3.4二维随机变量函数的分布

1
2
1
0 等价于
2
12 12
3
2
0
2
12
12
( X ,Y )
(1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
1 2
,1
(3,2)
(3,0)
概率 1
12
1 3 2 12 2 12 12 12 12 12 12
概率 1 12
1 3 2 12 2 12 12 12 12 12 12
( X ,Y )
(1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
1 2
,1
(3,2)
(3,0)
X Y 3
2
1
3 2
1 2
1
3
pi
1 12
1
3
2
12 12 12
12 2 12 12 12
例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为
X1
3
Y2 4
PX 0.3 0.7
PY 0.6 0.4
求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
若X和Y 独立,
X
~
N
(1,
2 1
),Y
~
N
(2
,
2 2
),
结论又如何呢?
用类似的方法可以证明:
Z
X
Y
~
N (1
2 , 12
2 2
)
此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形, 结论:
和分布
3. 关于正态变量的一般性结论如下:
⑴ Z = X＋Y 的分布 ⑵ max( X，Y ) 与 min( X，Y )的分布
一、 Z = X＋Y 的分布
例1 设随机变量(X ,Y) 的分布律为
X Y 2 1 0
1
1
3
1
12 12 12
1
2
2
12
3
2 12
求 X Y的分布律.
1
0
12
0
2
12
解 X Y 2 1 0
1
1
3
1
12 12 12
有限个相互独立的正态变量之和仍然是正态量.
换言之, 如果相互独立的随机变量 Xi ~ N( μi ,σi2 ), i =1,2,…, n 那么, 其任意的线性组合量
Z = b 1 X1+ b 2 X2+…+ b n Xn 也是正态量，并且有
n
n
Z ~ N ( bii ,
bi2
2 i
)
i 1
i 1
或
fZ (z) f ( x, z x)dx
y
fZ (z) f (z y, y)dy
0
x
同理，∵ Z 的分布函数
FZ (z) P{Z z} P{X Y z} f (x, y)dxdy x yz fZ (z) f (z y, y)dy
特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
y
fZ (z) f (z y, y)dy
0
x
证 显然，Z 的分布函数
FZ (z) P{Z z} P{X Y z} f (x, y)dxdy
x yz
zx
z x
dx f (x, y)dy [ f (x, y)dy]dx
yt x z
z
[ f (x, t x)dt] dx dx f (x, t x)dt
引言 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系：
(a) Z X Y ; (b) Z max{ X ,Y } 和 Z min{ X ,Y }, 其中
X 与 Y 相互独立.
第四讲 二维随机变量的函数的分布
随机变量 Z 是随机变量 X与Y的函数 Z = g ( X ，Y )
其中， g ( u ，v) 是u 和v的连续函数
f
Z
z
2
z
,1
z
Hale Waihona Puke 2,0 , 其它.
2
z 1 z O zz 11
zx x
例3 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为
fX
(x)
1 2
e
x
2，
x
0
和
fY
( y)
1 3
e
y
3，
y
0
0 ， x 0
0 ， y 0
求随机变量Z=X+Y 的概率密度.
解 FZ (z) pX Y z f (x，y)dxdy x yz
0 x 1 也即 z 1 x z
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
故 当 z 0 或 z 2 时 , fZ z 0.
当0 z 1时 ,
暂时固定
fZ z
z
dx z
0
z x1
当 1 z 2时 ,
z
fZ z
1
dx 2 z
z1
于是 z , 0 z 1,
卷积公式 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.
例2 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
f
(x)
1,
0,
0
x 其它
1
求 Z=X+Y 的概率密度 .
解 由卷积公式
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域
0 x 1 0 z x 1
解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以
P{X xi ,Y y j } P{X xi }P{Y y j },
得
Y X2
4
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
Y X
24
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
P ( X ,Y ) Z X Y
可得
0.18 0.12
(1,2) (1,4)
由于X与Y相互独立，所以
f (x，y)
fX (x)
fY
(
y)
1 6
e
x 2
e
y
3，
x 0，y 0
0，
其它
当z≥0时,
FZ (z) PZ z PX Y z
z
dx
z
x
1
e
x 2
e
y 3
dy
0
06
z
1
x
e2
(1
zx
e3
)dx
z
1 3e 3
z
2e 2
02
当z<0时,FZ(z)=0. 于是
z 0 时 , Z X Y 的概率密度为
fZ (z) f X (z y) fY ( y)dy
ze (z y)eydy ez z e( ) ydy
0
0
[e z
e z
].
