(整理)考研数学最后9天复习精要汇总

1st Day
1、渐近线方程：
⑴，其中为一个奇点，此时存在垂直渐近线：；
⑵，则存在水平渐近线：；
⑶；此为一般渐近线；
2
3、, .
4、.
5、常见等量无穷小：.
6、当积分区间都相同时，且被积函数均为正值时，比较被积函数大小即可比较积分大小；
7、拉普拉斯展开式：，其中称为代数余子式；
8、按异行余子式展开的行列式，其值为零。

即：
9、若存在一个，使得，则称为矩阵的一个特征值；为特征向量，且特征向量是非零向量；行列式称为矩阵的特征多项式，且称为矩阵的特征方程.
10、二次型函数，称为该二次型函数的矩阵；称为二次型的标准型；其中，为可逆矩阵.
当且仅当，时，为矩阵的特征值，则，称为正交变换；
若再令，则得到，称为二次型的规范型，规范型唯一；
其中，含有个正数，称其为正惯性指数，含有个负数，称其为负惯性指数，注意的秩为.
11、互不相容事件：；补事件（对立事件）记作.
独立性：若事件与事件相互独立，则有：⑴；⑵；
12、指数分布：
⑴密度函数：；；
⑵分布函数：；
⑶；；
⑷具有无记忆性，即；有；
13、正态分布：
⑴一般式：密度函数：；记作，；1
⒈；；标准差；
⒉分布函数：；
⒊变形：；当时，为正态密度函数；为常数；
⑵标准式：当时，即称为标准正态分布；
⒈密度函数是偶函数；
⒉当时，取得最大值；分布函数；2
⒊；
⑶性质：
⒈；⒉；
⒊若与均服从正态分布，且相互独立，则：；
⒋原则：取值总是在之内，若超出该范围，则认为是异常；
14、如果对于随机变量的分布函数，存在非负函数，使得对于任意实数，均有
，则称为连续型随机变量，为概率密度函数，.
⑴；⑵；⑶.
15、关于多元函数求偏导数的问题，应注意以下两点：
①若函数，但；仅可表示为
②因此，；
1念；念
2念
③因此，即使已知，亦不能得知和的表达式，因为我们不知道函数的表达式；
16、带皮亚诺余项的麦克劳林公式：
①.
②.
③.
17、.
18、三角函数替换法：
⑴含有因子的，可令；三角法则：；
⑵含有因子的，可令；三角法则：；
⑶含有因子的，可令；三角法则：；
19、直线：与原点距离为，法线与轴正向夹角为的直线方程为：；
20、.
21、离散型卷积公式：若
⑴；
⑵若与相互独立，则；
22、二点分布是二项分布的简化：；
⑴；⑵；
23、等价无穷小：.
24、诱导公式
①若，为整数，为三角函数，则.
②若，为整数，为三角函数，则
③正负号法则：把看成锐角时，为正则为正，为负则为负；
25、个变量和多重约束下的最优化3：
一阶条件：；
26、圆的一般方程：
⑴；
⑵圆的极坐标方程：
3如果使用，则拉格朗日乘数前应为负号，这切不可弄错；
⒈圆的边通过原点；
⒉；
27、；
28、⑴；
⑵；
29、魏尔斯特拉斯替换：令
30、无穷级数：
①无穷级数的前项的部分和，若，则称级数
收敛；反之则称为发散；
②是常数；
③若两级数和均收敛，则也收敛；
④若两级数，一个收敛，一个发散，则发散；
⑤若两级数均发散，则不能确定其敛散性，必须具体讨论；
⑥只是级数收敛的必要但非充分条件，即不满足此条件的一定发散，但满足此条件的却未必收敛；
⑦两个重要级数：
⑴几何级数：设和是常数，且，则当时收敛；当时发散；
⑵级数：，当时收敛；当时发散；
31、
32、二阶线性常微分方程：
一般形式：；齐次方程：；
①解的叠加原理：若函数和分别是下面两个方程的解.
则是方程的解.
②方程的任意两个解的差是齐次方程的解；而齐次方程的任意两个解的线性组合仍是齐次方程的解.
③齐次方程的通解：是由其两个线性无关的特解线性组合而成。

若和分别是齐次方程的两个线性无关解，即，则齐次方程的通解为：是常数.
④非齐次方程的通解：由该方程的一个特解和对应的齐次方程通解相加而成，即
33、二阶常系数线性微分方程：
一般形式：；其中是实数，且，是连续函数；
当时，便得到齐次方程：；其通解是由特征方程的根所决定.
特征方程：
①当时，特征方程有相异实根，则其通解为：.
