单位阶跃响应
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多余的共公 因子可消去
2p vo (t ) 2 pi2 (t ) 3 e(t ) 2 2p 5p 5p 3
d3 d2 d d 2 3 vo (t ) 5 2 vo (t ) 5 vo (t ) 3vo (t ) 2 e(t ) dt dt dt dt
总结：
（1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法； （2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。
（2）求系统的完全响应
齐次解：
特征方程 特征根 齐次解
2 7 10 0
1 -2, 2 -5
ih (t ) A1e2t A2 e 5t
特解： 设 iP (t ) B ，将其代入微分方程，得
10B 16 B 8 5
系统的全响应为：i (t ) A1e 2t A2 e 5t
i(t )
1Ω 1F
i2 (t )
1H 1Ω
i1 (t )
解：
i1 (t ) i2 (t ) i(t )
di1 (t ) i2 (t ) i2 ( )d i1 (t ) dt
t
消去中间变量
2
i2 (t ) ，得
d i1 (t ) di1 (t ) di (t ) 2 i1 (t ) i (t ) 2 dt dt dt
9Be3t 9Be3t 2Be3t e3t
3t r ( t ) 0.5 e p
完全解
（3）从
r (t ) rh (t ) rp (t ) A1et A2e2t 0.5e3t
3t
0到 0 状态的转换
u (t ) 代入方程右端，得 d e(t ) 4e(t ) (t ) e 3t u (t ) 自由项 dt
r (0 ) A1 A2 0.5 1 r (0 ) A1 2 A2 1.5 3
全响应
r (t ) 5.5e t 5e 2t 0.5e 3t
, t 0
（一）经典法求解微分方程步骤：
1、齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解的形式。
将 e(t ) e
则在 0
t 0 内，
d2 d r (t ) 3 r (t ) 2r (t ) (t ) u (t ) 2 dt dt
设 则
d2 r (t ) a (t ) bu (t ) 2 dt d r (t ) au(t ) r (0 ) r (0 ) a dt
d m e(t ) d m1e(t ) E0 E1 m m 1 dt dt
de(t ) Em1 Em e(t ) dt
系统分析的任务就是求解这个n 阶非齐次线性常微分方程。
微分方程求解
时域分析法
变换域法（LT法）
全响应= 齐次解 + 特解 （自由响应）（强迫响应）
全响应= 零输入响应+零状态响应
r (t ) 0 u(t )
r (0 ) r (0 )
d2 d 代入 2 r (t ) 3 r (t ) 2r (t ) (t ) u (t ) dt dt
[a (t ) bu(t )] 3au(t ) (t ) u(t )
a 1 b 3a 1
2
p 1 i1 (t ) 2 i (t ) p 2 p 1 p 1 H ( p) 2 p 2 p 1
1 p 1
1. 算子符号的运算规则
（1） 算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。
例：
2 p 5 p 6 f (t) p 2 p 3 f (t)
（2） 等式两端的公共因子不能随意消去。
例：
pf1 (t ) pf 2 (t )
不等价于
f1 (t ) f2 (t )
1 1 （ 3） p f (t ) pf (t ) p p 1 d t p f (t ) f ( ) d f (t ) p dt
2. 用微分方程描述的系统——冲激函数匹配法
当系统用微分方程表示时，系统的0-到0+的状态有没有 跳变取决于微分方程右端有无冲激函数 (t )及其各阶导数项。
P48 例2-5：如右图所示电路， t<0开关S处于1的位置且电路 已经达到稳态；当t=0转向2。 建立i(t)的微分方程，并求i(t) 在 时的变化。 t 0 解：（1）列写微分方程
2 p-
( p 2 2 p 1)i1 (t ) i2 (t ) pe(t ) 2 i1 (t ) (2 p p 1)i2 (t ) 0
