2022届衡水市高二下数学期末学业水平测试试题含解析

2022届衡水市高二下数学期末学业水平测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知离散型随机变量X 服从二项分布()~6,X B p ，且()1E X =，则()D X = （ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
56
【答案】D 【解析】 【分析】
利用二项分布期望公式()6E X p =求出p ，再由方差公式()()61D X p p =-可计算出答案。

【详解】
由于离散型随机变量X 服从二项分布()~6,X B p ，则()61E X p ==，所以，1
6
p =， 因此，()()155
616666
D X p p =-=⨯⨯=，故选：D 。

【点睛】
本题考查二项分布期望与方差公式的应用，灵活运用二项分布的期望和方差公式是解本题的关键，意在考查学生对这些知识的理解和掌握情况，属于中等题。

2．4名老师、2位家长以及1个学生站在一排合影，要求2位家长不能站在一起，学生必须和4名老师中的王老师站在一起，则共有（ ）种不同的站法． A ．1920 B ．960 C ．1440 D ．720
【答案】B 【解析】 【分析】
先将学生和王老师捆绑成一个团队，再将团队与另外3个老师进行排列，最后将两位家长插入排好的队中即可得出． 【详解】
完成此事分三步进行：（1）学生和王老师捆绑成一个团队，有2
22A =种站法；（2）将团队与另外3个老师进行排列，有4424A =种站法；（3）将两位家长插入排好的队中，有2520A =种站法，根据分步计数原
理，所以有22420960⨯⨯=种不同的站法，故选B ． 【点睛】
本题主要考查分步乘法计数原理、捆绑法以及插空法的应用． 3．下列函数中，在定义域内单调的是（ ）
A ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．2y x
=
C ．2y
x D ．1y x x
=+
【答案】A 【解析】 【分析】
指数函数01a <<是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案. 【详解】
A. 12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，指数函数x y a = 01a <<是单调递减函数,正确\ B. 2
y x
=反比例函数，在0x >单调递减，在0x <单调递减，但在0x ≠上不单调，错误 C. 2y
x ，在定义域内先减后增，错误
D. 1
y x x
=+
，双勾函数，0x >时先减后增，错误 故答案选A 【点睛】
本题考查了函数的单调性，属于简单题.
4． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A ．2
B ．3
C ．10
D ．15
【答案】C 【解析】 【分析】
根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】
设阴影部分的面积是s ，由题意得
，选C.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
5．从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件A ：取到两数之和为偶数，事件B ：取到两数均为偶数，则()|P B A =（） A ．15
B ．
14
C ．
13
D ．
12
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件概率公式可得解. 【详解】
事件A 分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，
所以()22332
625C C P A C +==，23261
()5
C P AB C ==， 由条件概率可得：()()1
|()2
P AB P B A P A ==， 故选D. 【点睛】
本题考查条件概率，属于基础题. 6．若22,
3
P π⎛⎫ ⎪⎝
⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,
,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
---- ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
分别将各点化为直角坐标即可判断 【详解】 P （2，
23π
）化直角坐标为222cos
1,2sin 33
x y ππ
==-==
(- 同理8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
--
-- ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
化直角坐标分别为(
(
(
(;;;Q R M N ---
则与点P 重合的点有3个．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．若直线y ax b =+与曲线()ln 1f x x =-相切，则b
a
的最小值为（ ） A ．21e
-
B ．2e -
C ．e -
D ．1
e
-
【答案】C 【解析】
分析：由直线与曲线相切，可以表示出a b ，的值，然后用导数求出b
a
的最小值 详解：由题意可得，设切点坐标为()001x lnx -，
() 1f x lnx =-，()1f x x
'=，则01a x = 00 1ax b lnx +=- 02b lnx ∴=-
则
0002b
x lnx x a
=-，令()2g x xlnx x =- ()1210g x lnx lnx =+-=-='，x e = ()0x e ∈，时，()0g x '<，()g x 递减
)x e ⎡∈+∞⎣，
时，()0g x '>，()g x 递增 ()()2min g x g e e e e ∴==-=-
b
a
∴的最小值为e - 故选C
点睛：本题主要考查了运用导数的几何意义来求相切情况，在解答多元问题时，要将其转化为单元问题，本题在求解中转化为关于变量0x 的最值，利用导数即可求出最小值。