②当时，特征方程有两重特征根，其通解为：.
③当时，特征方程有共轭复根记为，其通解为：
④非齐次方程的通解同样为一个特解加齐次通解.
34、求特解的待定系数法：设二阶微分方程简化形式为
①可以利用叠加原理把拆分成几个简单函数来计算；
②若为次多项式：
⑴当不是特征根时，设，将中常数换成待定系数来求；
⑵当是特征方程的单根时，设.
⑶当是特征方程的重根时，设.
③若，表示次多项式.
⑴当不是特征根时，设.
⑵当是特征方程的单根时，设.
⑶当是特征方程的重根时，设.
④若.
⑴当不是特征根时，设.
⑵当是特征根时，设.
35、以一个标量乘到矩阵中的某一个行，则；
36、由或构成的事件：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
37、分布：设，且相互独立，则
即标准正态分布的平方和服从分布.
38、分布：设，且相互独立，则.
2nd Day
1、来自总体的个相互独立且与总体同分布的随机变量称为简单随机变量.
2、正态分布性质：若相互独立，则.
3、.
4、设在点具有偏导数，且在处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零.即. 若其还存在两阶偏导数，则令,
，则：
①，且当时取极小值，当时取极大值；
②，不是的极值点；
③，无法确定；
5、莱布尼兹判别法：设交错级数满足：
①；②. 则收敛，且其和满足.
6、几何分布：在重伯努利试验中首次成功出现在第次试验的概率，记：
①；②；
③具有无记忆性：；
7、常用统计量：
①样本均值：，具有性质.
②样本方差：，具有性质.
③样本标准差：，但要注意的是一般情况下，.
④阶样本原点矩：.
⑤阶样本中心矩：.
⑥特别的二阶样本中心矩
8、正态分布样本均值.
9、.
10、例：求解；
①因为分子的次数大于分母，因此必须做长除：；
②分解分母：；
③令；
④按线性因子归零原则在定义域内可自由定义值，从而求出；
；；
⑤原积分可拆分为：
11、幂级数的收敛半径：幂级数满足：, .则为幂级数的收敛半径，为幂级数的收敛区间；
12、
.
发散
13、不同的特征值所对应的不同的特征向量线性无关.
14、矩阵中存在.
15、当时极限的保号性质：
①若，则存在，使得当时.
②若两极限均存在，且存在，使得当时成立，则
.
16、①.
②.
③.
17、①定理：如果函数为上的一个可微函数，且有，则必有
；
②定理证明：令
⒈若；为常数；
⒉若，则必然存在或者至少有一个不等于；
假设；则必然存在一个；使得；
因为已构成一个局部极大点，所以；定理.
③定理推论：若存在一个4，且；则必然
存在一个最大点，使得；因此；
18、数学期望：
⑴；⑵；⑶；
⑷；⑸；
⑹；⑺若与相互独立，则；
19、方差：
⑴；⑵标准差：；
⑶；⑷；⑸；
⑹；
⑺若与相互独立；
20、协方差：
⑴；⑵；
⑶；
⑷；
⑸；相关系数5；
⑹若与相互独立；
⑺与相互独立；只能与不相关，因为可能存在非线性的可能；
21、均匀分布[连续型]：上，并且以相等的概率取区间中的任何一点，记作；
⑴概率密度函数；⑵概率分布函数；
⑶；；⑷两元均匀分布：；
22、二项分布[离散型]：在重伯努利试验中，事件出现次的概率，记：；
⑴；；；
⑵；
⑶二点分布是二项分布的简化：；
4念//
5念
⒈；⒉；
23、条件概率：；
24、离散型卷积公式：若
⑴；
⑵若与相互独立，则；
25、绝对收敛：满足级数收敛；条件收敛：满足收敛，而发散；
绝对收敛则级数一定收敛，故一般先判断其绝对级数的收敛性；
26、比较判别法：正项级数和.
①当时，，是正常数，则收敛，也收敛；而发散，则发散；
因此，要证明其收敛的，要找比它大的数；要证明其发散的，要找比它小的数；
②当时，，则敛散性判断同上；
③，若收敛的话，满足；若发散的话需满足；
27、比值判别法：正项级数，当时，，当时，级数收敛；
根值判别法：正项级数，当时，，当时，级数收敛；
①不满足时，均为发散；若，则必有，反之则不一定；
②这两种判别法都是将正项级数与等比级数进行比较而得出的判别法；
即几何级数：设和是常数，且，则当时收敛；当时发散；
28、判别法：正项级数，当时，，当，收敛；这种判别法是将级数与级数进行比较而得到的；即级数：，当时收敛；当时发散；
29、幂级数求和问题：
①考察求导后是否可以直接进行求和，若可以则应先求导，再求和后重新进行积分；
②若直接求导后亦不宜求和，则应考察将原级数进行拆分变形，凑其宜求导求和；
③举例：，其收敛域为，
30、幂级数的收敛半径：幂级数满足：, .则为幂级数的收敛半径，为幂级数的收敛区间；
31、不同特征值有不同的线性无关的特征向量，若只有一个线性无关的特征向量，则说明其必然只有一个特征值，其他均是相同的重根.
