人教A版高中数学 必修五 2-5 第2课时 等比数列的前n项

等比数列的性质总结
1. 等比数列的定义：()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n m
n
m
a q
a -=
. 3. 等比中项
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
A ab =
或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅
4. 等比数列的前n 项和n S 公式：
（1）当1q =时， 1n S na =. （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q
S q
q
--==
--11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）
5. 等比数列的判定方法
（1）定义法：对任意的n ,都有1
1(0)n n n n n
a a a q q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列.
（2）中项公式法：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列. （3） 通项公式法：()0n
n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列
（
4
）
前
n
项
和
公
式
法
：
()11'',,','11
n n n n n a a
S q A A B S A B A A B A B q q =
-=-⋅=---或为常数⇔{}n a 为等比数列
6. 等比数列的证明方法
依据定义：若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -= 如奇数个数成等比，可设为…，22
,,,,a a
a aq aq q q
…（公比为q ，中间项用a 表示）；
8. 等比数列的性质
（1）当1q ≠时
①等比数列通项公式()1
110n n
n n a a a q q A B A B q
-==
=⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q . ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q
q q q
--=
==-=-⋅=-----，系数
和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q
（2）对任何,m n N *
∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当1m =时,便得到等比数
列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（3）若m n s t +=+ (,,,m n s t N *
∈),则n m s t a a a a ⋅=⋅.特别的,当2m n k +=时,得
2n m k a a a ⋅=
注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅ （4）数列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n
k
a ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k a
b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数)
均为等比数列.
（5）数列{}n a 为等比数列,每隔()k k N *
∈项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等比数列.
（6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列. （7）若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列.
（8）若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列
（9）①当1q >时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列 ②当01q <<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列
③当1q =时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）. ④当0q <时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*
N )时,
1
S S q
=奇偶. （11）若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+⋅
注意：解决等比数列问题时，通常考虑两类方法： ①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和q 的方程；
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
等比数列练习
一、选择题
1.已知数列4,,,121--a a 成等差数列, 4,,,1321--b b b 成等比数列，则2
1
2b a a -的值为( )
A 、2
1 B 、—2
1 C 、2
1或—2
1 D 、4
1
2.等比数列{}n a 中，1990,,n a a a >为方程2
10160x x -+=的两根，则205080a a a ⋅⋅的值为（ ）A ．32 B ．64 C ．256 D ．64±
3.已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）A ．8 B ．－8 C ．8± D ．9
8
4.某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是
（ ）
A ．公差为0的等差数列；
B ．公比为1的等比数列；
C ．常数数列1，1，1…；
D ．以上都不对.
5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132
310
l o g l o g l o g
a a a +++＝
（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋3log 5 6.已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则1
3
2a a a +等于（ ）
A. 4
B. 6
C.8
D.10
7.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，1060,S =则
8S 等于（ ）
A 、28
B 、32
C 、36
D 、40 8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.
21或2
1
- D.2或－2 9.已知等比数列{}a n 的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为( ) A.15 B ．17 C ．19 D ．21
10.设{}n a 是公比为正数的等比数列，若354,16a a ==，则数列{}n a 的前5项和为（ ） A ．15 B ．31 C ．32 D ．41
二、填空题
13.设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。

若3614,1s s a ==，则4a =
14.已知等差数列{}n a 满足：6,821-=-=a a 。

若将541,,a a a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 。

15.等比数列{}n a 的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{}n a 的前4项和4S = ___.
16.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n
，则n a =_______.
三、解答题
17.（1）在等差数列{}n a 中，16412,7a a a +==，求n a 及前n 项和n S ； （2）在等比数列{}n a 中，,2
198
,2763==S S ，求n a ．
18.为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。

据初步统计，到2012年底库区的绿化率只有30%。

计划从2013年开始加大绿化造林的力度，每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的16%将被造林绿化，但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。

设该地区的面积为1，2012年绿化面积为10
3
1=a ，经过一年绿化面积为a 2，…，经过n 年绿化面积为.1+n a
（I ）试写出n n a a 与1+的关系式，并证明数列}5
4{1-+n a 是等比数列； （II ）问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过60%？
19.已知等比数列,8
3
,12}{83=
=a a a n 满足记其前n 项和为.n S （1）求数列}{n a 的通项公式n a ； （2）若.,93n S n 求=
20.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2
l o g
=，
且.0,6531531==++b b b b b b
（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式；
（3）试比较n a 与n S 的大小.
21.等比数列{}a n 的前n 项和为S S S S n ，3692+=，求公比q 。