p i2 (t ) e(t ) 3 2 p(2 p 5 p 5 p 3) 1 e(t ) 3 2 2p 5p 5p 3
方程阶数等于电路阶数（独立储能元件的个数）。
（二）微分方程的算子表示法 参考P69§2.8节
d 微分算子 p dt
d n r (t ) d n1r (t ) C0 C1 n n 1 dt dt
t 1 积分算子 ( )d p
d m e(t ) d m1e(t ) Cn r (t ) E0 E1 m m 1 dt dt
特征根
单根 二重根
对应的齐次解部分项
Aet
( A1t A2 )e t
2 3 例：对特征根 1 2（二重根），
2t 2t 3t 齐次解 yh (t ) Ate A e A e 1 2 3
2、特
解：根据激励函数式形式，设含待定系数的特解函数 式→代入原方程，比较系数定出特解。
Em e(t )
C p
0
n
C1 pn1
Cn1 p Cn r (t ) E0 p m E1 p m1
Em e(t )
D( p)r (t ) N ( p)e(t )
N ( p) r (t ) e(t ) H ( p)e(t ) D( p)
∴
a 1 b 3
冲激函数 匹配法
r (0 ) r (0 ) a 2 1 3 r (0 ) r (0 ) 1
（4）由
0 状态确定待定系数
r (t ) A1e t A2 e 2t 0.5e 3t
A1 5.5 A2 5
特征方程的根称为系统的固有频率，它决定了系统自由响应
的全部形式； （3）特解称为系统的强迫响应，它只与激励函数的形式有关。
（二）起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
1. 实际电路
vC (0 ) vC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
条件：没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于C； 没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于L。
（3）确定换路后的 i(0 ), i(0 )
◆方法一：由电路原理图求
8 , (t 0 ) 5
§2.3
微分方程的经典解法 r (t ) rh (t ) rp (t )
d2 d d r (t ) 3 r (t ) 2r (t ) e(t ) 4e(t ) 2 dt dt dt
例：系统微分方程、 起始状态及激励信号如下：
e(t ) e 3t u (t ) ，求完全响应。 r (0 ) 1 、r (0 ) 2 、
C
Cp
广义阻抗
vR (t ) RiR (t )
例1：i(t ) i1 (t )
i(t )
p
1Ω 1F 1H
i1 (t )
1 1Ω p
i1 (t ) i (t ) p p 11 1 p p 1 2 i (t ) p 2 p 1
1 p 1 p
例2：P81习题2-1（a） e(t ) vo (t )
t d 1 f ( ) d f (t ) f () pf (t ) d p
1 p f (t ) f (t ) p
2. 借助算子符号建立微分方程
diL (t ) vL (t ) L Lp iL (t ) dt 1 t 1 iC (t ) vC (t ) iC ( )d
e(t ) p2 6 p 4 i (t ) 2 e(t ) 1 1 3 1 p 7 p 10 ( p ) ( Lp R2 ) p 4 2 Cp 1 R1 1 1 3 1 p Lp R2 p 4 2 Cp
e(t )
d2 d d2 d i (t ) 7 i (t ) 10i (t ) 2 e(t ) 6 e(t ) 4e(t ) 2 dt dt dt dt
§2.6 §2.7
单位冲激响应 h(t ) 的求解
卷积 卷积的性质
§2.1 引言
线性时不变连续时间系统的激励 e(t) 与响应 r(t) 之间的关 系，可用以下线性常系数微分方程描述。
d n r (t ) d n1r (t ) C0 C1 n n 1 dt dt
dr (t ) Cn1 Cn r (t ) dt
传输算子是系统数学模 型的另一种形式。
N ( p) H ( p) 称为系统的传输算子 D( p)
例：
d 2i1 (t ) di1 (t ) di (t ) 2 i1 (t ) i (t ) 2 dt dt dt
( p 2 p 1)i1 (t ) ( p 1)i(t )
激励函数e(t)