而当 z 0 时 , fZ (z) 0,
L1
L2
系统 L就停止工作 , 所以这时 L 的寿命为
Z min{ X ,Y }
由题设知 X ,Y 的分布函数分别为
1 ex , x 0
FX ( x)
0,
, x0
1 ex , y 0
FY ( y)
0,
, y0
于是 Z min{ X ,Y } 的分布函数为
解 (1) 串联的情况
fZ (z)
dFZ (z) dz
d
z
x yz
dx f ( x, t x)dt
dz
d
z
[ f ( x, t x)dx]dt
f ( x, z x)dx
dz
和分布
例1 设随机变量( X，Y )的联合概率密度为f ( x，y ) . 证明： Z = X＋Y 的概率密度可由如下两公式中的 任一公式加以计算:
0,
于是 Z max{ X ,Y }的概率密度为
z0 ,
z0
ez ez ( )e( )z , z 0
fmax (z)
0,
. z0
解 (3) 备用的情况
L1
X
由于这时系统 L1 损坏时系统 L2 才开始工作 , 故整个系统 L 的寿
Y
L2
命 Z 是 L1 , L2 两者寿命之和 , 即 Z X Y , 故当
( )e( )z z 0
fmin (z)
0,
. z0
解 (2) 并联的情况
由于当且仅当 L1 , L2 都损坏时 , 系统 L才停止工作 , 所以这时
L1
X
Y
L2
L的寿命 Z max{ X ,Y }.
于是 Z max{ X ,Y }的分布函数为
(1 ez )(1 ez ),
Fmax (z) FX (z)FY (z)
二、 M = max ( X，Y ) 与 N = min( X，Y )的分布
[最大与最小值分布]
最值分布
如果随机变量 X 和Y 相互独立，分布函数依次 为FX ( x ) 和FY ( y ) ，则 M = max ( X，Y ) 与 N = min( X，Y )的分布函数依次为
FM (z) FX (z)FY (z)
1113 22 22 22 22 .
故Z max( X ,Y ) Z 0
1
的分布律为
1 P
3
4
4
和分布
例1 设随机变量( X，Y )的联合概率密度为f ( x，y ) . 证明： Z = X＋Y 的概率密度可由如下两公式中的 任一公式加以计算:
或
fZ (z) f ( x, z x)dx
FN (z) 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分
布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.
1. M = max(X,Y) 的分布函数 FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
3 5
0.42 (3,2)
5
0.28 (3,4)
7
Z X Y 3 所以
P
0.18
5
7
0.54 0.28
例3 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一 分布律，且 X 的分布律为
X0
1
P 0.5 0.5
试求: Z max( X ,Y ) 的分布律.
解 因为X与Y相互独立,
所以 P{X i,Y j} P{X i}P{Y j},
X
Y
L1
L2
系统 L2 开始工作), 如右图所 示, 设 L1, L2 的寿命分别为 X ,
L1
X
Y
Y ,已知它们的概率密度分别为
L2
ex , x 0
fX (x)
0,
, x0
L1
X
Y
L2
ey , y 0
fY ( y)
0,
, y0
解 (1) 串联的情况
X
Y
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 ,
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布 函数为:
FN(z) =1- P(X>z)P(Y>z)
即有
FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
例1 设系统 L由两个相互独立的子系统 L1, L2 连接
而成, 连接的方式分别为串联、
并联、备用(当系统 L1损坏时,
和分布
例1 设随机变量( X，Y )的联合概率密度为f ( x，y ) . 证明： Z = X＋Y 的概率密度可由如下两公式中的 任一公式加以计算:
或
fZ (z) f ( x, z x)dx
y
fZ (z) f (z y, y)dy
0
x
证 显然，Z 的分布函数
FZ (z) P{Z z} P{X Y z} f (x, y)dxdy
M
z
X Y
z z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布
函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有
FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
N
z
X Y
z z
于是
XY 0
1
0
1 22 1 22
1
1 22 1 22
P{max(X ,Y ) i} P{X i,Y i}
XY 0
1
0
1 22 1 22
P{X i,Y i}
1
1 22 1 22
P{max(X
,Y
)
0}
P{0,0}
1 22
,
P{max(X ,Y ) 1} P{1,0} P{0,1} P{1,1}
X
Y
L1
L2
1 ex , x 0
1 ex , y 0
FX ( x)
0,
x
0
,
FY
(
y)
0,
, y0
于是 Z min{ X ,Y } 的分布函数为
Fmin (z) 1 [1 FX ( x)][1 FY ( y)]
1 e( )z , z 0
,
0,
z0
Z min{ X , Y }的概率密度为
fZ (z)
FZ
(z)
e
z 3
(1
e
z 6
)，
z
0
0 ，
z0
例4 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同 的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.
解 由卷积公式
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
1 x2
z x2
e 2 e 2 dx
2π
1
z2
e2
e( x2 zx)dx
2π
1 z2 ( x z )2
e 4 e 2 dx
2π
1 z2 ( x z )2
e 4 e 2 dx
2π
令 t x z, 得 2
fZ
z
1
z2
e4
et2 dt
1
z2
e 4
2π
2π
π
1
z2
2
e 2 2
2π 2
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).