人教版八年级数学上册教学课件- 课题学习 最短路径问题-PPT
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x=2
B·
M
A·
·C
Hale Waihona Puke PB··M
· · ┐
A
C
2、（2017年乌鲁木齐）如图，点A（a,3),B（b,1）都在双曲线 C,D分别是X轴，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为
y
（
x
3
上,点 ）
y
·
A'
┐ AA（9，3）
DD
· BB（3,1）
┐
o CC
x
B'
y
· ·A' ┐ A
·C
o
· ·┐B · D
l
C点就是所求作的点。
B
（三）难点突破
问题1： No Image
若点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决
所走路径最短的问题？
B
A
l
No Image
（四）指导作法 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C,
则点C 即为所求．
A C
B
┐ l
B′
B'
x
15 、能做的只有站在自己的位置，扮演好各自的角色。 7 、自卑的人，总是在自卑里埋没的自己，记住，你是这个世界上唯一的。 9 、每个人在成功之初都会遇到各种困难。但失败是成功之母，只有经历失败的洗礼，才能有丰富的成功。要珍惜每个人的态度，再平凡的人 也有自己的主见，也会决定你的质量。
15、伟大的梦想让成就随之成长，渺小的希望让你永落人群之后，相信自己，就必然会做到;一切都由意识掌控。如果自认高人一等，就一定 出类拔萃。
B B 抽象成 A A
l
实际问题
C
l
数学问题
思考1：在直线l上是否存在一点C,满足AC+BC的值最小？
（一）学生作品展示
No Image
No Image
（二）联想基本模型
现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到
一个点C，满足AC+BC的值最小？
A
C
解：连接AB,与直线l相交于一点C.
八年级数学上册第13章
课题学习最短路径
难点名称：1、将军饮马问题中通过作一个定点的对将同 侧点转化为异侧点。
2、搭桥建址问题中将两条平行线转化成一条直线。
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小结
2
一、导入 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到
B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
（一）将军饮马历史背景
这是古罗马著名的“将军饮马”问题，我国唐代诗人李颀的《古从军行》“白日 登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗句中就隐含这个问题，由于问题自身的趣味性、 实践性被引入人教版八年级教材。
B 抽象成 A
l
实际问题
B A
C
l
数学问题
（三）中考链接
1、（2015年新疆）如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B.抛物线 y=a(x-2)2+k经过A,B两点并与x轴交于另一点C,其顶点为P. （3）抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△ABM的周长最小？若存在，求 △ABM的周长；若不存在，请说明理由。
a
N
.b E
·B
形成解题思路 不共线的线段和最小值
轴对称 平移
同侧点
异侧点
两点之间线段最短 问题解决
三、拓展
（湖北咸宁）如图，P(m,n)是抛物线
y
1 4
x2
1
上任意一点，直线是
过点（0，-2）且与X轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l,垂足为H。
（2）对任意m，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想；（OP=PH）
12 、爱夸海口的人，工作往往往落空。 14 、人生，因为你的成就不够多，所以别人才会看不起你。因为你的成就不够高，别人才会忽视你，因为你的道德不高，别人才会欺负你。 因为你的情感不够完美，别人才会嘲笑你。人生，没有人是完美的。人生正是一个走向完美的过程。外界的评价与你所做的成就成正比。
8、不是某人使我烦恼，而是我拿某人的言行来烦恼自己。 9 、坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的。 5 、无论生活怎样，无论现实有多难，无论绽放有多远。不要忘了你曾经对自己许下的诺言。 11 、人都是有思想，有自尊的，尽管在地位、财富、容貌、能力方面可能千差万别，但在精神上，只要他是一个心智健全的人，对别人的鄙 夷和嘲笑是比较敏感的，任何一句不负责任的话语都有可能使他深受伤害，甚至毁了他的前程。所以，我们都要恪守为人最起码的原则：不要 笑话别人。
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
A
C C'
┐ l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
B′
即 AC +BC 最短．
（六）形成解题思路 不共线的线段和最小值
轴对称
同侧点
异侧点
两点之间线段最短 问题解决
变式：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座 桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
（4）已知M（1,2）试探究在该抛物线上是否存在点N，使得MN+NO取得最小
值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
No
Image
No
Image
形成解题思路
不共线的线段和最小值
轴对称 平移 旋转
同侧点
异侧点
两点之间线段最短 问题解决
在变化的背景中剥离基本图形，抓住不变的核心特 征，确定定点和定线，利用轴对称、平移、旋转等图 形变换，把同侧点转化为异侧点，实现“折转直”， 从而解决线段和最小值问题。
谢谢您的聆听
用所学的知识论证AM+MN+NB的值是最小的.
要证明AM+MN+NB是最小，只需证明AM'+M'N'+N'B＞AM+MN+NB即可
分析：
AM'+M'N'+N'B AM+MN+NB A·
AM'+N'B AM+NB
M.
a
AM'+M'E AM'+M'E
AM+ME
AE
N
.b E
·B
三、解题价值与推广
（五）论证结论
思考2： No Image
你能用所学的知识论证AC
+BC的值是最小的吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，C'B'
根据垂直平分线的性质得：
B
BC =B′C， BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
4 、有很多烦恼和痛苦是很容易解决的，有些事只要你肯换种角度、换个心态，你就会有另外一番光景。所以，当我们遇到苦难挫折时，不妨 把暂时的困难当作黎明前的黑暗。
A·
M
a
N
b
·B
作法：
1、将点B沿垂直的方向平移一个河 宽的距离到E 2、连接AE交河对岸于点M 则点M为建桥的位置，MN为所建的 桥
A·
.M
N
a
.b E
·B
用所学的知识论证AM+MN+NB的值是最小的.
要证明AM+MN+NB是最小，只需证明AM'+M'N'+N'B＞AM+MN+NB即可
A·
M.