特解rp (t )
E (常数)
B(常数)
B1t B2
t
（ 不是系统的特征根）
e
t
Be t
( B1t B2 )e t
（ 是系统的特征根（非重根））
e t
3、全
解=齐次解+特解，由 0 状态定出齐次解系数。
r (t ) rh (t ) rp (t )
（1）系统的完全响应=自由响应+强迫响应； （2）微分方程的齐次解称为系统的自由响应，它由系统本身的特 性决定；
第二章
§2.1
§2.2 §2.3
连续时间系统的时域分析
引言
微分方程的建立与算子表示法 微分方程的经典解法 r (t ) rh (t ) rp (t )
难点：起始点的跳变(从0-到0+状态的转换)
§2.4
零输入响应与零状态响应 r (t ) r (t ) r (t ) zi zs
§2.5
di L (t ) vL (t ) L dt
v R (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
1 t iL (t ) vL ( )d L
2. 电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）
例：右图所示电路，激励为电流源 i(t ) ，
响应取 i1 (t )，列写微分方程。
p
R1 2Ω
L1
R2 1Ω +
1H i1(t)
1 1 ( p 2 p )i1 (t ) p i2 (t ) e(t ) 1 i (t ) (2 p 1 1 )i (t ) 0 1 2 p p
C
1F
+
e( t )
-
1 p
i2(t)
L2 2H
vo(t)
（1）求齐次解 rh (t )
2 特征方程 3 2 0
特征根
2t
1
2 2 1 、
∴ 齐次解 rh (t ) A 1e A 2e
（2）求特解
t
rp (t )
3 t
e (t ) e 在响应求解区间 t >0 内，
设 rp (t ) Be
3t
（卷积积分法）
§2.2
微分方程的建立与算子表示法
（一）微分方程的建立
1. R、L、C 元件端口电压与流经电流的约束关系
iR (t )
R
vR (t )
பைடு நூலகம்
iC (t )
C
vC (t )
iL (t )
L
vL (t )
vR (t ) RiR (t )
1 t vC (t ) iC ( )d C
2p vo (t ) 2 pi2 (t ) 3 e(t ) 2 2p 5p 5p 3
d3 d2 d d 2 3 vo (t ) 5 2 vo (t ) 5 vo (t ) 3vo (t ) 2 e(t ) dt dt dt dt
总结：
（1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法； （2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。
（2）求系统的完全响应
齐次解：
特征方程 特征根 齐次解
2 7 10 0
1 -2, 2 -5
ih (t ) A1e2t A2 e 5t
特解： 设 iP (t ) B ，将其代入微分方程，得
10B 16 B 8 5
系统的全响应为：i (t ) A1e 2t A2 e 5t
i(t )
1Ω 1F
i2 (t )
1H 1Ω
i1 (t )
解：
i1 (t ) i2 (t ) i(t )
di1 (t ) i2 (t ) i2 ( )d i1 (t ) dt
t
消去中间变量
2
i2 (t ) ，得
d i1 (t ) di1 (t ) di (t ) 2 i1 (t ) i (t ) 2 dt dt dt
9Be3t 9Be3t 2Be3t e3t
3t r ( t ) 0.5 e p
完全解
（3）从
r (t ) rh (t ) rp (t ) A1et A2e2t 0.5e3t
3t
0到 0 状态的转换
u (t ) 代入方程右端，得 d e(t ) 4e(t ) (t ) e 3t u (t ) 自由项 dt
r (0 ) A1 A2 0.5 1 r (0 ) A1 2 A2 1.5 3
全响应
r (t ) 5.5e t 5e 2t 0.5e 3t
, t 0
（一）经典法求解微分方程步骤：
1、齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解的形式。
将 e(t ) e
则在 0
t 0 内，
d2 d r (t ) 3 r (t ) 2r (t ) (t ) u (t ) 2 dt dt