22.设数列{}a n 的前n 项和n S ，且*)(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-. 其中m 为常数，且.0,3≠-≠m m
（Ⅰ）求证{}a n 是等比数列；
（Ⅱ）若数列{}a n 的公比)(m f q =，数列{}n b 满足)2,)((2
3
,111≥∈==-n N n b f b a b n n ， 求证}1
{n
b 为等差数列，并求n b . 答案 一、选择题
1.A
2.B
3.B
4.B
5.B
6.C
7.B
8.B
9.A 10.B 二、填空题 13.3 14.-1 15.152
16.1
2-n 三、解答题
17.解析：（1）数列{}n a 是等差数列，因此124361=+=+a a a a ， 由于74=a
122)3(52,53-=⋅-+=∴=∴=∴n n a d a n
又2122
)
1(,1n n n n S a n =⨯-+
=∴= （2）q q a S --==1)1(27313 q
q a S --==1)1(98616由 32813
36==+=q q S S 得
所以2671=
a ，1326
7
-⨯=
n n a 18.解析：（I ）设2012年坡度在25°以上的坡荒地面积为b 1，经过n 年绿化造林后坡荒地面积为.1,1=++n n n b a b 则
由).54
(5454,2545411-=-+=
++n n n n a a a a 得 所以数列.5
4
,2154}54{11为公比的等比数列为首项是以-=--+a a n
（II ）由（I ）可知.)54(21541n n a ⋅-=+ .5
2
)54(%,60)54(2154<>⋅-n n 则若
234555424161024642
,(),(),
5552525551255425625024102462522(),(),562562555555
442(),5,().
555
x n y n >=>===⨯=>==<==≥<因为又是减函数所以当时故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。

19.解析：（1）设等比数列}{n a 的公比为q ，则
⎪⎩
⎪
⎨⎧====,83,127
18213q a a q a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==,21,
481q a
所以.)2
1
(4811
1--⋅==n n n q
a a
（2）])21(1[962
11]
)21(1[481)1(1n n
n n q q a S -=--=--=
由.5,93])2
1(1[96,93==-=n S n
n 解得得
20.解析：（1）由已知q a a b b n
n n n log log 1
2
1==-++为常数.故数列{}n b 为等差数列， 且公差为.log 2q d = （先求q 也可）
（2）因0log ,11211>=⇒>a b a ，又263531=⇒=++b b b b ，所以.05=b
由.291,40
4,22211513⎩⎨⎧-=⇒-==⇒=+==+=n n S d b d b b d b b n
由*511212,221
,164
log 1log N n a q a a b q d n n ∈=⇒==⇒⎩⎨⎧==-==-.
（3）因,0>n a 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时，n n S a >；
又可验证2,1=n 是时，n n S a >；8,7,6,5,4,3=n 时，n n S a <. 21.解析：若q =1
则S a S a S a 319161396===，，
∴=⨯≠9290
111a a a
∴矛盾
∴≠∴--+--=⋅
--∴--=≠∴--=∴+-=q a q q a q q a q q
q q q q q q q q 1
1111211210
21021101316193
6
3
6333()()()
()()()
q q q ≠∴+=∴=
-12104
2
33 说明：此题易忽略q =1的情况，在等比数列求和时要分公比q q =≠11和两种情况进行讨论。

22.解析：（Ⅰ）由32)3(32)3(11+=+-+=+-++m ma S m m ma S m n n n n 得，两式相减得
n n ma a m 2)3(1=++ …………3分 3
2301+=
∴
-≠≠+m m
a a m m n n ，且， ∴{a n }是等比数列 …………6分
（Ⅱ）b 1=a 1=1，时且，23
2)(≥∈∴+=
=n N n m m
m f q ， 3
111,33,3223)(23111111=-=++⋅==
------n n n n n n n n n n b b b b b b b b b f b ……10分 ∴}1
{
n
b 是1为首项31为公差的等差数列
∴2
3
,323111+=
∴+=-+=n b n n b n n …………14分。