解答平面向量夹角问题的三个“妙招”

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究
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平面向量的夹角问题重点考查平面向量的四则
基本运算，对同学们的数学思维与计算能力有一定的
要求.本文主要探讨一下解答平面向量问题的三种小
措施.
一、采用公式法
公式法是求解平面向量夹角问题的常用方法.由
向量的数量积公式可得向量a→、b→的夹角的余弦值为
cosθ=a→∙b→|
||
|
||
a
→|
||
|
||
b
→，且夹角的范围为[0,π].将向量的坐标直
接代入上述公式，即可求得两个向量的夹角的余弦值.
通过余弦值cosθ的符号，可以判断出该角为锐角、钝
角或直角.
例1.已知非零向量a→、b→满足||||||a
→=2|
||
|
||
b
→
，且(a→-b→)
⊥b→，求a→、b→的夹角.
解：设a→、b→之间的夹角为θ，
因为（a→-b→）⊥b→，
所以（a→-b→）∙b→=a→∙b→-b→2=0，
可得a→∙b→=b→2，所以cosθ=a
→∙b→
|
||
|
||
a
→|
||
|
||
b
→
=
|
||
|
||
b
→2
2||||||b→2
=12，
由于a→、b→夹角的取值范围为[0，π]，
所以a→、b→的夹角为
π3.
首先从已知条件出发，将（a→-b→）⊥b→转化为向
量a→、b→的关系式；然后根据已知关系式
|
||
|
||
a
→=2|
||
|
||
b
→
以及
向量的夹角公式，求得向量夹角的余弦值；最后根据
夹角的范围求得夹角的值.
二、坐标法
运用坐标法解题，先要仔细观察几何图形的特
点，寻找或构造两条互相垂直的直线，并将其视为坐
标轴，建立空间直角坐标系.给各个点赋予坐标后，就
能够根据向量坐标的运算法则求得夹角的大小.在计
算时，要注意运用平面向量夹角公式的坐标形式.
例2.已知正方形ABCD的边长为2，
DE=2
BC，
DF=12（ DC+ DB），求 BE与 DF的
夹角.
解：建立如图1所示的平面直
角坐标系，
可得点B(0,0)，E(2,23)，D(2,2)，
因为
DF=12（ D C+ D B），
所以点F为线段BC的中点，
所以F为(1,0)，得
BE=(2，23)， DF=(-1,-2)，
所以cosθ=
BE∙
DF
|
| BE| DF
=
所以
BE与
DF的夹角为34π.
在解题时，要先建立坐标系，根据题目中的几何
关系求得各个点的坐标以及所求向量的坐标；然后根
据向量夹角公式的坐标形式进行计算.
三、利用正余弦定理
在求解平面向量的夹角问题时，可根据向量的几
何意义来构造三角形，将所求的夹角看作三角形的一
个内角，求得三角形的边、角的大小，或建立边角关系，
即可根据正弦定理、余弦定理来计算出夹角的大小.
例3.如图2所示，已知△ABC为等腰直角三角
形，∠C=90°，AD，BE分别为直角边BC,AC的中线，
求
AD,
BE夹角的余弦值
.
解：设AD，BE的交点为
M，所以
AD,
BE的夹角为
∠DME，
将△ABC补成正方形
ACBF
，令AC=1，
则AD=BE
=，设点G
为AF的中点，连接BG,EG，则BG∥AD，
所以∠DME=π-∠EBG，
在△BEG中，BG=AD=BE=，EG，
由余弦定理可得cos∠EBG=45，
所以cos∠DME=-cos∠EBG=-45，
所以
AD,
BE所成角的余弦值为
-45.
深入挖掘向量的几何意义，并据此构造三角形，
即可将向量夹角问题转化为解三角形问题
.再运用正
余弦定理求三角形内角的大小，即可得出
AD,
BE夹角
的余弦值.
通过分析可知，解答平面向量夹角问题，可以通
过夹角公式、坐标法、正余弦定理，顺利求得夹角或夹
角余弦值的大小.相比较而已，公式法最简单、最常用，
另两种方法则较为灵活.
（作者单位：江苏省如东高级中学）
王小梅
图2
图1
50。