湖南省陶铸中学高二数学上学期期中考试试卷

湖南省陶铸中学2008-2009学年度高二数学上学期期中考试试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、下列四个命题：①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若22,ac bc a b >>则”的逆命题；④若“m>2,220x x m R -+>则不等式的解集为”.其中真命题的个数为( )
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 2、 已知命题p ：R x ∈∀，1cos ≤x ，则（ ）
A. 1cos ,:≥∈∃⌝x R x p
B. 1cos ,:≥∈∀⌝x R x p
C. 1cos ,:00>∈∃⌝x R x p
D. 1cos ,:>∈∀⌝x R x p
3、. 椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的两个焦点F 1，F 2，点M 在椭圆上，且211F F MF ⊥，
341=
MF ，3
142=MF ，则离心率e 等于（ ） A.
85 B. 65 C. 45 D. 3
5 4、椭圆12222=+b
y a x 和k b y a x =+22
22()0>k 具有（ ）
A ．相同的离心率
B ．相同的焦点
C ．相同的顶点
D ．相同的长、短轴
5、设y a a a x ,,,,321成等差数列，y b b b b x ,,,,,4321成等差数列，则
1
41
3b b a a --的值是（ ）
A ．
65 B ．54 C ．43 D ．3
2 6、 已知锐角三角形三边分别为3，4，a ，则a 的取值范围为（ ） A ．15a << B ．17a <<
C 5a <<
D 7a <<
7、在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形
8、在约束条件0024
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当5s 3≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是
（ ）
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
9、已知二次函数f (x )=a (x －m )(x －n )()m n <，若不等式()0f x >的解集是(,)m n 且不等式
()20f x +>的解集是(,)αβ，则实数m 、n 、α、β 的大小关系是( )
(A) m ＜α＜β＜n (B)α＜m ＜n ＜β (C)m ＜α＜n ＜β
(D)α＜m ＜β＜n
10、在三角形ABC 中,已知A 60︒=,b=1,
则sin sin sin a b
c
A B c
++++为
( )
A.
11、在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 为（ ） A ．22.5- B ．21.5- C ．20.5- D ．20-
12、已知命题p ：实数m 满足01≤-m ，命题q ：函数x
m y )49(-=是增函数。

若q p ∨为
真命题，q p ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A.（1，2） B.（0，1） C. [1，2] D. [0，1]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题
βα//:q ， 则q p 是的 条件。

14、设,x y 满足2
214
x y +=，则22(1)k x y =-+的最大值为 。

15、在ABC ∆中，
若三个内角A 、B 、C 成等差数列，且2=b ，则ABC ∆外接圆半径为 。

16、两个等差数列{}{},,n n b a
,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则5
5b a
=__________________.
陶铸中学08-09学年高二上学期期中考试数学试题
（答卷）
一、 选择题（满分60分）
二、填空题（满分20分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）
已知命题P ： “若0ac ≥，则二次方程2
0ax bx c ++=没有实根”. (1)写出命题P 的否命题； (2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论.
18、（本小题满分12分）
已知一个动圆与圆C ：22
(4)100x y ++= 相内切，且过点A （4，0），求这个动圆圆心的
轨迹方程。