设 则
d2 r (t ) a (t ) bu (t ) 2 dt d r (t ) au(t ) r (0 ) r (0 ) a dt
d m e(t ) d m1e(t ) E0 E1 m m 1 dt dt
de(t ) Em1 Em e(t ) dt
系统分析的任务就是求解这个n 阶非齐次线性常微分方程。
微分方程求解
时域分析法
变换域法（LT法）
全响应= 齐次解 + 特解 （自由响应）（强迫响应）
全响应= 零输入响应+零状态响应
r (t ) 0 u(t )
r (0 ) r (0 )
d2 d 代入 2 r (t ) 3 r (t ) 2r (t ) (t ) u (t ) dt dt
[a (t ) bu(t )] 3au(t ) (t ) u(t )
a 1 b 3a 1
2
p 1 i1 (t ) 2 i (t ) p 2 p 1 p 1 H ( p) 2 p 2 p 1
1 p 1
1. 算子符号的运算规则
（1） 算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。
例：
2 p 5 p 6 f (t) p 2 p 3 f (t)
（2） 等式两端的公共因子不能随意消去。
例：
pf1 (t ) pf 2 (t )
不等价于
f1 (t ) f2 (t )
1 1 （ 3） p f (t ) pf (t ) p p 1 d t p f (t ) f ( ) d f (t ) p dt
2. 用微分方程描述的系统——冲激函数匹配法
当系统用微分方程表示时，系统的0-到0+的状态有没有 跳变取决于微分方程右端有无冲激函数 (t )及其各阶导数项。
P48 例2-5：如右图所示电路， t<0开关S处于1的位置且电路 已经达到稳态；当t=0转向2。 建立i(t)的微分方程，并求i(t) 在 时的变化。 t 0 解：（1）列写微分方程
2 p-
( p 2 2 p 1)i1 (t ) i2 (t ) pe(t ) 2 i1 (t ) (2 p p 1)i2 (t ) 0
p i2 (t ) e(t ) 3 2 p(2 p 5 p 5 p 3) 1 e(t ) 3 2 2p 5p 5p 3
方程阶数等于电路阶数（独立储能元件的个数）。
（二）微分方程的算子表示法 参考P69§2.8节
d 微分算子 p dt
d n r (t ) d n1r (t ) C0 C1 n n 1 dt dt
t 1 积分算子 ( )d p
d m e(t ) d m1e(t ) Cn r (t ) E0 E1 m m 1 dt dt
特征根
单根 二重根
对应的齐次解部分项
Aet
( A1t A2 )e t
2 3 例：对特征根 1 2（二重根），
2t 2t 3t 齐次解 yh (t ) Ate A e A e 1 2 3
2、特
解：根据激励函数式形式，设含待定系数的特解函数 式→代入原方程，比较系数定出特解。
Em e(t )
C p
0
n
C1 pn1
Cn1 p Cn r (t ) E0 p m E1 p m1
Em e(t )
D( p)r (t ) N ( p)e(t )
N ( p) r (t ) e(t ) H ( p)e(t ) D( p)
∴
a 1 b 3
冲激函数 匹配法
r (0 ) r (0 ) a 2 1 3 r (0 ) r (0 ) 1
（4）由
0 状态确定待定系数
r (t ) A1e t A2 e 2t 0.5e 3t
A1 5.5 A2 5
特征方程的根称为系统的固有频率，它决定了系统自由响应
的全部形式； （3）特解称为系统的强迫响应，它只与激励函数的形式有关。
（二）起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
1. 实际电路
vC (0 ) vC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
条件：没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于C； 没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于L。
（3）确定换路后的 i(0 ), i(0 )
◆方法一：由电路原理图求
8 , (t 0 ) 5
§2.3
微分方程的经典解法 r (t ) rh (t ) rp (t )
