双减初中八年级数学上册分层作业设计案例因式分解

初中八年级数学分层作业设计案例
14.3因式分解
（复习巩固性作业）
【作业内容】
课堂知识归纳（2分钟）
1.因式分解的定义：把一个多项式化成_______________________
2.因式分解的方法：
（1）提公因式法，系数的_________,__________字母（式子）的__________；
（2）公式法:_____________________________,
_____________________________.
A 组知识巩固（8分钟）
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（
）A.2245(2)9
a a a --=-- B.(23)(3)9a a a +-=-C.245(4)5a a a a --=-- D.22()()
a b a b a b -=+-2.分解因式（注意检查是否分解到不能再分解为止）
（1）2233ay ax -（2）232
44x y y xy --+3.如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）
A.22
21(1)x x x -+=-B．21(1)(1)
x x x -=+-C．22
21(1)x x x ++=+D．2(1)
x x x x -=-
B 组变式提升（13分钟）
4.（教材拓展题）将214x +添一项变成完全平方式，请你写出不同的添加方法：____________________________________________
5.（第4题变式）已知m、n 为有理数，且2226100m m n n ++-+=，则_____n m =.
6.已知3133
x y x y -=⎧⎨+=-⎩，则代数式229x y -的值为_________.7.分解因式（注意检查是否分解到不能再分解为止）
（1）()22214a a +-（2）()()2
41m n m n +-+-完成A 组、B 组后尝试完成！相信你能行！若有需要，可与你的同伴交流.C 组链接考题（7分钟）
8.（2017云南）观察下列各个等式的规律：第一个等式：2221112
--=；第二个等式：2232122
--=；第三个等式：2243132
--=；………………………………………
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n 个等式（用含n 的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的.
【作业答案】
课堂知识归纳
1.几个整式的积的形式；
2.（1）最大公约数、相同、最低次数；
A 组
知识巩固1.D
2.（1）解:原式=()
223a y x -（2）解：原式=()2244y x y xy -+-=()()
3a y x y x +-=()22y x y --3.B
B 组变式提升
4.添加4x ，构成
()221x +；添加4x -，构成()221x -；添加44x ，构成
()2221x +.5.-1
6.-3
7.(1)解:原式=()()
221212a a a a +++-(2)解:原式=()()244m n m n +-++=
()()2211a a +-=()2
2m n +-C 组链接考题8.（1）2254142
--=；（2）猜想：
()22112n n n +--=解法1：解法2：解法3：左边=222112
n n n ++--左边=()()1112n n n n +++--左边=()()22112n n +-+=22n =n =2112n +-=n =22
n =n
右边=n右边=n右边=n
∴左边=右边∴左边=右边∴左边=右边
即等式成立即等式成立即等式成立
【案例分析】
·课程标准解读
因式分解是解析式的一种恒等变形，在解方程以及数学学科其他问题和科学研究中有及其重要。

理解因式分解的概念；能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）；将多项式因式分解时要分解彻底，即分解到每个多项式因式不能再继续分解为止；初中阶段对多项式的因式分解要求在有理数范围内进行。

·教材分析
本案例是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中八上第十四章中的14.3节内容，在学生学习完本章节内容后进行复习时设计的一个作业题组。

学生在学习完两种不同方法分解因式后，本节通过将分解因式不同方法进行整合，通过图形以及“整体思想”的介入，培养学生的观察分析运算能力，在解决问题过程中避免机械性背诵和记忆，为后续分式的通分、约分以及解方程的学习奠定基础。

·学情分析
我校八年级学生学习数学现状，一般的题目都会进行因式分解，但遇到首项有“负号”时会容易出现错误；还有同学因式分解的结果存在没有分解彻底的情况，导致答案错误；一半的同学对于逆向思维求完全平方式中的参数值存在很大困难；大部分同学在一些复杂的因式分解计算中缺少使用“整体思想”解决问题的意识以及“数形结合”的意识；对于将因式分解与找规律的结合，则是缺乏相应的应用能力、计算能力以及推理能力。