8．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案. 详解：设()sin ln f x x x =+，
当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x
=+⇒=+
'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；
因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.
点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
9．如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：
x
3 4 5 6 y
2.5
3
m
4.5
若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ） A ．4 B ．4.5
C ．3
D ．3.5
【答案】A 【解析】 由题意可得11
(3+4+5+6)=4.5,(2.53 4.5)0.25 2.544
x y m m =
=+++=+，故样本中心为(4.5,0.25 2.5)m +。

因为回归直线过样本中心，所以0.25 2.50.7 4.5m +=⨯
0.35+，解得4m =。

选A 。

10．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人
B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D ．在数列{}n a 中，111111,2n n n a a a a --⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
，可得231,1a a ==，由此归纳出{}n a 的通项公式1n a =
【答案】C 【解析】 【分析】
推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理（一般→特殊），其中合情推理包含类比推理与归纳推理，利用各概念进行判断可得正确答案. 【详解】
解：∵A 中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；
B 中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；
C 为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；
D 为不完全归纳推理，属于合情推理． 故选：C ． 【点睛】
本题考查推理中的合情推理与演绎推理，注意理解其概念作出正确判断.
11．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）
（参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，
(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.）
A ．17
B ．23
C ．34
D ．46
【答案】B 【解析】
分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数. 详解：由题得=300=10μσ，，
所以300-2030020)(280320)0.9545P
P （ξξ≤≤+=≤≤=， 所以10.9545
(320)0.0232
P x ->=
≈， 所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.故答案为B.
点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方
法.(2)对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.
12．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80
【答案】C 【解析】
分析：写出10315
2r
r r r T C x -+=，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315522r
r
r
r r r
r T C x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
令103r 4-=,则r 2= 所以22552240r
r C C =⨯=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

二、填空题：本题共4小题
13．若4
2x ⎛+ ⎝
⎭的展开式中常数项为96，则实数a 等于__________． 【答案】4 【解析】
4
2x ⎛+ ⎝⎭的展开式的通项是()444221442?2?r
r r r r r r r T C x a C x ---+==⎝⎭ ，令420,2r r -== ，4
2x ⎛+ ⎝⎭
的展开式中常数项为242224·2?=96a C -，可得4,a = 故答案为4 . 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的
通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二
项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
14．已知a R ∈，直线1l ：22x y a +=+和直线2l ：221x y a -=-分别与圆E ：22()(1)4x a y -+-=相交于A 、C 和B 、D ，则四边形ABCD 的面积为__________． 【答案】8 【解析】
由题意，直线l 1：x+2y=a+2和直线l 2：2x ﹣y=2a ﹣1，交于圆心（a ，1），且互相垂直， ∴四边形ABCD 是正方形，
∴四边形ABCD的面积为4×1
4 2
⨯=
8，
故答案为：8.
15．已知线段AB长为3，A、B两点到平面α的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面α所成角的大小为________.
【答案】
1
3
arcsin或
2
π
【解析】
【分析】
根据A、B两点与平面α的位置分类讨论，再解三角形求线面角.
【详解】
A,B两点在平面α同侧时，如图：1,2,3,
AC BD AB BOD
===∠为AB所在直线与平面α所成角,因为
11
//3,sin arcsin
33
AC
AC BD AB AO BOD BOD
AO
∴==∴∠==∴∠=
A,B两点在平面α异侧时，ABα
⊥，所以AB所在直线与平面α所成角为
2
π
故答案为：
1
3
arcsin或
2
π
【点睛】
本题考查线面角以及直线与平面位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
16．若函数()()
2
2
2,2
log,2
x x
f x
x a x
-
⎧≤
⎪
=⎨
+>
⎪⎩
的最小值为()2
f，则实数a的取值范围为______.
【答案】[)
0,+∞
【解析】
【分析】
分析函数()
y f x
=的单调性，由题设条件得出()()
2
log22
a f
+≥，于此求出实数a的取值范围。

【详解】
当2
x≤时，()22
22
x x
f x--
==，此时，函数()
y f x
=单调递减，则()()21
f x f
≥=；
当2
x>时，()()
2
log a
f x x
=+，此时，函数()
y f x
=单调递增。

由于函数()y f x =的最小值为()2f ，则()()2log 221a f +≥=，得22a +≥，解得0a ≥. 因此，实数a 的取值范围是[)0,+∞，故答案为：[)0,+∞。