B·
M
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·C
Hale Waihona Puke PB··M
· · ┐
A
C
2、（2017年乌鲁木齐）如图，点A（a,3),B（b,1）都在双曲线 C,D分别是X轴，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为
y
（
x
3
上,点 ）
y
·
A'
┐ AA（9，3）
DD
· BB（3,1）
┐
o CC
x
B'
y
· ·A' ┐ A
·C
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· ·┐B · D
l
C点就是所求作的点。
B
（三）难点突破
问题1： No Image
若点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决
所走路径最短的问题？
B
A
l
No Image
（四）指导作法 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C,
则点C 即为所求．
A C
B
┐ l
B′
B'
x
15 、能做的只有站在自己的位置，扮演好各自的角色。 7 、自卑的人，总是在自卑里埋没的自己，记住，你是这个世界上唯一的。 9 、每个人在成功之初都会遇到各种困难。但失败是成功之母，只有经历失败的洗礼，才能有丰富的成功。要珍惜每个人的态度，再平凡的人 也有自己的主见，也会决定你的质量。
15、伟大的梦想让成就随之成长，渺小的希望让你永落人群之后，相信自己，就必然会做到;一切都由意识掌控。如果自认高人一等，就一定 出类拔萃。
B B 抽象成 A A
l
实际问题
C
l
数学问题
思考1：在直线l上是否存在一点C,满足AC+BC的值最小？
（一）学生作品展示
No Image
No Image
（二）联想基本模型
现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到
一个点C，满足AC+BC的值最小？
A
C
解：连接AB,与直线l相交于一点C.
八年级数学上册第13章
课题学习最短路径
难点名称：1、将军饮马问题中通过作一个定点的对将同 侧点转化为异侧点。
2、搭桥建址问题中将两条平行线转化成一条直线。
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小结
2
一、导入 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到
B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
（一）将军饮马历史背景
这是古罗马著名的“将军饮马”问题，我国唐代诗人李颀的《古从军行》“白日 登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗句中就隐含这个问题，由于问题自身的趣味性、 实践性被引入人教版八年级教材。
B 抽象成 A
l
实际问题
B A
C
l
数学问题
（三）中考链接
1、（2015年新疆）如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B.抛物线 y=a(x-2)2+k经过A,B两点并与x轴交于另一点C,其顶点为P. （3）抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△ABM的周长最小？若存在，求 △ABM的周长；若不存在，请说明理由。
a
N
.b E
·B
形成解题思路 不共线的线段和最小值
轴对称 平移
同侧点
异侧点
两点之间线段最短 问题解决
三、拓展
（湖北咸宁）如图，P(m,n)是抛物线
y
1 4
x2
1
上任意一点，直线是
过点（0，-2）且与X轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l,垂足为H。
（2）对任意m，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想；（OP=PH）
12 、爱夸海口的人，工作往往往落空。 14 、人生，因为你的成就不够多，所以别人才会看不起你。因为你的成就不够高，别人才会忽视你，因为你的道德不高，别人才会欺负你。 因为你的情感不够完美，别人才会嘲笑你。人生，没有人是完美的。人生正是一个走向完美的过程。外界的评价与你所做的成就成正比。
8、不是某人使我烦恼，而是我拿某人的言行来烦恼自己。 9 、坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的。 5 、无论生活怎样，无论现实有多难，无论绽放有多远。不要忘了你曾经对自己许下的诺言。 11 、人都是有思想，有自尊的，尽管在地位、财富、容貌、能力方面可能千差万别，但在精神上，只要他是一个心智健全的人，对别人的鄙 夷和嘲笑是比较敏感的，任何一句不负责任的话语都有可能使他深受伤害，甚至毁了他的前程。所以，我们都要恪守为人最起码的原则：不要 笑话别人。
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
A
C C'
┐ l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
B′
即 AC +BC 最短．
（六）形成解题思路 不共线的线段和最小值
轴对称
同侧点
异侧点
两点之间线段最短 问题解决
变式：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座 桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
（4）已知M（1,2）试探究在该抛物线上是否存在点N，使得MN+NO取得最小
值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
No
Image
No
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形成解题思路
不共线的线段和最小值
轴对称 平移 旋转
同侧点
异侧点
两点之间线段最短 问题解决
在变化的背景中剥离基本图形，抓住不变的核心特 征，确定定点和定线，利用轴对称、平移、旋转等图 形变换，把同侧点转化为异侧点，实现“折转直”， 从而解决线段和最小值问题。
谢谢您的聆听
用所学的知识论证AM+MN+NB的值是最小的.
要证明AM+MN+NB是最小，只需证明AM'+M'N'+N'B＞AM+MN+NB即可
分析：
AM'+M'N'+N'B AM+MN+NB A·
AM'+N'B AM+NB
M.
a
AM'+M'E AM'+M'E
AM+ME
AE
N
.b E
·B
三、解题价值与推广
（五）论证结论
思考2： No Image
你能用所学的知识论证AC
+BC的值是最小的吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，C'B'
根据垂直平分线的性质得：
B
BC =B′C， BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
4 、有很多烦恼和痛苦是很容易解决的，有些事只要你肯换种角度、换个心态，你就会有另外一番光景。所以，当我们遇到苦难挫折时，不妨 把暂时的困难当作黎明前的黑暗。
A·
M
a
N
b
·B
作法：
1、将点B沿垂直的方向平移一个河 宽的距离到E 2、连接AE交河对岸于点M 则点M为建桥的位置，MN为所建的 桥
A·
.M
N
a
.b E
·B
用所学的知识论证AM+MN+NB的值是最小的.
要证明AM+MN+NB是最小，只需证明AM'+M'N'+N'B＞AM+MN+NB即可
A·
M.