·学科素养落实
例题4（2）是将分解因式中的提公因式法与平方差公式法融合在一起，即在因式分解时，第一步观察是否可以提公因式，第二步观察是否可以用公式法，落实了数学运算的核心素养；例题5（2）的教学价值是将因式分解中学生最容易犯错误的地方之一：首项有“负号”时该如何处理进行展示，通过对解题过程中的易错点进行强化，提高学生的运算能力；例题6（2）则是在因式分解过程中，将“a+b”看成一个整体，从而使用完全平方公式因式分解，学生在通过对
比乘方公式打开后再进行分解，发现在解题过程中，使用“整体思想”可以使得解决问题更加快速简捷，培养学生在数学学习中整体意识的能力；习题14.3中的第9题则是对完全平方式的逆向考察，观察题目发现已经有两项平方项，结合题干式子是完全平方式来参数m 的值.题目的设计重点考察学生观察能力以及数学逆向思维能力.习题14.3中的第10题是对因式分解解决实际问题的应用，学生只有找到规律才能列出恒等式，规律探究问题是初中数学教学中的一种重点题型，这里给出一组具有某种特定关系的等式，再给出有限的几项数据，要求学生通过观察、思考、分析所给的已知数据的变化规律，并加以推理、探索其中所蕴含的规律，进而归纳、猜想、计算及证明出共同特征，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、证明等数学活动，借助此类问题可以让学生在思考观察中不断增强数据分析、逻辑推理及数学运算能力。

·作业设计思路
教材内容呈现（P114—120页）
例4分解因式：
（2）3a b ab
-例5分解因式：
（2）22
44x xy y -+-例6分解因式
（2）()()2
1236
a b a b +-++习题14.3
9.已知249y my ++是完全平方公式，求m 的值
10.观察下列式子:
224193⨯+==；
2681497⨯+==；
21416122515⨯+==；…………………….
你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？
基于以上几方面分析，笔者将本节课对应的课后作业设计为四个部分：课堂知识归纳与A组基础巩固、B组变式提升、C组链接考题三个层次共8个题10个小问的练习题。

设计多类型、适切性“多元化”的作业，是增强作业育人功能的核心要素，所以本节课后作业的设计，针对了班里学生不同情况分层设计，难易程度逐层递进，让不同知识基础和思维能力的学生，根据自身学习能力与目标，选做一定量的作业题，让每个学生都能在自身已有基础上获得提升，不同的学生都能有不同的发展，符合学生学习规律，满足个性化需求，想要达成让学生在作业上各得其所的目的。

作业的题型有挖词填空、选择、填空、计算、解答题，截取考题，思路引导填空等，作业的范围突破教材、教辅的既有限制，将学生易错知识创新融入作业，检测学生对易错知识的掌握程度，让作业与生活联系起来，促进学生在生活场域中运用知识、巩固知识、发展自我，让学生在做作业过程中进一步开阔视野、开拓思维，作业设计遵循“分层设计原则”、“拓展性原则”。

课堂知识归纳部分意在归纳课堂主要知识，培养学生课后回顾复习的学习习惯，提高作业质量，实现帮助学生归纳、巩固知识功能。

A组作业设计与课本教材中的例4（2）、例5（2）相匹配，意在强化学生对于因式分解定义的理解以及因式分解的方法的应用，落实数学运算的核心素养。

第1题用选择题，是因为选择题是学生相对喜欢的一种题型，而且比填空题和解答题要省时，也在这节课的作业中适用性、有效性很强。

由于学生在以往的因式分解计算中，后进生同学存在因式分解的结果没有分解彻底的情况，以及遇到首项有“负号”时会容易出现错误，所以第2题主要针对学生的易错题进行诊断设计。

第3题将因式分解与图形相结合，意在使得学生从代数和几何图形两方面来加强对因式分解定义的理解，培养学生“数形结合”意识，落实学生的直观想象、数学运算核心素养，实现作业设计的检测评价功能。

B组作业设计与课本教材中的例题6（2）、习题14.3中第9题相匹配，这组题既体现了知识的基础性，又体现了知识迁移与运用，题组的设计包含了数学中的分类讨论思想以及整体思想，学生在做题的过程中，数学逻辑推理以及数学运算的核心素养进行了落地。

第4题是对教材习题的变式改编，设计了开放性问题，引导学生从不同的角度来进行解答，帮助学生形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题的多样性，提升学生分类讨论能力和创新能力，启发学生“一题多一
题多解、一题多变、多解归一”地思考，引导学生优化解题思路；第5题则是在第4题的基础上结合完全平方式以及平方数的非负性进行了变式，同时n m 的计算也是对七年级上学期第一章乘方内容的复习巩固；第6题设计与二元一次方程组内容相结合，体现了知识的关联性，学生在做题时可以直接计算x、y 的值然后代入求解，也可以使用“整体思想”的方法来进行求解，通过做题方法的对比，使得学生自己体会到使用“整体思想”解决问题的优越性；第7题中（1）（2）题设计的共同点是再次凸显“整体思想”在因式分解计算中的优越性，除此之外第（1）题的结果存在分解不彻底的情况，导致计算错误。

