2019-2020学年广东省汕头市数学高二(下)期末检测试题含解析

2019-2020学年广东省汕头市数学高二(下)期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．设关于,x y的不等式组
210
x y
x m
y m
-+>
⎧
⎪
+<
⎨
⎪->
⎩
表示的平面区域内存在点00
(,)
P x y满足
00
22
x y
-=，则m的
取值范围是（）
A．
4 (,
)
3
-∞-B．
2
(,0)
3
-C．
1
(,)
3
-∞-D．
2
(,)
3
-∞-
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
由约束条件，作出可行域如上图所示阴影部分ABC
∆，要使可行域存在，必有21
m m
<-+，可行域包括
1
1
2
y x
=-上的点，只要边界点(,12)
A m m
--在直线
1
1
2
y x
=-的上方，且(,)
B m m
-在直线
1
1
2
y x
=-的下方，故有
21
1
121
2
1
1
2
m m
m m
m m
⎧
⎪<-+
⎪
⎪
->--
⎨
⎪
⎪
<--
⎪⎩
，解得
2
3
m<-，选D.
点睛：平面区域的最值问题是线性规划的一类重要题型，在解答本题时，关键是画好可行域，分析目标函数的几何意义，然后利用数形结合的思想，找出点的坐标，即可求出答案．
2．在复平面内，复数
1
1i
z=
+
，则z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数1
1i
z =+，计算z ，再计算对应点的象限. 【详解】 复数11-1111+1(1)(1-)2222
i z i z i i i i =
==-⇒=++ 对应点为：11
(,)22
故答案选A 【点睛】
本题考查了复数的计算，共轭复数，复数对应点象限，意在考查学生的计算能力. 3．已知函数()()ln a
f x x a R x
=+∈有两个不相同的零点，则a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．10,e
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(),e +∞
【答案】C 【解析】 【分析】
对函数求导得()2
'x a
f x x -=
，当0a ≤时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当0a >时，()f a 为最小值，函数在定义域上有两个零点，则()1ln 0f a a =+<，即1
0a e
<<，又()10f a =>，
则()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点，由210e
a a <<<，那么()2
12ln f a a a =+，构造新函数
()12ln g a a a =+1
(0)a e
<<，求导可得g(a)单调性，再由()()220g a f a e ==->，即可确定f(x)在
()0,a 上有一个零点，则a 的范围可知．
【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2'x a
f x x
-=
. ①当0a ≤时，()'0f x >成立，所以函数()f x 在()0,∞+为上增函数，不合题意； ②当0a x <<时，()'0f x >，所以函数()f x 在(),a +∞上为增函数； 当0x a <<时，()'0f x <，所以函数()f x 在()0,a 上为减函数. 此时()f x 的最小值为()f a ，依题意知()1ln 0f a a =+<，解得10a e
<<
. 由于1a >，()10f a =>，函数()f x 在(),a +∞上为增函数，所以函数()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点.又因为10a e <<
，所以2
10e
a a <<<. ()2211ln 2ln f a a a a a =+=+，令()1
2ln g a a a =+，当10a e <<时，()22
12210'a a a a
g a -=-+=<，
所以(
)()2
112ln 20f a
g a a g e e a ⎛⎫
==
+>=-> ⎪⎝⎭
. 又()0f a <，函数()f x 在()0,a 上为减函数，且函数()f x 的图象在()
2
,a a 上不间断，所以函数()
f x 在()0,a 上有唯一的一个零点. 综上，实数a 的取值范围是10,e ⎛
⎫
⎪⎝⎭
.故选C. 【点睛】
本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围．通过求导逐步缩小参数a 的范围，题中()f a 为()f x 的最小值且()0f a <，解得1
0a e
<<
，()10f >，先运用零点定理确定点a 右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a 左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性． 4．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则
m
n m k n k n k C
C --==∑（ ）
A ．2
m n
+
B ．2
m
n m C
C ．2n m
n C D ．2m m
n C
【答案】D 【解析】 【分析】
先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，
C
C C C 1m
n m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，
1011
10C
C C C C C 2m
n m
k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，
0()!!
()!()!!()!
m
m
n m k n k
n
k k n k n C
C n m m k k n k --==-=⋅---∑∑
000
!!2()!!!()!m
m m
m k m k m m
n m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D
【点睛】
本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.
5．对于三次函数()()3
2
0f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()
f x "是()'f x 的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()
00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过
探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心
.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122018(201920192019g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
) A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019
【答案】C 【解析】
分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，即()()12f x f x +-=，利用倒序相加法即可
得到结论. 详解：函数()3211533212
g x x x x =
-+-， 函数的导数()2
'3g x x x =-+，()'21g x x =-， 由()0'0g x =得0210x -=， 解得012x =
，而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
故函数()g x 关于点1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，
()()12g x g x ∴+-=，
故设122018...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 则201820171...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
两式相加得220182m ⨯=，则2018m =，故选C.
