2013年走向高考·高考数学文理总复习(新人教B版课后练习+单元测试)4-3

1.(2011·大纲全国卷理，5)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的
最小值等于( )
A.1
3
B ．3
C ．6
D ．9 [答案] C
[解析] 由题意知，π3＝2π
ω·k (k ∈Z)，
∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.
2．(文)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π
3)图象的对称轴方程
可以为( )
A ．x ＝π12
B ．x ＝5π
12
C ．x ＝π3
D ．x ＝π
6
[答案] A
[解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π
12，k ∈Z ，
令k ＝0得x ＝
π
12
，故选A. [点评] f (x )＝sin(2x ＋π
3
)的图象的对称轴过最高点将选项代入
检验，∵2×π12＋π3＝π
2
，∴选A.
(理)(2011·衡水质检)函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝
π
4对称，则φ的可能取值是( )
A.3π4 B ．－3π4 C.π4
D.π2
[答案] A
[解析] ∵y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π(k ∈Z)，∴x ＋φ＝k π，即x ＝k π－φ，令π4＝k π－φ得φ＝k π－π
4(k ∈Z)，显然在四个选项中，只
有3π
4
满足题意．故正确答案为A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π
6)的一个递减区间为
( )
A ．(π6，2π3)
B ．(－π3，π6)
C ．(－π2，π2)
D ．(π2，3π2)
[答案] A
[解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2得，
k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3 (k ∈Z)，
令k ＝0得，π6≤x ≤2π
3
，故选A.
(理)(2010·安徽巢湖质检)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ωx －π3(ω>0)的最小正周
期为π，则函数f (x )的单调递增区间为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
k π－π6，k π＋5π6(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π6，k π＋11π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z) [答案] C
[解析] 由条件知，T ＝2π
ω＝π，∴ω＝2， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z 得，
k π－
π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z ，故选C. 4．(文)(2011·湖南张家界月考)若函数f (x )＝(1＋3tan x ) cos x,0≤x <π
2
，则f (x )的最大值为( )
A ．1
B ．2 C.3＋1 D.3＋2 [答案] B
[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x
＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6，
∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π
3
，
∴1
2≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2. (理)(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4
]
上的最小值是－2，则ω的最小值为( )
A.23 B .32 C ．2 D ．3 [答案] B
[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π
4]上的最小值为－2
∴T 4≤π
3，即π2ω≤π3， ∴ω≥32，即ω的最小值为32
.
5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A ．ω＝π2，φ＝π4
B ．ω＝π3，φ＝π
6
C ．ω＝π4，φ＝π
4
D ．ω＝π4，φ＝5π
4
[答案] C
[解析] ∵T
4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4
.
令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π
4
，∴选C. (理)(2011·北京海淀期中)如果存在正整数ω和实数φ，使得函数f (x )＝cos 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案] B
[解析] f (x )＝12＋12cos(2ωx ＋2φ)，由图可知T
2<1<34T ，∴43<T <2，
43<2π2ω<2，π2<ω<3
4
π， 又ω∈N *，∴ω＝2.故选B.
6．(文)(2011·课标全国文，11)设函数f (x )＝sin(2x ＋π
4)＋cos(2x
＋π
4
)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π
4对称
B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π
2对称
C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π
4
对称
D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π
2对称
[答案] D
[解析] f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π2＝2cos2x . 则函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称．
(理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：
①函数y ＝cos(23x ＋π
2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α
＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π
8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π
3)的图象关于
点(π
12
，0)成中心对称图形． 其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤ [答案] C
[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 2
3
x 是奇函数；
②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<3
2，所以不存在实
数α，使得sin α＋cos α＝3
2
；
③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，
即tanα<tanβ不成立；
④把x＝π
8代入y＝sin(2x＋
5π
4)得y＝sin
3π
2＝－1，
所以x＝π
8是函数y＝sin(2x＋
5π
4)的一条对称轴；
⑤把x＝π
12代入y＝sin(2x＋
π
3)得y＝sin
π
2＝1，
所以点(π
12，0)不是函数y＝sin(2x＋π
3)的对称中心．
综上所述，只有①④正确．
[点评]作为选择题，判断①成立后排除B、D，再判断③(或④)即可下结论．
7．(文)函数y＝cos x的定义域为[a，b]，值域为[－1
2，1]，则b
－a的最小值为________．
[答案]2π3
[解析]cos x＝－1
2时，x＝2kπ＋2π
3或x＝2kπ＋
4π
3，k∈Z，cos x
＝1时，x＝2kπ，k∈Z.
由图象观察知，b－a的最小值为2π3.
(理)(2011·江苏南通一模)函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(x∈R)，又
f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于π
2，则正数ω的值为
________．
[答案] 1
[解析]f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2sin(ωx＋π3)，
由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π
2，T
＝2π，所以ω＝1.
