3AB =，且线段AB 的中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是_____________. 15.已知AB 是圆22:4O x y +=的直径，动圆M 过A B ,两点，且与直线2y =-相切. (1)若直线AB 的方程为0x y -=，求圆M 的方程；
(2)在y 轴上是否存在一个定点P ，使得直线1y =被以MP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为圆与两坐标轴都相切，点(21)，在该圆上，所以可设该圆的方程为
222()()(0)x a y a a a -+-=>，所以222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为(11)，或(5)，5，所以圆心到直线230x y --=的距离为22
252(1)=
+-2225
2(1)
=+-，故选B.
2.答案：C
解析：经过两圆2246120x y x y ++-+=与22214150x y x y +--+=的交点的圆系方程为：
()()2
2224612214150x
y x y x y x y λ++-+++--+=，
令1λ=-，可得公共弦所在直线方程为：6830x y +-= 故选C ． 3.答案：C
解析：圆2
2
:10C x y ay ++-=的标准方程为2
22
124a a x y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，可知圆心坐标为0,2a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
半径2
14
a R =+直线230x y -+=与圆C 相切，22232
142(1)
a a +=++-化简，得2340a a -=-，解得4a =或1a =-.故选C.
4.答案：B
解析：由圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，可得公共弦的方程为2
a
y =
，又224x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为2r =，由圆的弦长公式可得222224()232
a
l r d =-=-，解得1a =，故选B.
5.答案：B
解析：将圆的方程2260x y x +-=化为标准方程22(3)9x y -+=，设圆心为C ，则(30)C ，，半径3r =.设点(1
2)，为点A ，过点(12)A ，的直线为l ，因为22(13)29-+<，所以点(12)A ，
在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B D ，
.易知当直线l AC ⊥时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则
22(31)(02)22d AC =-+-=2222min ||223(22)2BD r d =-=-，即弦的长度的最小值为2，故选B. 6.答案：D
解析：由2220x y ay +-=()0a >得()()2
220x y a a a +-=>，所以圆M 的圆心为()0,a ，
半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是2
2
222
22211a ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭
2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以()
()2
2
01212MN -+-123r r +=，121r r -=，因为1212r r MN r r -<<+，所以圆M
与圆N 相交，故选D. 7.答案：D
解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，因此其圆心为()1,2C -，半径2r =，连接CM ，由于23AB =AB 的中点为M ，则22
(
)12
AB CM r -=，因此点M 在以(1,2)C -为圆心，1为半径的圆上，又点M 在直线20x y k ++=上，所以直线20x y k ++=与圆
22(1)(2)1x y ++-=2215
k
-++≤，解得55k ≤≤，故实数k 的取值范围
是[5,5]-，故选D. 8.答案：D
解析：因为ABC △是等腰直角三角形，所以圆心()1,C a -到直线10ax y +-=的距离为
221sin 451︒⨯==
221
a +=，解得1a =±.故选D. 9.答案：B
解析：由222640
x y x y x y b ⎧+--+=⎨++=⎩，得()22222640x b x b b +++++=，
2432160b b ∆=--->，
设()()1122,,,A x y B x y ，则122122642
x x b b b x x +=--⎧⎪
⎨++=⎪⎩，
由90AOB ∠=︒，知OA OB ⊥，即12120x x y y +=，则()()()2121212120,20x x x b x b x x b x x b +----=+++=，因而()226420b b b b b +++--+=，解得2b =-. 10.答案：A
解析：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为()()2
2
221,29x y m x n y +---+-， 圆心分别为()()0,,2,0m n ，半径分别为1和3， 222242,44n m m n ++-∴， 则
()2222224114
144m n m n m
n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ 22221161844
n m m n ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭， 222216824n m m n ⎛⨯+⋅- ⎝ 当且仅当22
2216n m m n -时，等号成立，
∴2241
m n
+的最小值为4. 故选A.
11.答案：22(3)4x y -+=
解析：依题意知，圆22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为()1,2-，设圆心关于直线21y x =-对称的点为(),x y ，则有2
121,22
21,1
2y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩所以对称后的圆心为()3,0，对称后的
圆的方程为22(3)4x y -+=. 12.答案：1220x y -+-
解析：由题意知圆心()1,2C ，半径2r =.因为22(211)(222)4-+-=，所以点 P 在圆 C 上.连接222,1211
PC PC k --=
=-+-，
则切线的斜率1
1PC
k k =-=，
所以过点P 的圆C 的切线方程是(22)1[(21)]y x -=⨯-，即120x y -+-=. 13.答案：1
(0,)4
解析：由圆C 的方程为2222()()x a y a r -+-=，可知圆心坐标为2(,)a a ，所以圆心在抛物线2x y =上，抛物线的准线方程为14y =-，因为圆C 与直线1
4y =-相切，所以由抛物线的定
义可知，圆C 所过的定点为1
(0,)4
.
14.答案：[5,5]-
解析：圆C 的方程可化为()()2
2
124x y ++-=，因此圆心()1,2C -，半径2r =.连接CM ，
由于23AB =因此231CM r -=，因此点M 在以()1,2C -为圆心，1为半径的圆上.又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆()()2
2
121x y ++-=有公共点，
2215
k
-++≤，解得55k ≤.
15.答案：(1)因为圆M 过点A B ,，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上， 又直线AB 的方程为0x y -=，
所以点M 在直线y x =-上，故可设()M a a -,.
因为圆M 与直线2y =-相切，所以圆M 的半径2r a =-+， 连接MO ，由已知得2AO =，MO AO ⊥， 故可得()2
2242a a +=-+， 解得0a =或4a =-， 故圆M 的半径2r =或6r =，
所以圆M 的方程为224x y +=或()()2
2
4436x y ++-=. (2)设()M x y ,，
由已知得圆M 的半径2r y =+，2AO =，MO AO ⊥，
故可得()2
2242x y y ++=+，化简得M 的轨迹方程为24x y =. 设0(0)P y ,，则MP 的中点0,22y y x O +⎛⎫
' ⎪⎝⎭
， ()()2222
00011122222MP x y y y y y y +-++- O '到直线1y =的距离为
2
0011222
y y y y +-=+-， 设直线1y =被以MP 为直径的圆截得的弦长为l ，
则()()2222
022********l y y y y y y ⎡⎤=++--+-⎣
⎦()20142444y y y =--++⎡⎤⎣⎦， 故当2y =时，l 为定值.
所以存在定点2(0)P ,
，使得直线1y =被以MP 为直径的圆截得的弦长为定值.。