点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题. 6．下面命题正确的有（ ）
①a ，b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ②任何两个复数不能比较大小；
③若12,z z ∈C ，且22
12
0z z +=，则120z z ==. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
【答案】A 【解析】 【分析】
对于①③找出反例即可判断，根据复数的性质可判断②． 【详解】
①若0a b ==，则()()a b a b i -++是0，为实数，即①错误；
②复数分为实数和虚数，而任意实数都可以比较大小，虚数是不可以比较大小的，即②错误；
③若11z i =-，21z i =+，则22
12
220z z i i +=-+=，但12z z ≠，即③错误； 故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数的概念与性质，属于基础题． 7．定义在上的函数
满足
,
,且
时,
,则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】试题分析：由于
，因此函数为奇函数，
，故函数的周期为4，
，即
，
，
，
故答案为C
考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算
8．若函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y ＝log a |x|的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
由函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，得0<a<1. y ＝log a |x|在()0,∞+上为单调递减，排除B,C,D
又因为y ＝log a |x|为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故A 正确. 故选A.
9．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解 【详解】 因为1
y a x
'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
10．已知向量a r 与b r
的夹角为3
π，(2,0)a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v （ ）
A ．3
B ．23
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
利用(
)
2
|2|2a b a b
-=
-r r r r 即可解决．
【详解】
由题意得(
)
2
22|2|244a b a b
a a
b b -=
-=-⋅+r r
r r r r r r ，因为向量a r 与b r
的夹角为3
π，(2,0)a =r ，1b r ||=，
所以222a ==r ，所以2222
442421cos 4143
a a
b b π-⋅+=-⨯⨯⨯+⨯=r r r r ，所以|2|42a b -==r r ，
所以选择C 【点睛】
本题主要考查了向量模的计算，在解决向量模的问题时通常先计算出平方的值，再开根号即可，属于基础题．
11．供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[
)010，， [)1020，
， [)2030，， [)3040，， []4050，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是
A ．12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B ．12月份人均用电量不低于20度的有500人
C ．12月份人均用电量为25度
D ．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[
)3040，
一组的概率为1
10
【答案】C 【解析】
根据频率分布直方图知，
12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A 正确；
12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B 正确； 12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C 错误； 在这1000位居民中任选1位协助收费,用电量在[30,40)一组的频率为0.1， 估计所求的概率为1
10
，∴D 正确. 故选C.
12．已知函数()f x 的导函数为2()2f x ax ax '=-，若0a <，则函数()f x 的图像可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据导数的几何意义和0a <，确定函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，即可得出结论． 【详解】
函数()f x 的导函数为()2
22f x ax ax ax x '=-=-（），
0a <Q ，
∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减， 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的图象与其导函数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．抛物线2
14
y x =
的焦点坐标是______．
【答案】(0,1)F 【解析】 抛物线21y x 4=
即2x 4y =，2,12
p
p ∴== ，所以焦点坐标为()0,1. 14．求经过点()43-，
，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距2倍的直线方程为________. 【答案】3
2204
y x x y =-+-=或 【解析】 【分析】
根据截距是否为零分类求解. 【详解】
当在x 轴上的截距为零时，所求直线方程可设为y kx =，因为过点()43-，
，所以33
,44
k y x =-=-； 当在x 轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为
12x y
m m
+=，因为过点()43-，
，所以1,220.m x y =+-=；
所以直线方程为3
2204
y x x y =-+-=或 【点睛】
本题考查根据截距求直线方程，考查基本分析求解能力，属中档题.
15．试写出7
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中系数最大的项_____． 【答案】35x
【解析】 【分析】
T r+1＝（﹣1）r r
7C x 7﹣2r ，r 必须为偶数，分别令r ＝0，2，4，6，经过比较即可得出 【详解】
77
21711r
r r r r r T x x x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭
﹣＝C ＝（﹣），
r 必须为偶数，分别令r ＝0，2，4，6， 其系数分别为：1， 2
7C ,4
7C ,6
7C
经过比较可得：r ＝4时满足条件， 4
1
5735T C x x
-==
故答案为：35x
． 【点睛】
35
x
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16．已知复数z ＝512i
i
-(i 是虚数单位)，则|z|＝________．
【答案】5 【解析】
试题分析：因为512i z i =-，所以5(12)
2,5
i i z i +=
=-所以2 5.z i =-=本题也可利用复数模的性质进行求解，即55 5.12125
i i z i i ====-- 考点：复数的模
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀.
()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025
0k
2.706
3.841 5.024
()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ （1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；
甲班 乙班 合计 大于等于80分的人数 小于80分的人数 合计
（2）从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量x ，求x 的分布列和期望.
