3.3幂函数 讲义(知识点+考点+练习)-2021-2022学年人教A版(2019)高一数学必修第一

3.3 幂函数
一、幂函数
（power function ）：函数y x α= （x 是自变量，α是常数）
二、幂函数的性质
对于幂函数，我们只研究 1
1,2,3,,12
α=- 时的图象与性质.
12
3
2
,
,
,y x y x y x y x ==== 和 1y x -=
共同性质：图像都过点（1,1）
不同性质：α为奇数时幂函数为奇函数；α为偶数时幂函数为偶函数。

课后练习
1. （2021·安阳模拟）已知幂函数 f(x)=x α 满足 2f(2)=f(16) ，若 a =
f(log 42) ， b =f(ln2) ， c =f(5−1
2) ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
A. a >c >b
B. a >b >c
C. b >a >c
D. b >c >a
2. （2019高一上·盘山期中）已知函数 f(x)=(m 2−m −1)x m 为幂函数且
为偶函数，则 m = （ ）
A. 3
B. 2
C. −1
D. −2
3. 若幂函数y =(m 2+3m +3)x m
2+2m−3
的图像不过原点,且关于原点对称,则
m 的取值是( )
A. m =−2
B. m =−1
C. m =−2或m =−1
D. −3≤m ≤−1
4. （2017高一上·乌鲁木齐期中）幂函数 y =f(x) 的图象经过点
(−2,−1
8) ，则满足 f(x)=27 的 x 的值是（ ） A. 1
3 B. −1
3
C. 3
D. −3
5.（2020高一上·宝安期末）幂函数f(x)=x m2−5m+4(m∈Z)为偶函数且在
区间(0,+∞)上单调递减，则m=，f(1
2
)= .
6.（2020高一上·江西月考）已知幂函数y=x a，当x=2时，y=8，
那么a的值为
7.（2018高二下·无锡月考）已知幂函数f(x)的图像过点( 1
2，√2
2
)，则
f(4)＝．
8.（2020高一上·上海月考）幂函数f(x)=x a的图像经过点(2,1
2
)，则f(3)= .
9.（2020高一上·晋州月考）已知幂函数f(x)的图象经过点A(4,2)．（1）求f(x)的解析式；
（2）若f(3a−2)>f(a2−6)，求a的取值范围．
10.（2019高一上·海林期中）已知幂函数y=f(x)的图象过点(√2,4). 求
（1）f(x)解析式；
（2）f(3)的值.
11.（2020高一上·清远期末）已知幂函数y=f(x)的图象经过点P(5,25). （1）求f(x)的解析式；
在区间(2,+∞)上单调递增
（2）用定义法证明函数g(x)=f(x)+4
x
练习答案
1.【答案】C
【考点】对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点，幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】由2f(2)=f(16)可得2⋅2α=24α，∴1+α=4α，
∴α=1
3
，即f(x)=x13.由此可知函数f(x)在R上单调递增.
而由换底公式可得log42=log22
log24=1
2
，ln2=log22
log2e
，5−12=1
√5
，
∵1<log2e<2，∴log22
log24<log22
log2e
，于是log42<ln2，
又∵1
√5<1
2
，∴5−12<log
4
2，故a，b，c的大小关系是b>a>c.
故答案为：C.
【分析】根据题意求出幂函数f(x)的解析式，判断f(x)是定义域上的单调增函数，再比较出a、b、c的大小，即可得出结论.
2.【答案】B
【考点】偶函数，幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】由题意，函数f(x)=(m2−m−1)x m为幂函数，可得m2−m−1=1，即m2−m−2=0，
解得m=−1或m=2，
当m=−1时，函数f(x)=x−1=1
x ，此时f(−x)=−1
x
=−f(x)，函数
f(x)为奇函数，不符合题意，舍去；
当m=2时，函数f(x)=x2，此时f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，函数f(x)为偶函数，
综上，可得m=2.
故答案为：B.
【分析】由函数f(x)=(m2−m−1)x m为幂函数，求得m=−1或m= 2，分别验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案.
3.【答案】A
【考点】幂函数图象及其与指数的关系，幂函数的性质
【解析】因为幂函数图像不过原点，故
当时，则，显然过原点，不符合题意舍去。