19、（本小题满分12分）
在等比数列}{n a 中，*)(0N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ， 252825351=++a a a a a a ， 且
2是3a 与5a 的等比中项，⑴求数列}{n a 的通项公式；⑵设n n a b 2log =，数列}{n b 的前n 项
和为n S ，当n
S S S n +++ 212
1最大时，求n 的值.
20（本题满分12分）、
某玩具厂生产x 套2008年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为P 元，且
211000510P x x =++
，而每套售出的价格为Q 元，其中x
Q=a+b
()a , b R ∈， （1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？ （2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为
30元，求a , b 的值．（利润 = 销售收入 — 成本）
21、（本小题满分12分）
要将两种大小不同的钢板截成Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
22．(本题满分12分)
已知二次函数2
()f x ax bx =+满足条件:
① (0)(1)f f =; ② ()f x 的最小值为1
8-
. (Ⅰ) 求函数()f x 的解析式;
(Ⅱ) 设数列{}n a 的前n 项积为n T , 且
()
45f n n T ⎛⎫= ⎪
⎝⎭, 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 在(2)的条件下, 若
5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 试问数列{}n b 中第几项的值最小? 求
出这个最小值.
（答案）
13、必要而不充分 14、
3
3
2 15、14 16、1265
17、解:(1)命题P 的否命题为:“若ac<0,则二次方程
02=++c bx ax 有实根”. (2)命题P 的否命题是真命题. 证明如下:
,04,0,02>-=∆⇒>-∴<ac b ac ac ⇒二次方程02=++c bx ax 有实根.∴该命题是
真命题.
18、解：设动圆圆为M(x,y),半径为r, 那么;||10||||10||MC r
MC MA MA r =-⎧⇒+=⎨
=⎩
,|AC||=8
因此点M 的轨迹是以A 、C 为焦点，长轴长为10的椭圆．
a=5,c=4,b=3,其方程是：22
1259x y +=．
19、解：（1）由252825351=++a a a a a a 得235()25a a +=得355a a += 因为453=a a 得
354,1a a == 求得1
2
q =
所以52n n a -=； （2）2log 5n n b a n ==-所以2
92
n n n S -=
92
n S n
n -= 所以n S S S n +++ 2121最大为89n =或者
19、解析：（1）由3201x x +-
≥+得1
01
x x -≥+所以11x x <≥或 故()[),11,A =-∞-+∞
（2）因为()()120x a a x --->又因为1a <所以21a a <+，所以()2,1B a a =+，又因为B A ⊆，所以21a ≤或11a +≤-。

所以1
2
a ≥
或2a ≤-。

所以实数a 的取值范围是(]1,2,12⎡⎫
-∞-⎪⎢⎣⎭
20、解（1）每套“福娃”所需成本费用为
2
11000510
11000 5
10 525
x x p x
x x x ++
==++≥=
当
x
x 1000101=， 即x =100时，每套“福娃”所需成本费用最少为25元. （2）利润为=Qx-P =（
2
11)(5)100010x a x b -+--
由题意，5150112()
10
150
30a
b a b -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩
解得 a = 25， b= 30.
21．解: 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则2152183270,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪
⎨+≥⎪⎪≥≥⎩，，，，
作出可行域（如下图）：（阴影部分） 目标函数为z=x+y
作出一组平行直线x+y=t,其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x+3y=27和直线2x+y=15的交点A （
539,518），直线方程为x+y=5
57
． 由于
539516和都不是整数，而最优解（x,y ）中，x,y 必须都是整数，可行域内点（5
39
,518）,不是最优解．
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它
们都是最优解．
答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法 是截第一种钢板3张．第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
22. 解: (Ⅰ)题知: 2
00148a b a b a ⎧
⎪+=⎪⎪>⎨⎪⎪-=-
⎪⎩ , 解得12
12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ,
故211
()22
f x x x =-.
(Ⅱ)22
12
45n n n n T a a a -⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
,
2(1)(1)
2
112
14(2)5n n n n T a a a n -----⎛⎫==≥ ⎪
⎝⎭
,
1
14(2)5n n n n T a n T --⎛⎫
∴==≥ ⎪
⎝⎭
,
又111a T ==满足上式. 所以1
4()5n n a n N -*⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
.
(3) 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 则25()n n n f a b a ⨯=+,
从而21110()22n n n n a a b a -=+, 得2
239565()55n n n n b a a a =-=--.
因为1
4()5n n a n N -*⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭是n 的减函数, 所以
当35n a ≥, 即3()n n N *
≤∈时, n b 随n 的增大而减小, 此时最小值为3b ;
当35n a <, 即4()n n N *
≥∈时, n b 随n 的增大而增大, 此时最小值为4b .
又3433
55
a a -<-, 所以34
b b <,
即数列{}n b 中3b 最小, 且2
22
3442245655125b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.。