复数项级数与函数项级数

即 z n 绝对收敛，故 z n 收敛。
n 0 n 0


分析 由于 | z n |
n 0


n 0
1 发散， ( p 级数，比阶法) n
因此不能马上判断 z n 是否收敛。
in 1 πn 1 πn 记为 x n i yn , cos i sin 解 zn n n 2 n 2
n 0
n 0
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理 定理 对于幂级数 an z n ，有 (1) 如果级数在 z0 点收敛，则它在 | z | | z0 | 上绝对收敛； (2) 如果级数在 z1 点发散，则它在 | z | | z1 | 上发散。 证明 (2) 反证法：已知级数在 z1 点发散，
二复数项级数复数项级数收敛的充要条件级数则级数的部分和即得级数收敛的充要条件是则级数收敛的充分必要条件是由于序列收敛的充要条件是等价于因此收敛的必要条件是证明由于级数收敛的充要条件是级数收敛但级数发散因此级数发散
第四章 解析函数的级数表示
§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
n n
lim xn , lim yn .
n
证明 必要性 “ ” 若 lim z n a , 则 e 0 , N ,
n
| zn - a |
zn
| yn - |
a
当 n N 时，| zn - a | e ,
| xn - |
| x n - | | z n - a | e , | yn - | | z n - a | e ,
(1) 称 z n z1 z 2 为复数项级数， 简记为 z1 z 2 z n 为级数的部分和；
k 1
n
(3) 如果序列 { sn } 收敛，即 lim sn s , 则称级数收敛，
n
并且极限值 s 称为级数的和；
n 0

解 对任意的 z 0 , 都有 lim ( nz )n 0 , (必要条件)
n
( nz) n 仅在 z 0 点收敛，收敛半径为 R 0 . 故级数
z n z 2 z 3 例 考察级数 ( ) 1 z ( ) ( ) 的收敛性。 2 3 n 0 n |z| 1 , 解 对任意固定的 z , N , 当 n N 时，有 n 2 | z | 1 n n 由 ( ) 收敛， ( ) 收敛， n 0 n n 0 2 z ( )n 在全平面上收敛，收敛半径为 R . 因此级数 n 0 n
lim yn , lim yn .
n n
一、复数序列
2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是
n n
lim xn , lim yn .
n
i 解 zn i e n
n
π in 2
nπ nπ 1 i cos i (sin ). 2 2 n n
nπ nπ 1 } 或 {sin }发散， 即得 { zn } 也发散。 由 {cos 2 2 n
附 考察实序列 { | zn | } 的收敛性。(其中 z n 见上例)
R 发散 发散
(2) 称 R 为收敛半径。
注意 级数在收敛圆的边界上
收敛
收敛
各点的收敛情况是不一定的。
约定 R 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛；
R 表示级数在整个复平面上 收敛。
例 考察级数 ( nz )n 1 z ( 2 z )2 ( 3 z )3 的收敛性。
当 n > N 时，总有 | zn - a | < e 成立，则称复数序列 { zn } 收敛于复数 a，或称 a 为复数序列 { zn } 的极限，记作
n
lim z n a , 或 zn a , ( n ) .
一、复数序列
2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是
n 已知 | z n | i
i , 根据复数模的三角不等式有 n 1 1 1 - | zn | 1 , lim | zn | 1 , n n n
故序列 { | zn | } 收敛。
二、复数项级数
1. 基本概念 定义 设 { zn }n1 , 2 , 为一复数序列，
i
π n 2
1 πn 1 πn 记为 x n i yn , 2 cos i 2 sin 2 2 n n
由于级数 | xn | 和 | yn | 均为收敛， (绝对收敛) 故有级数 x n 和 yn 均收敛，即得级数 z n 收敛。 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？
1 解 级数 n 收敛， n 1 2