【答案】（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，9
7
【解析】 【分析】
（1）完善列联表，计算2 3.333 2.706K ≈>，得到答案.
（2）依题意随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】 （1）
依题意得()2
2
8012202820 3.333 2.70640403248
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.
有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.
（2）从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中抽人数分别为2、3、2. 依题意随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.
()3
4374
035C P X C ===，()21433718135C C P X C ===，
()12433712235C C P X C ===
，()33371
335
C P X C ===，
()0123353535357
E x =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日至20日在北京和张家口联合举行.某研究机构为
了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取40人进行了问卷调查，其中男、女生各20人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：
（Ⅰ）将得分不低于90分的称为“A 类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A 类”调查对象的更多信息，从“A 类”调查对象中抽取3人，设被抽到的女生人数为X ，求X 的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下22⨯列联表.完成列联表，并说明能否有99%的把握认为是否为“A 类”调查对象与性别有关？ 不是“A 类”调查对象 是“A 类”调查对象 总计 男 女
总计
附参考公式与数据：22
()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++.
20()P K k ≥ 0.050 0.010 0.001
0k 3.841 6.635 10.828
【答案】（Ⅰ）见解析，7
（Ⅱ）见解析，没有 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于90分的人数及男女分别各几人，可知X 的可能取值为0,1,2,3，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得2K 的观测值，与临界值作比较即可进行判断. 【详解】
（Ⅰ）40人中得分不低于90分的一共有14人，其中男性10人，女性4人. 所以X 的可能取值为0,1,2,3.
则31031430
(0)91C P X C ===，124103
1445(1)91C C P X C ===， 2141031415(2)91C C P X C ===，343
141
(3)91
C P X C ===. 所以X 的分布列为
所以6()012391919191917
E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （Ⅱ）
所以22
40(1041016)360
3.9562614202091
K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，
因为3.956 6.635<，所以没有99%的把握认为是否是“A 类”调查对象与性别有关. 【点睛】
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算2K 的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.
19．参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.
参考数据:
666
2i i 1
i 1
1
(x -x)?(y -y)-34580,(-)?(-)-175.5,(-)i i i i i x x z z y y ∑∑∑=====，
6
1
776840,(-)?(-)3465.2i i i y y z z ∑===.
(1)根据散点图判断y 与x,z 与x 哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)? (2)根据(1)的判断结果及数据,建立y 关于x 的回归方程(方程中的系数均保．．．．．．．．留两位有效数字．．．．．．．)．. (3)当定价为150元/千克时,试估计年销量.
附:对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n ),其回归直线y b =＾
＾
x+a ＾
的斜率和截距的最
小二乘估计分别为
i i 1
1
n
2
22
i 1
1
(x -x)?(y -y)
?-?·b ,a -b .(-)-?n
n
i i i i n
i i i x y n x y
y x x x x n x ∑∑∑∑=====
=
=＾
＾
＾
【答案】 (1) z 与x 具有较强的线性相关性(2)15-0.102
y e x
=＾
（3）估计年销量为y ＾
=1千克
【解析】 【分析】
()1由散点图可知z 与x 对应的散点图基本都在一条直线附近，线性相关性更强 ()2根据公式计算出回归方程的系数，即可写出回归方程 ()3代入回归方程求出年销量
【详解】
(1)由散点图知, z 与x 具有较强的线性相关性.
(2)∵6
i i 1
6
2
i 1
(x -x)?(z -z)
-175.5
b 1750
(-)i i x x ∑∑===
=
＾
≈-0.10, ∴a z b x =-＾
＾
≈15,∴z b =＾
＾
x+a ＾
=15-0.10x.
又∵z=2ln y,∴y 关于x 的回归方程为z 15-0.1022
y e e
x
==＾
＾
.
(3)当定价为150元/千克时,估计年销量为y ＾
=1千克. 【点睛】
本题考查了线性回归方程及其应用，只需理清题目中的数据，代入公式即可求出线性回归方程，然后求出年销量，较为基础
20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2,1?)A ，离心率为22
，过点(3,?0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM BN ⋅u u u u r u u u r
的取值范围.
【答案】（1）22
163
x y +=（2）(2,?
3] 【解析】
试题分析：（1）将点(2,1
?)A 代入椭圆方程,结合关系式c
e a
=和222a b c =+,组成方程组,可解得,,a b c 的值,从而可得椭圆的方程.（2）由题意分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-.将直线方程和椭圆方程联立,消去y 整理为关于x 的一元二次方程.由题意可知其判别式大于0,可得k 的范围. 设
M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y .由韦达定理可得1212,x x x x +⋅的值.根据数量积公式用k 表示
BM BN ⋅u u u u r u u u r .根据k
的范围求BM BN ⋅u u u u r u u u r
得范围. 试题解析：解：（1）由题意得22222
41
1,{,2.2
a b a b c c a +==+=解得6a =，3b =．
椭圆C 的方程为22
163
x y +=．
（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，
由2
2
(3),
{1,63
y k x x y =-+=得2222
(12)121860k x k x k +-+-=. 直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，
42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<.