C 组作业设计与课本教材中的习题14.3中第10题相匹配，是对这节课内容在实际问题中的综合运用的考查，这是一组选做作业，供层次中高的学生去完成。

第8题将云南省中考真题截取下来，第（2）问的证明学生可以从整数乘法、因式分解中的整体思想以及公式恒等变形等多个放学解答，问题的解法具有开放性，意在培养学生在面对实际问题时，学会从数学的角度理解问题、提出问题，同时综合运用所学的知识和技能分析问题、解决问题，提高备考的指导性。

C 组作业实现作业促进个性发展的功能，同时提高学生的交际能力，培养学生之间合作意识，促进学生间沟通的功能。

设计完成后笔者亲自做了一遍，更进一步对每类学生完成作业的时间和效果心中有数，预估学生全部完成作业所需时长预计30分钟以内。

只有控制时长，才能有效地遏制作业过重负担，才会促使我们教师在提高自身素质上下功夫，去力求通过40分钟的课堂教学来提高教学质量。

·作业设计反思及评价
A 组作业反馈：
第1题正确答案D.选择B 的学生错因分析为把因式分解与整式乘法混淆在一起；选择A、C 的学生错因分析为对因式分解定义不掌握。

第2题（1）的正确答案为()()3a y x y x +-，做错的学生错因分析为对因式分解的结果标准没有掌握，即因式分解要分解到不能再分解为止，大部分同学做到()223a x y -就结束了；第2题（2）的正确答案为()2
2y x y --，做错的学生错因分析为首对项有“负号”时的因式分解不知该如何处理，表现为要么不会做，
要么做到()2244y x y xy --+这一步就结束了，还有部分同学在做到()
2244y x y xy -+-这一步就结束了。

第3题的正确答案是B。

选择错误答案的同学大部分原因是死记公式法，对用几何图形来解释公式存在理解上的困难，还有部分同学不会计算图形面积。

后续辅导：针对A 组错题学生，需要教师或者同伴对个体进行个别指导、反馈，订正后进行二次改错，再巩固，帮助学生分析错因，总结注意事项，指导学生正确纠正，并出类似题目帮助学生练习，同时结合几何画板动画帮助学生理解图形，最终达成学习目标。

B 组作业反馈：
这组作业是对本节内容的提升运用，只有熟练掌握了本节课内容，才能较好完成这部分作业。

第4题正确答案是4x -或4x 或44x ，常见的错误是答案不完整，学生常见的答案为4x ，有一半的同学答案是4x -或4x ，只有极少数同学能完整写出了4x -或4x 或44x ，错因分析主要是对完全平方式的多项式结构理解不够彻底，对于2ab ±的分类讨论理解欠缺；第5题做错学生错因分析为发现不了可用22m m +及26n n -构造出完全平方公式来进行因式分解；第6题做错学生错因分析为无法解出二元一次方程或者解除后代入求值计算错误，而借助“整体思想”用平方差公式因式分解做出来的答案基本没啥错误；第7题（1）问的正确答案是()()22
11a a +-，学生的错误集中在用完全平方公式打开后，因式分解到()2
21a -或()()2211a a ⎡⎤+-⎣⎦就结束了，错因主要是对于因式分解最后的结果理解不透彻，即最后结果如果涉及幂的三大运算，一定要计算出来。

第7题（2）问的正确答案是()2
2m n +-，常见的错误是把式子打开后就不会分解了，错因主要是对于使用“整体思想”的方法来进行因式分解，学生仍然存在很大困难。

后续辅导：针对这组作业学生的错题，及时记录和整理学生的不同解法和典型错误，以便提升集体讲评效率并及时跟进诊断，并提倡学生自评、生生互评、师生互评的主体多元化评价，也为后面的教学活动实施和改进提供学情参考
C 组作业反馈
针对选做这组作业题学生的错误或者不完全正确的情况，进行小面积的集中进行思想、方法上的点拨，引导、启发其敢于尝试、自信完成、条理规范作答。

作为中考原题学生解题的积极性很高高，学生对于第（2）问至少有3种不同解法，分别为将()21n +直接打开
()22221121122n n n n n n +--++--==，或者使用“整体思想”因式分解
()()()221111122n n n n n n n +--+++--==，或者使用公式恒等变形即()()()
2222
1111222
2n n n n n n +-++--===.从不同角度思考问题解决问题形成“一题多解”，对比不同解法找出它们的本质形成“多解归一”。

作业评价将会对利用“优秀、良好、合格”三个等级对学生作业的过程、结果进行综合评价，以发展性的眼光看待学生的作业，以鼓励并教给学生良好的学习习惯与正确思维方法为原则，根据学生作业情况简写适当的个性化评语。