高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式

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[随堂训练]
1．函数 f(x)＝3x＋1x22(x>0)的最小值为(
)
A．8
B．9
C．10 解析：∵x>0，
D．11
∴f(x)＝32x＋32x＋1x22≥3 3 322×12＝9.
12/12当/答2021且案仅：当B 32x＝1x22 ，即
x＝2
时，f(x)min＝9.
n a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an
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时，等号成立．
[双基自测]
1．已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值 3
B．最大值 3
C．最小值 2
D．最大值 2
解析：∵a，b，c∈R＋，∴ab＋bc＋ac≥3
答案：A
ab·bc·ac＝3，故选 A.
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∴当 12/12/2021 a＝2，b＝1 时原式有最小值 3.
答案：3
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4．设三角形三边长为 3,4,5，P 是三角形内的一点，则 P 到这三角形三边距离乘 积的最大值是________． 解析：设 P 到长度为 3,4,5 的三角形三边的距离分别是 x，y，z，三角形的面积为 S. 则 S＝12(3x＋4y＋5z)，又∵32＋42＝52， ∴这个直角三角形的面积 S＝12×3×4＝6.
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3．若 a>b>0，则 a＋a－1bb的最小值为________． 解析：∵a>b>0，∴a－b>0.
∴a＋a－1bb＝(a－b)＋b＋a－1bb
≥3 3 a－b·b·a－1bb＝3，
a－b＝b 当且仅当b＝a－1bb
，即ab＝3＝21b ⇒ab＝＝21 时等号成立，
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探究一 用平均不等式证明不等式 [例 1] 设 a，b，c∈R＋，求证： (a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92.
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[证明] ∵a，b，c∈R＋， ∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a) ≥33 a＋bb＋cc＋a>0， a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥ 3 3 a＋1 b·b＋1 c·a＋1 c>0， ∴(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 12/12/2021 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12. ∴3 3 3x·4y·5z≤3x＋4y＋5z＝12.
∴12/12(/2x02y1z)max＝1165. 答案：1165
当且仅当 x＝43，y＝1，z＝45时等号成立．
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内容(nèiróng)总结
考 纲 定 位。重 难 突 破。2.能运用三个正数的算术－几何平均不等式解决简单(jiǎndān)的实际问题.。01 课前 自主梳理。03 课后 巩固 提升。≥。a＝b＝c
即 tan2 θ＝12，tan θ＝ 22， ∴12/12h/2＝021 2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大．
∴灯的高度 h 为 2时，才能使桌子边第缘十七页，处共二十最六页。亮．
1．实际问题，应找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，且根据题意 注明自变量的取值范围．如本例得到的关系式及范围． 2．把问题转化为求函数的最值问题． 根据函数关系式的特点配凑成可以用平均不等式的形式．如本例通过平方凑成和 为定值． 3．若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．如本例三个条件均满足， 故可求出灯的高度．
V 圆柱＝4HπR2 2·H－2 h·H－2 h·h≤4HπR2 2H3 3＝247πR2H.
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当且仅当H－2 h＝h，即
h＝13H
42 时，V ＝ πR H. 圆柱最大
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因构造定值时拆分不合理致误
[典例] 当 x>0 时，求 y＝x2＋3x的最小值． [解析] ∵x>0，
＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤(x－1＋x－31＋3－2x)3＝(13)3＝217，
当且仅当 x－1＝x－1＝3－2x 等号成立，
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即 x＝43∈(1，32)时，ymax＝217.
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(2)∵x>1，∴x－1>0，y＝x＋x－4 12＝12(x－1)＋12(x－1)＋x－4 12＋1≥
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2．已知 x＋2y＋3z＝6，则 2x＋4y＋8z 的最小值为( )
A．33 6
B．2 2
C．12
D．123 5
解析：∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z≥33 2x·4y·8z＝33 2x＋2y＋3z＝33 26＝12，
当且仅当 x＝2y＝3z，即 x＝2，y＝1，z＝23时，等号成立． 答案：C
3 3
12x－1·12x－1·x－4 12＋1＝4，当且仅当12(x－1)＝12(x－1)＝x－4 12，
即 x＝3 时等号成立，即 ymin＝4.