设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
则
2 122
12
12
k x x
k +=
+
，
2
122
186
12
k
x x
k
-
=
+
，11
(3)
y k x
=-，
22
(3)
y k x
=-．
1212
(3)(3)
BM BN x x y y
⋅=--+
u u u u r u u u r
2
1212
(1)[3()9]
k x x x x
=+-++
2
2
33
12
k
k
+
=
+2
33
22(12)
k
=+
+
．
，
2
33
23
22(12)
k
∴<+≤
+
．BM BN
∴⋅
u u u u r u u u r
的取值范围为(2,?3]．
考点：1椭圆的简单基本性质;2直线与椭圆的位置关系;3值域问题.
21．某机构为了调查某市同时符合条件A与B(条件A：营养均衡，作息规律；条件B：经常锻炼，劳逸结合)的高中男生的体重y(单位:kg)与身高x(单位: cm)是否存在较好的线性关系，该机构搜集了6位满足条件的高中男生的数据，得到如下表格:
身高/cm161167171172175180
体重/kg454952545965
根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为1.07.
(1)求y关于x的线性回归方程ˆ
ˆˆ
y bx a
=+(ˆa精确到整数部分)；
(2)已知
()
()
2
21
2
1
ˆ
1
n
i i
i
n
i
i
y y
R
y y
=
=
-
=-
-
∑
∑
，且当20.9
R>时，回归方程的拟合效果较好。

试结合数据
()
6
2
1
11
ˆ
i i
i
y y
=
-=
∑，判断(1)中的回归方程的拟合效果是否良好？
(3)该市某高中有10位男生同时符合条件A与B，将这10位男生的身高(单位:cm)的数据绘制成如下的茎叶图。

若从这10位男生中任选2位，记这2位中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望(提示:利用(1)中的回归方程估测这10位男生的体重).
【答案】 (1) 1.0729
ˆ1
y x
=-;(2)见解析 ;(3)见解析.
【解析】
分析：（1）依题意可知ˆ 1.07
b=，又171,54
x y
==，1
ˆ
ˆ28.97129
a y bx
=-=-≈，即可得到答案；
（2）求出2R 即可；
（3）X 的可能取值为0,1,2，分别求出对应的概率即可.
详解：（1）依题意可知ˆ 1.07b
=， ∵171,54x y ==，
∴54 1.0ˆˆ7171128.97129a
y bx =-=-⨯=-≈， 故y 关于x 的线性回归方程为 1.0729ˆ1y
x =-. （2）∵
()()()()()()()
6
2222222
1
455449545254545459546554256i
i
i y y =-=-+-+-+-+-+-=∑
∴()()
2
21
2
111
110.960.925ˆ6
n i i i n i i y y R y y ==-=-=-
≈>-∑∑， 故（1）中的回归方程的拟合效果良好.
（3）令 1.07290ˆ16y
x =-=，得176.6x ≈， 故这10位男生的体重有3为体重超过60kg .
X 的可能取值为0,1,2.
()2
72107
015C P X C ===
()11732107
115
C C P X C ===
()232101
115
C P X C ===
则X 的分布列为
X
1
2
P
715
715
715
()0121515155
E X =⨯
+⨯+⨯= 点睛：求回归方程，关键在于正确求出系数， ，由于， 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为，常数项为，这与一次函数的习惯表示不同．
22．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:
2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如图所示.
用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：
（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；
（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：
（同一组数据用该区间的中点值作代表）
2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.
该企业现有两种购置方案：
方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；
方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.
假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润=日收入-日维护费用）
【答案】（1）3.95；（2）见解析
【解析】
分析：（1）由频率分布直方图求出补贴分别是3万元，4万元，4.5万元的概率，即得概率分布列，然后可计算出平均值；
（2）由频数分布表计算出每天需要充电车辆数的分布列，分别计算出两种方案中新设备可主观能动性车辆数，从而得实际充电车辆数的分布列，由分布列可计算出均值，从而计算出日利润．
详解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：
⨯+⨯+⨯=(万元)
纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为30.240.5 4.50.3 3.95
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为
⨯+⨯=(辆）
3010049006600
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
于是方案一下新设备产生的日利润均值为
()
2560000.266000.85001008090040000
⨯⨯+⨯-⨯-⨯=(元）
⨯+⨯=(辆）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为3020044007600
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
于是方案二下新设备产生的日利润均值为
()
⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=(元)
2560000.270000.376000.55002008040045500
点睛：本题考查统计与概率的相关知识，如频率分布直方图，随机变量的分布列，期望，分布表等，考查数据处理能力，运用数据解决实际问题的能力．。