32、.
33、在试图判断之间的关系时，可以使用麦克劳林公式.
34、有理函数的分解：
①将多项式分解为线性函数，即次数为1的多项式，即
②包含重因子的有理函数处理方法，即
③包含二次因子的有理函数处理方法，即
且需满足，即无解，若有解的话，就可以拆分成第一种形式. 其中的解为.
在求上述待定系数时，可以用复数，令.
35、.
36、.
37、正交变换标准形：；；求出特征向量；若是不同的特征值求出的特征向量之间是正交的，而重根求出的特征向量是不正交的，需要进行正交化：
①令
②
③标准正交化特征向量的性质：；
38、条件概率：；在求解非相互独立的两个联合分布时非常有用；
39、边缘概率密度：
40、边缘概率分布：
注意：当与存在某种函数关系时，实际求和的有效最大取值应是将所求取值作为给定的变量，从而求出应变量的关系式，来作为实际最大有效取值. 比如，在
中实际求和区间应该是根据来求，即到. 41、二项式公式：；
3rd Day
1、条件收敛的交错级数具有重要的性质：与均发散；
此外交错级数未必需要从某项开始单调递减，但反之一定条件收敛；
2、超几何分布：
当总数来说很大时，则超几何分布可以近似服从二项分布，即
3、泊松分布：；
①；
②；
③二项分布的泊松逼近：当很大，很小，是一个不大的数时，可以作为二项分布的近似，即：
④随机变量；且相互独立，，则：
⑴；⑵；
4、伯努利试验场的隶莫弗－拉普拉斯定理：设为相互独立同分布的随机变量序列，且
；；，则服从中心极限定理，即对有
这个定理说明了如果，当时，二项分布服从正态分布.
4、一阶常系数线性差分方程：一般形式：；齐次方程形式：；
①齐次方程的通解形式为：，其中是任意常数，一般可由得到一个特解，即；
②非齐次方程通解为：
③求解：为次多项式，其他均为待定系数；
⑴若的形式为，则当时，令形式为，当时，令形式为
；然后将代回原方程中，令其为然后求出待定系数，构成完整的后，再代入通解中，获得完整通解形式；
⑵若的形式为，则当时，令形式为，当时，令形式为；
⑶若的形式为，则直接令形式为；
需注意的是，当时，.
5、常微分方程
①变量可分离的方程：；
②齐次方程：
；将代回，得到通解；
③准齐次方程：
；将代回，得到通解；
④准齐次方程：；
⑴
可将方程化为第一种变量可分离方程来解；
⑵；
则原方程可化为第二类齐次方程，进而求解；
⑤全微分方程：
；
最后将表达式中的改为即可；
⑥线性方程：；
6、切比雪夫不等式：设随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数
，恒有不等式
7、拉格朗日（）中值定理：在处连续，在处可导，则至少存在一点；
8、将一个幂级数展开一般有两种方式，一种是直接法，即直接按照麦克劳林公式进行展开，并证明其展开式收敛到函数；另一种方法称为间接法，即把函数进行适当的变形，使之符合一些常见初等函数展开式或再借助逐项微积分等手段；但在使用积分时，需要注意的是，积分不会改变幂级数的收敛半径，但积分所得的幂级数却有可能在收敛区间的端点处从发散变为收敛，因此，需要确定幂级数展开式的成立范围时加以对端点处的适用性，即对这两个端点上进行检验是否收敛，若收敛则应把适用范围区间扩大到闭区间。

9、常用的幂级数展开式：
①；
②. ；
③. ；
④. ；
⑤；
⑥；当
时，处不收敛；
10、若任意维向量均可以由一组向量线性表出，则说明该组向量构成一组维极大线性无关组，即一组维的基；
11、常用两维连续随机变量的连续褶积公式：
①；
②令
③；
④；
⑤；
⑥；
12、矩估计值：
①先求出总体样本的数学期望；然后再求出参数关于期望的函数，即.
