2018版高考复习方案大一轮课件 第3单元 三角函数、解三角形 第15讲 任意角和弧度制及任意角的三

(2)轴线角 图 3-15-3
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课前双基巩固
对点演练 题组一 常识题 1．[教材改编] 终边在射线 y＝－x(x<0)上的 角的集合是________．
[答案] αα＝k·360°＋135°，k∈Z
[解析] 终边在射线 y＝－ x(x<0) 上 的 最 小 正 角 为 135°，所以与其终边相同的 角的集合为
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线)：如图 3-15-1 中的有向线段 OM，MP，AT 分别称
为角 α 的__余__弦__线__、_正__弦__线___和_正___切__线__．
图 3-15-1
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常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角
图 3-15-2
θ＋cos θ＝________．
[答案]
3x＋1 2
[解析] 在射线 y＝ 3x(x≥0)上任取一
点 P(1， 3)，则|OP|＝2，所以 sin θ
＝ 23，cos θ＝12，所以 sin θ＋cos θ
＝ 23＋12＝
3＋1 2.
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课堂考点探究
探究点一 角的集合表示
π ①1°＝180 rad，②1 rad＝
1π80°
弧长 l＝__|_α_|r____
S＝12lr＝12|α|r2
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3.任意角的三角函数
(1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝____y____，
cos α＝____x____，tan α＝yx(x≠0)．
[思路点拨] (1)先求出(0பைடு நூலகம்π)
内终边在直线 y＝－ 3x 上
的角，再写出终边相同的角 的一般表示形式；(2)先写出
θ
θ 的一般表示形式，再写出 3
θ
的表示形式，最后由 0≤ 3 <2π得出结论．
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[答案] (1)D (2)A
[解析] (1)因为在(0，π)内终边在直线 y＝－ 3x 上的角是2π 3 ，所以终边在直线 y＝－ 3x
象 限 ， 则 在 [0 ， 2 π ] 内 α 的 取 值 范 围 是 ________．
[答案]
0，π4 ∪5π 4 ，3π 2
[解析] 由题意得
sin
tan
α－cos α>0，
α<0，
∴α的取值范
围为0，π4 ∪5π4 ，3π2 .
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[答案] (1)B (2)－652°或－292° [解析] (1)由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，k∈Z，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝45°·(k＋1)，k∈Z，k＋1 是整 数．因此必有 M⊆N. (2)所有与角 α 有相同的终边的角可表示为 68°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤68°＋ k×360°≤0°(k∈Z)，得－788°≤k×360°≤－68°(k∈Z)，解得－19907≤k≤－1970，从 而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－652°或 β＝－292°.
OP2＝a2＋(2a)2＝5a2，
∴
cos2
θ
＝
a2 5a2
＝
1 5
，
∴cos
2θ＝
2cos2θ－1＝25－1＝－35.
方法二：tan θ＝2aa＝2，cos 2θ
＝
cos2θ－sin2θ cos2θ＋sin2θ
＝
1－tan2θ 1＋tan2θ
＝
－
3 5.
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课前双基巩固
对点演练
3．[教材改编] 半径为 120 mm 的圆上长为 144 mm 的 弧 所 对 圆 心 角 α 的 弧 度 数 是 ________．
[答案] 1.2
[解析] 根据圆心角弧度数的计 算公式得，α＝114240＝1.2.
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RJA
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第15讲 PART 03
任意角和弧度制及任意角的三 角函数
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
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考试说明 1．了解任意角的概念和弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
上的角的集合为αα＝2π 3 ＋kπ，k∈Z.
(2)因为θ＝6π 7 ＋2kπ，k∈Z，所以θ3 ＝2π 7 ＋2k3π，k∈Z，依题意 0≤2π 7 ＋2k3π<2π，
k∈Z，得－37≤k<178，k∈Z，所以
k＝0
或
1
或
θ
2，所以在[0，2π)内终边与 3 角的终边相
同的角有2π 7 ，202π 1 ，342π 1 ，共 3 个．
①sin α；②cos α；③sin αcos α； ④sin α＋cos α.
[答案] ③
[解析]
由 tan
α＝ sin
cos
α α>0，可得 sin
α与 cos α同正或同负，所以 sin α cos α>0，所以填③.
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课前双基巩固
对点演练
9．[2011·课标全国卷改编] 已知角 θ 的顶 点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重 合，终边在射线 y＝ 3x(x≥0)上，则 sin
{β_2_．|β_＝_弧__度α_＋_制_k_的·_3_定6__义0_°_和_，_公. k式∈Z}
(1)定义：把长度等于__半__径__长__的弧所对的圆心
角叫作 1 弧度的角．弧度记作 rad.