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用平均不等式求最值的条件 (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定 积最大”． (2)应用平均不等式，要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时，方 可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定 的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等． (3)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．
难点：会用不等式解决实际中的应用
问题.
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01 课前 自主(zìzhǔ)梳理 02 课堂 合作(hézuò)探究
03 课后 巩固(gǒnggù)提升
课时作业
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[自主梳理]

一、三个正数的算术—几何平均不等式 1．如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3≥ 3abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
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2．已知 a，b，c>0，则(ab＋bc＋ac)(ba＋bc＋ac)≥____________.
解析：(ab＋bc＋ac)(ba＋bc＋ac) ＝3＋bac2＋abc2＋acb2 ＋bac2＋cba2＋acb2
6 ≥3＋6
bac2·abc2·acb2 ·bac2·cba2·acb2 ＝9.
2．定理 3：如果 a，b，c∈ R＋，那么a＋3b＋c ≥ 3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时， 等号成立．即：三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均．
二、基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们的几何平均，即
a112＋/12/2a0221＋…＋an ≥ n
∴y＝x2＋3x＝x2＋23x＋23x≥3
3
x2·23x·23x＝3
3
9 4.
当且仅当 x2＝23x，
即 x＝ 3 12/12/2021
32时，ymin＝3 3
9 4.
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[规律探究] 应用均值不等式求最值时，往往需要通过拆分构造定值条件，这时 若需把其中一项拆分成两项时，需平均拆分，只有确定拆分的两项相等，才有可 能使最后的等号成立，最值才能取到.
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2．已知 x，y∈R＋且 x2y＝4，试求 x＋y 的最小值及达到最小值时 x、y 的值． 解析：∵x，y∈R＋且 x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3 3 14x2y＝3 3 14×4＝3， 当且仅当x2＝x2＝y 时等号成立． 又∵x2y＝4. ∴当 x＝2，y＝1 时，x＋y 取最小值 3.
3 三个正数的算术-几何平均不等式
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考纲定位
重难突破
重点：1.了解三个正数的算术－几何
1.理解定理3、定理4，会用两个定理
平均不等式．
解决函数的最值或值域问题．
2.会用平均不等式求一些特定
2.能运用三个正数的算术－几何平均
函数的最大(小)值．
不等式解决简单的实际问题.
No
Image
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当且仅当 a＝b＝c 时取等号．
答案：9 12/12/2021
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3．函数 y＝x＋21x2(x>0)的最小值为________． 解析：∵x>0，y＝x＋21x2＝x2＋x2＋21x2≥
3 3
x2×x2×21x2＝32，
∴函数 y＝x＋21x2的最小值为32. 答案：32
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三个正数的算术－几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证 出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证 明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正、二定、 三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明． 连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致．
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[解析] ∵r＝co2s θ，
∴E＝k·sin
θcos2 4
θ(0<θ<π2)，
①
∴E2＝1k62 ·sin2
θ·cos4
θ＝3k22 ·(2sin2
θ)·cos2
θ·cos2
θ≤3k22 ·cos2
θ＋2sin2 3
θ＋cos2
θ3
＝1k028，
当且仅当 2sin2 θ＝cos2 θ 时取等号，
13 a2b2c2·9
a2b2c2＝27.
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
12所/12/以2021a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27.
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探究二 用平均不等式求最值
[例 2] (1)求函数 y＝(x－1)2(3－2x)(1<x<32)的最大值；
(2)求函数 y＝x＋x－4 12(x>1)的最小值． [解析] (1)∵1<x<32，∴3－2x>0，x－1>0， y＝(x－1)2(3－2x)
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3．已知圆锥的底面半径为 R，高为 H，求圆锥的内接圆柱体的高 h 为何值时，
圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
解析：设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似三角形的性质可
得H－H h＝Rr ，∴r＝HR(H－h)． ∴V 圆柱＝πr2h＝πHR22(H－h)2h(0<h<H)．根据平均不等式可得
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1．已知 a，b，c∈R＋，证明：a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27.
证明：因为 a，b，c∈R＋，所以 a＋b＋c≥33 abc>0.
所以(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
所以a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥3 3
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探究三 平均不等式的实际应用 [例 3] 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏 电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得 太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一 点处的亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦 成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝ksirn2 θ， 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能 使12/12桌/202子1 边缘处最亮？