②求出样本均值并代入，令，得到，即为矩估计值；
13、最大似然函数：，其中为所求的最大养本数；然后求最值
14、经验分布函数，等于样本观察值中不超过的个数与样本容量数之间的比；具体来说就是在不同的不同的分布区间中采用类似分布函数一样的统计方法来进行归类。

4th Day
1、，则称为阶（同阶）无穷小量；若则称为高阶无穷小量；若则称为为等阶无穷小；
2、当积分区域相同时，积分函数大小由被积函数大小来决定，而与其绝对值大小无关；
3、二元正态分布：
4、二元正态分布的边缘分布一定也是正态分布；
5、统计学中的三大分布：
①之间相互独立，当时，即；
②相互独立，则；
③相互独立，则；
6、；；
7、旋转体的体积：
①旋转体截面积；
②设为曲线在区间上与轴之间的区域，
绕轴旋转，得到的物体体积由下面公式给出：
；
③设为曲线在区间上与轴之间的区域，绕轴旋转，得到的物体体积
由下面公式给出：；
④若要求曲线与轴所围成的区域，则只需先求出反函数，按如上方法求解；
⑤由两曲线围成区域，绕轴旋转，则体积为
8、圆锥体的侧面积是，圆柱体的侧面积是，圆锥体的体积为.
9、含的积分；①；②；
10、当和为方阵时，若有，则与相似；
①与有相同的特征值；②；③；④；
⑤相似性与行等价不同，行变换会改变矩阵的特征值；⑥；
⑦通过相似原理求特征向量：
，故是由的特征向量构成；
5th Day
1、设为对称矩阵，，则构成一个二次型，而则构成一个向量；而向量，则将是元素的平方和，是一个标量，所以
；相当于的内积，即.
2、.
3、独立同分布场合及林德贝格－莱维定理：设为相互独立同分布的随机变量序列，且有有限的期望和方差，即，，，则随机变量
的分布函数，对，都有
这个定理说明，在定理条件下，当很大时，随机变量近似服从；或者说，当很大时，近似服从。

因此当足够大以后，可以使用上式近似计算其概率。

4、奇函数在一个周期上的积分为零；若为奇函数，周期为3，则.
5、常用辅助函数：令.
同理可得：令.
6、当和为方阵时，若有，则与相似；
①相似对角化就是每个特征值都有一个相对应特征向量，若通过不能得到所对应的特征向量，则说明其不能对角化，则也就无法构成相似了；
②实对称矩阵必可相似对角化；
③若两者相似，则具有以下性质，但以下性质是相似的充分非必要条件；
⒈与有相同的特征值；⒉；⒊；⒋；
7、二点分布是二项分布的简化：；
⑴；⑵；
8、；
6th Day
1、二重积分在积分域相同时看被积函数，当被积函数相同时，看积分区域，大小依此而定；
2、是的内接正方形；同时且当时等号成立；
3、；
4、当时，，是正常数，则收敛，也收敛；而发散，则发散；因此，要证明其收敛的，要找比它大的数；要证明其发散的，要找比它小的数；
5、对于齐次线性方程组和有共同的解集；
6、相似对角化的必要条件：
①阶矩阵有个不同的特征值时，则必可以相似对角化；
②阶矩阵若是实对称矩阵时，则必可以相似对角化；
③阶矩阵存在个线性无关的特征向量，则必可以相似对角化，该条为充分必要条件；
7、之间相互独立，当时，即；
若，即；
8、标准正态分布的一些性质：；
①；②；③；
9、在中心极限定量中，独立、同分布、有限数学期望和方差，但需注意不同参数的同类型分布亦属于不同的分布，故不能适用于该定理；
10、全概公式：
①对于给定的一组完备事件，即为互不相容事件，并且，为必然事件；
②可以通过来计算，也即等于的加权平均，每项的权为事件的概率；；
11、微积分公式：①；②；
③；
12、带拉格朗日余项的泰勒公式：任意函数的泰勒级数展开，；
①
②拉格朗日余项：；
13、在均匀分布中求最大似然估计量时要注意似然函数是不可微的，要使用；此外在对最大似然值再进行求解期望值或方差时，要格外注意
；
7th Day
1、积分中值定理：
①若函数在处连续，在处可积且不变号，则至少存在一点
②设与分别是函数在区间上的最大值与最小值，则有：
2、若；
3、向量的长度即为向量的内积的平方根，即；
4、正交矩阵：，则称为正交矩阵，且有；正交变换向量的长度不变，即：；
5、对称矩阵谱定律：一个对称矩阵
①若计重数，有个实本征值；②每个本征值对应本征空间维数；