8．(2011·安徽百校论坛联考)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π
2
]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________． [答案] [1,2)
[解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π
2]
上有两个不同实数解，
∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6，x ∈[0，π
2]与y ＝m 有两个不同交点，∴1≤m <2.
9．(文)(2011·福建质检)已知将函数f (x )＝2sin π
3x 的图象向左平移
1个单位长度，然后向上平移2个单位长度后得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________.
[答案] 2sin π
3
x ＋2
[解析] 将f (x )＝2sin π
3x 的图象向左平移1个单位长度后得到y
＝2sin[π3(x ＋1)]的图象，向上平移2个单位长度后得到y ＝2sin[π
3(x ＋
1)]＋2的图象，又因为其与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin[π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π
3
x ＋2.
(理)(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π
3)的图象关于点P (x 0,0)
成中心对称，若x 0∈[－π
2
，0]，则x 0＝________.
[答案] －π
6
[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π
3)的对称中心是函数图象与x 轴的
交点，∴2sin(2x 0＋π
3
)＝0，
∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π
6
.
10．(文)(2011·北京文，15)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π
6)－1.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间[－π6，π
4]上的最大值和最小值．
[解析] (1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π
6)－1
＝4cos x (32sin x ＋1
2
cos x )－1
＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
6
)．
所以f (x )的最小正周期为π.
(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π
3
.
于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )取得最大值2；
当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π
6
时，f (x )取得最小值－1.
(理)(2011·天津南开中学月考)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋3
2
.
(1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π
2时，求函数f (x )的值域．
[解析] (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2
x ＋3
2
＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32 ＝12sin2x －32cos2x ＝sin(2x －π3)， 所以f (x )的最小正周期为π. 令sin(2x －π3)＝0，得2x －π
3＝k π，
∴x ＝k π2＋π
6
，k ∈Z.
故所求对称中心的坐标为(k π2＋π
6，0)(k ∈Z)．
(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π
3
.
∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－3
2
，1].
11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin x |(0<x <π)的图象大致是
( )
[答案] B
[解析] y ＝sin x ·|cos x
sin x
|
＝⎩⎪⎨⎪⎧
cos x ，0<x <
π2
0，x ＝π2
－cos x ，π2
<x <π.
(理)(2011·辽宁文，12)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)，
y ＝f (x )的部分图像如图，则f (π
24
)＝(
)
A ．2＋ 3
B . 3 C.
3
3
D ．2－ 3 [答案] B
[解析] 由图可知：T ＝2×(38π－π8)＝π
2，
∴ω＝π
T ＝2
又∵图象过点(3
8
π，0)
∴A ·tan(2×38π＋φ)＝A ·tan(3
4π＋φ)＝0
∴φ＝π
4
又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π
4)＝A ＝1
∴f (x )＝tan(2x ＋π
4)
∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)
＝tan(π12＋π4)＝tan π
3
＝ 3
12．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )
A ．98π B.1972π
C.1992π D ．100π
[答案] B
[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用491
4个周期，∴
4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972
π，故选B. (理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2x 的图象，若在区间[0，
t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 [答案] C
[解析] ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y
＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2x 的周期T ＝4，
∴t ≥5
4
T ＝5，故选C.
13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π
2))
的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π
12
对称，则在下面四个结论中：
①图象关于点(π
4，0)对称；
②图象关于点(π
3，0)对称；
③在[0，π
6]上是增函数；
④在[－π
6，0]上是增函数中，
所有正确结论的编号为________． [答案] ②④
[解析] 由最小正周期为π得，2π
ω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π
3
，
∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，
f (π3)＝0，故②正确；由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z)得，k π－5π
12≤x ≤k π＋π12，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π
12，故③错，④正确，∴正确
结论为②④.
(理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题： ①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调
递增，在区间[－π
2
，0]上单调递减．
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④
[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2
，
∴②假；∵f (π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π
2)≠0，
∴③假；设0≤x 1<x 2≤π2，则f (x 1)f (x 2)＝x 1x 2·sin x 1
sin x 2<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，
∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π
2，0]上为
减函数，∴④真．
14．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π
2－x )．
(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝1
3，求f (α)的值；
(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝1
3＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，
∴α∈(0，π
2)，sin α＋cos α>0.
由(sin α＋cos α)2
＝1＋2sin α·cos α＝4
3
，
得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝2
3 3.
(2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π
4)，又0≤x ≤π，
∴f (x )的单调递增区间为[0，π
4
]．
(理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .
(1)求角B 的大小；
(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，
求f (x )在区间[0，π
2
]上的最大值和最小值．
[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .
由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .
又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B .
又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π
3.
(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π
6)＋sin ωx
＝
32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6
)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，
当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π
6]，
sin(2x ＋π6)∈[－1
2
，1]．
因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )取得最大值 3.
当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－3
2
.
15．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x .