【点睛】
本题考查分段函数的最值问题，求解时要分析函数的单调性，还要注意分界点处函数值的大小关系，找出一些关键的点进行分析，考查分析问题，属于中等题。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()3f x x x a =+--.
（1）当2a =时，求不等式()21f x x >-的解集；
（2）若不等式()4f x <对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(),3-∞；（2）71a -<<. 【解析】 【分析】
(1)当2a =时，讨论x 取值范围去绝对值符号，计算不等式.
(2)利用绝对值不等式求函数最大值为3a + ，计算34a +<得到答案. 【详解】
解：（1）当2a =时不等式即为3221x x x +-->- ①当3x <-时不等式可化为521x ->-得2x <-故3x <- ②当32x -≤<时不等式可化为2121x x +>-恒成立故32x -≤< ③当2x ≥时不等式可化为2-60x <得3x <故23x ≤< 综合得，不等式的解集为-3∞（，）
（2）()()333x x a x x a a +--≤+--=+所以()34f x a =+<最大值得71a -<<为所求 【点睛】
本题考查了绝对值不等式，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键. 18．已知函数()22 f x x b x b =++-. (1)若1b =,解不等式()4f x >;
(2)若不等式()1f a b >+对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围. 【答案】（1）()(),11,-∞-+∞；
（2）()1,1,3
⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭
【解析】
分析：第一问先将1b =代入解析式，之后应用零点分段法将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后
取并集即可得结果；第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理，应用绝对值的性质，将不等式的左边求得其最小值，之后将其转化为关于b 的绝对值不等式，利用平方法求得结果. 详解：（1）
所以解集为：.
(2)
所以的取值范围为：.
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的求解问题，在解题的过程中，需要用到零点分段法求绝对值不等式的解集，再者对于恒成立问题可以向最值来转化，而求最值时需要用到绝对值不等式的性质，之后应用平方法求解即可得结果.
19．以椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的中心O 22a b +设椭圆C 的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且满足2AB =，6
OAB OFB S =△△. （1）求椭圆C 及其“准圆"的方程； （2）若过点(
22
P a b +的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，当0OM ON ⋅=时，试求直线l 交“准
圆”所得的弦长；
（3）射线()30y x x =≥与椭圆C 的“准圆”交于点P ，若过点P 的直线1l ，2l 与椭圆C 都只有一个公共点，且与椭圆C 的“准圆”分别交于R ，T 两点，试问弦RT 是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.
【答案】（1）2
2
4x y +=；（213（3）RT 是准圆的直径，具体见解析 【解析】 【分析】
（1）根据所给条件可知，224a b +=，根据面积公式可知16122
ab bc = ，最后解方程组求解椭圆方程；
（2）设直线为2y kx =+，与椭圆方程联立，()22
311290k x kx +++=，表示根与系数的关系，并且代入0OM ON ⋅=的数量积的坐标表示，求k
，最后代入直线和圆相交的弦长公式l = （3）首先求点P 的坐标，当直线与椭圆有一个交点时，0∆=，
得到210k +-=，可知121k k =- ，可知两条切线互相垂直，根据圆的性质可得答案.
【详解】 （1
）22222
412
22a b ab bc a b c ⎧+=⎪⎪=⋅⎨⎪=+⎪⎩
， ∴23a =，1b =
，c =∴2213
x y +=， 准圆22
4x y +=.
（2）()0,2P ，设l ：2y kx -= 22213
y kx x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴()
22311290k x kx +++=， 1221231k x x k +=-+ ，122931
x x k =+ 1212OM ON x x y y ⋅=+=()212121224x x k x x k x x ++++
()()212121240k x x k x x =++++=
()
22
229124403131
k k k k +=-+=++ ， 22313031
k k -+==+ ， 即23130k -+=
∴k =±
∴2y x =+，圆心()0,0
与该直线距离2d ===， ∴
弦长l ===（3
）2214x y x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩
(P
()22133y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
， 整理为：(
)(
)()
2222136360k x k x k +--+-+= 因为直线与圆只有1个交点，
∴()(
)()
22226413360k k k ∆=--+-+= 整理为：
210k +-=
∴121k k =-
∴椭圆切线PR 与PT 垂直，即PR PT ⊥，