③本征空间两两正交，即不同本征值的向量相互正交；④可正交对角化；
⑤谱分解：为特征值，为特征向量；则有：
⑴每一项均是秩为的矩阵；⑵且各列均为的倍数；
⑥任意一个向量，都有构成一个对称矩阵；
6、若存在一个阶矩阵，则当时，行向量线性无关，在方程组中，因为前面列组已经满秩，也就是每一行都至少有一个元素，后面再加入的列组自然不可能创造出更多的行来，因此必有；
而当时，则是列向量线性无关，也就是说每个列里都至少有一个元素，但并不保证每一行里都有元素，因此就有可能存在的问题了；
7、费歇引理：为它的简单随机样本，则有：
①；②；
③与相互独立；④；⑤；
⑥若两个总体样本分布；
8、行列式性质：①；②；③；
9、一般而言，在求证不等式时，应采用移动不等式两边的项，然后构建一个新函数，并证明在然后通过求导获得其单调性，从而证明是大于零还是小于零，从而得证；
10、，在一元函数中有此导数性质，但在多元函数的偏导数中则无此性质；
11、几个积分公式：①；
②. ③
12、在处理
13、如果有个维向量，且，则个维向量必线性相关，此乃公理，根据此理可以通过定义来获得必有四个不全为零的常数，使其等式为零；
14、二维连续型随机变量的函数的密度函数求解：
①交换法：引入新变量，新变量亦可以根据实际情况，令；
思想：先求联合密度函数，再求出的边际密度；
⑴交换变量：
⑵；
当时，应分开
同理分开求得和，然后上述公式变化为：
⑶，雅可比行列式的结果再取绝对值；
⑷；
②确定分布区域：
⑴原变量定义域为；
⑵调整定义域为；
⑶进一步调整为，然后画出图象，并对图像中被积变量进行分析；
⑷将图像分为几个由被积变量所覆盖的积分区域，从而确定的分段区间；
⑸在的不同分段区间内确定的被积区域；将不等式调整为；
⑹分段求解概率函数表达式，并将其归类；
③常用卷积公式：
⑴；
⑵令
⑶；
⑷；
⑸；
8th Day
1、①；②；
③
2、①；②；
③；④；
3、；
4、.
5、.
6、
7、
.
8、关于非零公共解的问题：的基础解系为；的基础解系为；
①由构成的基础解系则可以构成矩阵；
②设公共非零解为，即可由各自的基础解系线性表出；
③；求出的基础解系；
④将的基础解系代入，则可以获得公共解集；
9、数论的逻辑关系：，称为除以，因此是被除数，是除数；
①能够整除的数，即是指除数；
②被整除的数，即是指被除数；
10、均匀分布的一些拓展知识：
①在长为的线段上随机取两个点，则这两个变量均服从均匀分布，且相互独立；
②由相互独立易得其联合分布，其必然服从二维均匀分布；
③因此由构成的任意函数，均可通过直接法，并化作平面函数图形来得到分布函数，即；
④当出现类似于之类的有绝对值的变量函数时，一般使用直接法求解；
⑤在涉及会面问题的时候都可以使用二维均匀分布来求解，比如某码头只能容纳一艘船，预知将独立来两艘船，它们各自需要在码头停靠3小时和4小时，求有一艘船需要在江中等待的概率，这个问题就可以设分别为两船到达码头的时间，问题归结为
来求解；再比如两人约定在一小时内在某地碰面，那么一人要等另一人半小时以上的概率，同样设分别为两人到达的时间，且相互独立，则问题就归结为.
9th Day
1、，其中与为两个不可导点；
2、若与合同，即，则表明与有相同的正负惯性指数；
3、若，其中为常数；而；
则
4、；若，则说明与相互独立；
5、.
6、，当时收敛；当时发散；但是时，收敛条件为；
7、矩阵，若要有非零解，即说明；
8、为它的简单随机样本，则
.
9、在处理比大小时，一般方法是调整等式，设置一个辅助函数，然后求导获得单调性；实际操作中需要灵活使用中值定理；
10、在用积分求解幂级数时，要注意类似涉及这种幂级数时，在求导前要把可能导致求导后的首项非1的项代换出去，比如：，这是要考虑到首项就变成了，而非1了，因此必须在求导前将其代换出去；
①设，则原级数；
②. ③
11、若由个维向量构成一组极大线性无关组，即一组基，则由这组线性无关组可构成任意维向量的线性表出；此外类似于这类求解，亦可以用的特征向量来构成一组线性无关组，用来表出，然后代入，并由此转化为的问题，这就大大方便了；
12、若求，可先求出条件概率分布，即，然后再求积分，即，就可以获得所求概率了；。