当，图像不过原点,且关于原点对称,故符合题意，选A.
【分析】解决该试题的关键是准确运用幂函数的定义，保证x的系数为1，得到m的值，进而分类讨论得到参数m的值。

4.【答案】A
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】设幂函数y=x a
)
∵函数的图象经过点(−2,−1
8
=(−2)a
∴−1
8
∴a=−3
∴幂函数的解析式为y=x−3
∵f(x)=27
∴x−3=27
∴x=1
3
故答案为：A
【分析】根据幂函数上的一点可得出f(x)的具体公式，再代入函数值，就可解出自变量。

5.【答案】m=2或3；4
【考点】函数奇偶性的性质，函数的值，幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的图象
【解析】∵f(x)区间(0,+∞)上单调递减，∴m2−5m+4<0⇒1<m< 4，
∵m∈Z⇒m=2或3，
当m=2或3时，都有m2−5m+4=−2，
)=4.
∴f(x)=x−2，∴f(1
2
故答案为：m=2或3; 4.
【分析】根据题意由幂函数的解析式以及函数的单调性，即可求出关于m的不等式求解出m的取值范围，由此计算出m的取值，代入验证由此得到函数的解析式，再把数值代入计算出函数的值即可。

6.【答案】3
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】因为幂函数y=x a，当x=2时，y=8，所以8=2a，即
a=3，
故答案为：3.
【分析】根据题意把数值代入幂函数的解析式计算
出a 的值即可。

7.【答案】 2
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设幂函数 y =f(x)=x a ， (a ∈R)
∵ 图像过点 (12
，√2
2
) ，
∴
(12)a
=
√22
，解得 a =1
2
∴f(x)=x 12f(4)=41
2=2
【分析】采用待定系数法，设出幂函数的表达式，将点的坐标代入，即可求出幂函数的表达式，将x=4代入即可. 8.【答案】 1
3
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】幂函数 f(x)=x a 的图像经过点 (2,1
2) 代入可得 1
2=2a 解得 a =−1
所以幂函数解析式为 f(x)=x −1 则 f(3)=3−1=1
3 故答案为: 1
3
【分析】根据幂函数所过的点，代入可求得幂函数解析式，即可求得 f(3) 的值。

9.【答案】 （1）解：设 f(x)=x a ．因为 f(x) 的图象经过点 A(4,2) ，所以 f(4)=4a =2 ，解得 a =1
2 . 故 f(x)=x 1
2=√x
（2）解：由（1）可知 f(x) 是定义域为 [0,+∞) 的增函数．
因为f(3a−2)>f(a2−6)，所以{a 2−6≥0
a2−6<3a−2
，解得√6≤a<4. 故a的取值范围为[√6,4)
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的图象，幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】（1）利用幂函数f(x)的图象经过点A(4,2)结合代入法，从而求出函数的解析式。

（2）利用已知条件f(3a−2)>f(a2−6)结合增函数的定义，从而判断函数为增函数，再利用函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。

10.【答案】（1）解：设幂函数y=f(x)=x n,因为该函数图像经过点(√2,4),所以f(√2)=√2n=4,解得n=4,则函数解析式为f(x)=x4;
（2）解：由(1)得函数解析式f(x)=x4,所以f(3)=34=81.
【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数的值，幂函数的图象
【解析】(1)设幂函数y=f(x)=x n,由函数过定点代入可求得参数n,进而求得函数解析式;(2)利用(1)中求的函数解析式,令x=3,即可求得f(3). 11.【答案】（1）解：设f(x)=xα，则5α=25，得α=2，
所以f(x)=x2
（2）证明：由（1）可得g(x)=x+4
x
，
任取x1,x2∈(2,+∞)，且x1<x2，则
g(x1)−g(x2)=x1+4
x1−x2−4
x2
=(x1−x2)+4(x2−x1)
x1x2
=(x1−x2)⋅x1x2−4
x1x2
，
因为2<x1<x2，所以x1−x2<0，x1x2>0，x1x2−4>0，
所以g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)，
在区间(2,+∞)上单调递增.
所以函数g(x)=f(x)+4
x
【考点】函数单调性的判断与证明，幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】(1)根据题意把点的坐标代入到函数的解析式，计算出α=2从而得到函数的解析式。

(2)由(1)即可求出函数g(x)的解析式，再由函数单调性的定义即可得证出结论。