P 在准圆上，R ，T 也在准圆上，
∴90RPT ∠=︒，∴RT 是准圆的直径
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
20．已知0a >，0b >，c R ∈.
（1）用分析法证明：
252323a b a b
≤++； （2）用反证法证明：614c c ++与3212c c ++不能同时为负数. 【答案】 (1)见解析(2)见解析
【解析】
分析：（1）利用分析法，原命题等价于证明()2
60a b -≥，则题中的结论成立. （2）假设614c c ++与3212c c ++同时为负数，而22
6323311104224
c c c c c c ⎛⎫⎛⎫++++=++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与假设矛盾，则题中的结论成立.
详解：（1）因为0a >，0b >，要证：
252323a b a b
≤++， 只需证：()()252332ab a b a b ≤++，
只需证：22256613ab a b ab ≤++， 即证：2266120a b ab +-≥，即证：()2
60a b -≥， 显然上式恒成立，故
252323a b a b
≤++. （2）设614c c ++与3212c c ++同时为负数，则632304c c c c ++++<（1）， 所以632
633144c c c c c c ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭ 222311111044224c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 与（1）式矛盾，所以假设不成立，所以614c c ++与3212
c c ++不能同时为负数. 点睛：本题主要考查分析法、反证法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和逻辑思维能力. 21．已知数列{}n a 中，11a =，136n n n
a a a +=-. （1）写出234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.
【答案】（1）235a =，313a =，4317a =，猜想321n n a =+（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）依递推公式计算234,,a a a ，并把各分子都化为3，可归纳出n a ；
（2）用数学归纳法证明即可．
【详解】
解：（1）11a =，136n n n a a a +=
-，∴235a =，33193a ==，4317a =， 猜想321
n n a =+ （2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，由13121
a ==+知猜想成立； ②假设()*n k k N =∈时，猜想成立，即321
k k a =+ 则()()119
3933213621
62132211621
k k k k k k k k a a a +++=====-++-+--+
∴1n k =+时，猜想成立，
根据①②可知，猜想对一切正整数n 都成立.
【点睛】
本题考查归纳推理，考查数学归纳法，属于基础题．在用数学归纳法证明时，在证明1n k =+时的命题时一定要用到n k =时的归纳假设，否则不是数学归纳法．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为1,1,
x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），过原点的两条直线12,l l 分别与曲线C 交于异于原点的P 、Q 两点，且90POQ ∠=,其中1l 的倾斜角为[0,
)4παα∈，.以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求C 和1l 的极坐标方程；
（2）求OP OQ +的最大值.
【答案】（1）=2cos +2sin ρθθ，=()R θαρ∈；（2）4
【解析】
【分析】 （1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后由222
cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩
代入化简后得出曲线C 的极坐标方程，
由直线1l 过原点且倾斜角为α可直接得出直线1l 的极坐标方程；
（2）由题干条件得出直线1l 、2l 的极坐标方程分别为θα=、024ππθαα⎛⎫=+≤< ⎪⎝⎭
，然后将这两条直线的参数方程分别代入曲线C 的极坐标方程可得出OP 和OQ ，利用诱导公式以及辅助角公式化简得出OP OQ +关于α的三角函数表达式，并利用三角函数的性质求出最大值．
【详解】
（1）由C 消去参数得普通方程为()()22112x y -+-=，
即22220x y x y +--=，所以极坐标方程为2
2cos 2sin 0ρρθρθ--=，
即=2cos +2sin ρθθ. 1l 的极坐标方程为=()R θαρ∈.
（2）将θα=代入=2cos +2sin ρθθ得1=2cos +2sin ραα， 将+2π
θα=代入=2cos +2sin ρθθ得
2=2cos(+)+2sin(+)22
ππραα2sin 2cos αα=-+ 因为[0,)4π
α∈，所以OP OQ +12=+=4cos 4ρρα≤.
当0α=时， OP OQ +的最大值为4．
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，利用极坐标解决实际问题时，需注意极坐标适用于曲线上的点与原点线段长度相关的问题，解法步骤如下：
（1）将曲线方程用极坐标方程表示出来，并将与原点相连的直线用极坐标方程表示；
（2）将直线方程与曲线的极坐标方程联立，求出线段长度关于极角的三函数；
（3）利用三角恒等变换思想以及三角函数基本性质求解．。