(1)求f (x )的单调递减区间；
(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
6)，
(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2(k ∈Z)
得k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3
(k ∈Z)，
∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π
3](k ∈Z)，
(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π
6＝k π(k ∈Z)，
即x ＝k π2－π
12
(k ∈Z)，
∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π
12，0)．
(3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π
6)，
又∵角α与β的终边不共线， ∴(2α＋π6)＋(2β＋π
6)＝2k π＋π(k ∈Z)，
即α＋β＝k π＋π
3
(k ∈Z)，∴tan(α＋β)＝ 3.
(理)(2011·浙江文，18)已知函数f (x )＝A sin(π
3x ＋φ)，x ∈R ，
A >0,0<φ<π
2.y ＝f (x )的部
分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．
(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；
(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π
3，求A 的值．
[解析] (1)由题意得，T ＝2π
π3
＝6
因为P (1，A )在y ＝A sin(π
3x ＋φ)的图象上，
所以sin(π
3＋φ)＝1.
又因为0<φ<π2，所以φ＝π
6
(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A
)
由题意可知π3x 0＋π6＝3π
2，得x 0＝4
所以Q (4，－A )．
连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2
3π，由余弦定理得
cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－1
2， 解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3.
16．函数f (x )＝2a cos 2
x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32
.
(1)求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．
[解析]
(1)由⎩⎨⎧
f (0)＝2f (π3)＝12＋3
2，
得⎩⎨⎧
2a ＝212a ＋34b ＝12＋32
，解得a ＝1，b ＝2，
∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π
4)＋1，
∵－1≤sin(2x ＋π
4
)≤1，
∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2.
(2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4)＝sin(2β＋π
4)．
∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π
4)，且α≠β，
∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π
4)，
∴α＋β＝π4或α＋β＝5π
4
，故tan(α＋β)＝1.
1．(2011·济南模拟)函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R)的最小正周期和最大值分别为 ( )
A ．2π，3
B ．2π，1
C ．π，3
D ．π，1 [答案] C
[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π
6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，
故选C.
2．(2011·江门模拟)设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2
的函数，若在区间[－π2
，π]上f (x )＝⎩⎨⎧
cos x ，－π2≤x <0，sin x ，0≤x ≤π，则f (－15π4
)等于
( )
A ．1 B.
22
C ．0
D ．－2
2
[答案] B
[解析] ∵函数f (x )的最小正周期为3
2π，
∴f (－154π)＝f (－15π4＋3×32π)
＝f (34π)＝sin 34π＝22
.
3．(2011·湖北文，6)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R.若
f (x )≥1，则x 的取值范围为( )
A ．{x |2k π＋π
3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}
B ．{x |k π＋π
3≤x ≤k π＋π，k ∈Z}
C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π
6，k ∈Z}
D ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π
6，k ∈Z}
[答案] A
[解析] f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π
6)≥1，
即sin(x －π6)≥12，∴2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋5π
6，
即2k π＋π
3
≤x ≤2k π＋π.
4．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πx
R 图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案] D
[解析] f (x )的周期T ＝2π
πR ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分
析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.
5.(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )
A ．10
B ．8 C.87 D .47 [答案] B
[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．
[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2π
π
＝2，tan α＝
AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝3
2，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β
＝12＋
3
21－12×32＝8，∴选B.
6．(2010·合肥质检)对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，
y 2＝1＋sin x 2x 2
，则( )
A ．y 1＝y 2
B ．y 1>y 2
C ．y 1<y 2
D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B
[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1
x 1
的几何意义为过原点及
点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2
x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋
sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.
7．(2010·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0,0<ω<2，－π2<φ<π
2
)的图象，列出的部分数据如下表：
推断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．
[答案] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3x ＋π6 [解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x ＝1对称，故x ＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A ＝2，由过(0,1)点知2sin φ＝1，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π
6
，
∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ωx ＋π6，再将点(2,1)代入得，
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ω＋π6＝1， ∴2ω＋π6＝π6＋2k π或2ω＋π6＝5π
6
＋2k π，k ∈Z ，
∵0<ω<2，∴ω＝π
3，∴解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6. 8．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ，sin x ≤cos x
cos x ，sin x >cos x ，给出下
列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z)时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于直线x ＝5π
4＋2k π(k ∈Z)对称；
④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z)时，0<f (x )≤2
2
.
其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)
[答案] ③④
[解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确． 9．已知函数f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2
(x －π12)(x ∈R )．
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解析] (1)f (x )＝
3sin(2x －π6)＋1－cos2(x －π12
)＝
2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
32
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1
＝2sin(2x －π
3
)＋1.
所以最小正周期为T＝π.
(2)当f(x)取最大值时，只要sin(2x－π
3)＝1，得出x＝kπ＋
5π
12(k∈
Z)，∴x值的集合为{x|x＝kπ＋5π
12，k∈Z}．
[点评]差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．。