(2)公式：
角 α 的弧 度的绝对
值
角度与弧 度的换算
弧长公式 扇形面积
公式
|α|＝rl(弧长用 l 表示)
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教学参考
考情分析
考点 角的概念
考查方向
角的概念、角的集合表 示
考例
考查热度 ★☆☆
三角函数的定义
单位圆、三角函数线、 2011·新课标全国卷
三角函数值的符号
7
★☆☆
扇形的弧长及面积公 式
扇形弧长、面积公式
★☆☆
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真题在线
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课堂考点探究
[总结反思] 象限角和终边相同的角的判断及表示方法：
(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋ α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断； (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个 角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需 角．
[答案] 80π
[解析] 72°＝2π5 ，∴S 扇形＝12×2π5 ×202＝80π(cm2)．
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课前双基巩固
对点演练
题组二 常考题
8．[2014·新课标全国卷Ⅰ改编] 若 tan
α >0 ， 则 下 列 各 式 符 号 一 定 为 正 的 是
____________．
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变式题 (1)设集合 M＝xx＝2k·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝4k·180°＋45°，k∈Z， 那么( ) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ (2)已知角 α＝68°，在区间[－720°，0°]内所有与角 α 有相同的终边的角 β＝ ____________．
αα＝k·360°＋135°，k∈Z
.
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对点演练
2．[教材改编] (1)－150°＝________ rad； (2)130π rad＝________°.
[答案] (1)－56π (2)54
[解析] (1)－150°＝－115800 ×π＝－56π. (2)130π rad＝130×180°＝ 54°.
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2．[2011·课标全国卷] 已知角 θ 的顶点与原点重 合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x
上，则 cos 2θ＝( )
A．－45 B．－35
3 C.5
4 D.5
[解析] B 方法一：在角 θ 终边上 任取一点 P(a，2a)(a≠0)，则 r2＝
αα|＝ssiinn
αα－－cocsosαα＝1＋1＝2.
当
x0>0
时，P
在第四象限，∴|sin sin
αα|－
|cos cos
αα|＝－ssiinn
αα－ccooss
α α＝－1－1＝－2.
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对点演练 7．若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为________cm2.
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对点演练
4．[教材改编] 若角 α 的终边经过点 P(－1，
2)，则 sin α－cos α＋tan α＝________．
[答案]
3
5－10 5
[解析] |OP|＝ （－1）2＋22＝
5，所以 sin
α＝
2 ＝2 5
5 5，cos
α＝－
1 ＝－ 5
55，tan
α＝－21
＝－2，所以 sin α－cos α＋
对点演练
6．已知角 α 的终边落在直线 y＝－3x 上，
则|sin sin
αα|－|ccooss
αα|＝________．
[答案] ±2
[解析] ∵角 α 的终边落在直线 y＝－3x 上，
∴不妨在角 α 的终边上取一点 P(x0，－3x0)．
当
x0<0
时，P
在第二象限，∴|sin sin
αα|－
|cos cos
知识梳理
1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着
__端__点____从一个位置旋转到另一个位置所形
成的图形.
(2)分类：按旋转方向分为__正__角____、_负___角____ 和零角；按终边位置分为__象__限__角__和轴线角．
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角， 连同角 α 在内，构成的角的集合是 S＝
[思路点拨] (1)利用已知条件 和三角函数定义得出关于 m 的方程，求出 m 的值，再根 据三角函数定义求值；(2)求 出点 P 的坐标，再利用三角 函数定义求值，最后定角．
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[答案] (1)－
10 4
π (2)－ 3
[解析] (1)点 P(－ 5，m)是角 θ 终边上一点，由三角函数定义，得 sin θ＝ 5＋m m2，又
tan
α＝3
5－10 5.
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对点演练
题组二 常错题
◆ 索引：对角的范围把握不准；由值求角时没有注意角的范围；求三角函
数值没有考虑角的终边所处的象限；求弧长或者扇形面积，把角化为弧度数
出5．错已．知点 P(sin α－cos α，tan α)在第二
sin θ＝
24m，所以
5＋m m2＝
24m，因为 m≠0，所以 m2＝3，所以 cos θ＝ －5＋53＝－
10 4.
(2)因为 sin5π 6 ＝12，cos5π 6 ＝－ 23，所以 P12，－ 23.由三角函数定义得 tan α＝－ 3， 因为 α∈(－π，0)，所以α＝－π3 .
例 1 (1)终边在直线 y＝－ 3x 上的角的集合是( )
A.αα＝π3 ＋2kπ，k∈Z B.αα＝2π 3 ＋2kπ，k∈Z C.αα＝π3 ＋kπ，k∈Z D.αα＝2π 3 ＋kπ，k∈Z
(2)若角 θ 的终边与6π 7 角的终边相同，则在[0，2π)内终边
θ
与 3 角的终边相同的角的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6
■ [2016－2011]课标全国真题再现
1．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 若 tan α＞0，
则( )
A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
[解析] C 因为 sin 2α
＝
2sin αcos α sin2α＋cos2α
＝
12＋tatnanα2α>0，所以选 C.
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探究点二 三角函数的定义
例 2 (1)若角 θ 的终边经过点 P(－ 5，m)(m≠0)且
sin θ＝ 24m，则 cos θ＝________．
(2)已知角 α 的终边上一点 Psin5π 6 ，cos5π 6 ，若 α∈(－ π，0)，则 α＝________．