d2 d d r (t ) 3 r (t ) 2r (t ) e(t ) 4e(t ) 2 dt dt dt
例：系统微分方程、 起始状态及激励信号如下：
e(t ) e 3t u (t ) ，求完全响应。 r (0 ) 1 、r (0 ) 2 、
C
Cp
广义阻抗
vR (t ) RiR (t )
例1：i(t ) i1 (t )
i(t )
p
1Ω 1F 1H
i1 (t )
1 1Ω p
i1 (t ) i (t ) p p 11 1 p p 1 2 i (t ) p 2 p 1
1 p 1 p
例2：P81习题2-1（a） e(t ) vo (t )
t d 1 f ( ) d f (t ) f () pf (t ) d p
1 p f (t ) f (t ) p
2. 借助算子符号建立微分方程
diL (t ) vL (t ) L Lp iL (t ) dt 1 t 1 iC (t ) vC (t ) iC ( )d
e(t ) p2 6 p 4 i (t ) 2 e(t ) 1 1 3 1 p 7 p 10 ( p ) ( Lp R2 ) p 4 2 Cp 1 R1 1 1 3 1 p Lp R2 p 4 2 Cp
e(t )
d2 d d2 d i (t ) 7 i (t ) 10i (t ) 2 e(t ) 6 e(t ) 4e(t ) 2 dt dt dt dt
§2.6 §2.7
单位冲激响应 h(t ) 的求解
卷积 卷积的性质
§2.1 引言
线性时不变连续时间系统的激励 e(t) 与响应 r(t) 之间的关 系，可用以下线性常系数微分方程描述。
d n r (t ) d n1r (t ) C0 C1 n n 1 dt dt
dr (t ) Cn1 Cn r (t ) dt
传输算子是系统数学模 型的另一种形式。
N ( p) H ( p) 称为系统的传输算子 D( p)
例：
d 2i1 (t ) di1 (t ) di (t ) 2 i1 (t ) i (t ) 2 dt dt dt
( p 2 p 1)i1 (t ) ( p 1)i(t )
激励函数e(t)
特解rp (t )
E (常数)
B(常数)
B1t B2
t
（ 不是系统的特征根）
e
t
Be t
( B1t B2 )e t
（ 是系统的特征根（非重根））
e t
3、全
解=齐次解+特解，由 0 状态定出齐次解系数。
r (t ) rh (t ) rp (t )
（1）系统的完全响应=自由响应+强迫响应； （2）微分方程的齐次解称为系统的自由响应，它由系统本身的特 性决定；
第二章
§2.1
§2.2 §2.3
连续时间系统的时域分析
引言
微分方程的建立与算子表示法 微分方程的经典解法 r (t ) rh (t ) rp (t )
难点：起始点的跳变(从0-到0+状态的转换)
§2.4
零输入响应与零状态响应 r (t ) r (t ) r (t ) zi zs
§2.5
di L (t ) vL (t ) L dt
v R (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
1 t iL (t ) vL ( )d L
2. 电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）
例：右图所示电路，激励为电流源 i(t ) ，
响应取 i1 (t )，列写微分方程。
p
R1 2Ω
L1
R2 1Ω +
1H i1(t)
1 1 ( p 2 p )i1 (t ) p i2 (t ) e(t ) 1 i (t ) (2 p 1 1 )i (t ) 0 1 2 p p
C
1F
+
e( t )
-
1 p
i2(t)
L2 2H
vo(t)
（1）求齐次解 rh (t )
2 特征方程 3 2 0
特征根
2t
1
2 2 1 、
∴ 齐次解 rh (t ) A 1e A 2e
（2）求特解
t
rp (t )
3 t
e (t ) e 在响应求解区间 t >0 内，
设 rp (t ) Be
3t
（卷积积分法）
§2.2
微分方程的建立与算子表示法
（一）微分方程的建立
1. R、L、C 元件端口电压与流经电流的约束关系
iR (t )
R
vR (t )
பைடு நூலகம்
iC (t )
C
vC (t )
iL (t )
L
vL (t )
vR (t ) RiR (t )
1 t vC (t ) iC ( )d C