n (几何级数 a , 0 a 1 时收敛) n 1

1 1 但级数 发散， ( p 级数 p , p 1 时发散) n 1 n n 1 n
因此级数 z n 发散。
1 n 1 解 zn 2 i 2 e n n
(4) 如果序列 { sn } 不收敛，则称级数发散。
二、复数项级数
2. 复数项级数收敛的充要条件 定理 设 zn xn i yn , 则级数 z n 收敛的充分必要条件是 级数 x n 和 yn 都收敛。 证明 令 n 和 n 分别为级数 x n 和 yn 的部分和， 则级数 z n 的部分和 sn
k 1
z k n i n ,
n
由于序列 { sn } 收敛的充要条件是 { n } 和 { n } 都收敛，
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
二、复数项级数
3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
n
证明 由于级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛，
而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是：
n
lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 ,
n n n
因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
假设存在 z2 : | z2 | | z1 | , 使得级数在 z2 点收敛，
由定理的第 (1) 条有，级数在 | z | | z2 | 上绝对收敛；
级数在 z1 点收敛， 与已知条件矛盾。
利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围 ， 对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种：
i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理 可知级数在复平面内处处绝对收敛. ii)对所有的正实数除 z =0 外都是发散的.这时, 级数 在复平面内除原点外处处发散.
n
证明 充分性 “ ” 若 lim xn , lim yn ,
n n
| zn - a |
zn
| yn - |
a
则 e 0 , N , 当 n N 时，
| xn - |
| x n - | e , | yn - | e , | zn - a | | xn - | | yn - | 2e , lim zn a .
n
称级数 f n (z ) 在 z0 点收敛。 (3) 如果存在区域 D G，z D , 有 lim sn ( z ) s( z ) ,
n
则称级数 f n (z ) 在区域 D 内收敛。 此时，称 s(z ) 为和函数，D 为收敛域。
二、幂级数
1. 幂级数的概念 定义 称由下式给出的复变函数项级数为幂级数：
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理 定理 对于幂级数 an z n ，有 (1) 如果级数在 z0 点收敛，则它在 | z | | z0 | 上绝对收敛； (2) 如果级数在 z1 点发散，则它在 | z | | z1 | 上发散。
n n 证明 (1) 由 an z0 收敛，有 lim an z0 0 ,
二、复数项级数
4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。
2 2 证明 由 | z n | 收敛， xn yn 收敛，
1 1 1 xn - - 收敛， (莱布尼兹型的交错级数) 2 4 6 n 1 1 1 1 yn 1 - - 收敛， 故级数 zn 收敛。 3 5 7 n 1


§4.2 复变函数项级数
一、基本概念 二、幂级数 三、幂级数的性质
一、基本概念
1. 复变函数项级数 定义 设复变函数 f n (z ) 在区域 G 内有定义， (1) 称 { f n ( z )}n1 , 2 , 为区域 G 内的复变函数序列。 (2) 称 f n ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) 为区域 G 内
iii)既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的 正实数. 设 z (正实数)时, 级数收敛, z (正 实数)时, 级数发散.
二、幂级数
3. 收敛圆与收敛半径 分析
发散
发散
收敛 收敛
二、幂级数
3. 收敛圆与收敛半径 定义 如图设CR 的半径为 R， (1) 称圆域 | z | R 为收敛圆。
又 | xn |
2 2 2 2 x n yn , | yn | x n yn ,
根据正项级数的比较法可得， | xn | 和 | yn | 均收敛，
x n 和 yn 均收敛， z n 收敛。
1 e, 解 由于 | zn | n 0 n 0 n!
n 1
的复变函数项级数，简记为 f n ( z ) .
一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义 定义 设 f n (z ) 为区域 G 内的复变函数项级数， (1) 称 sn ( z ) f k ( z ) 为级数 f n (z ) 的部分和。
k 1 n
(2) 如果对 G 内的某一点 z0，有 lim sn ( z0 ) s( z0 ) , 则
n 0
an ( z - a )n a0 a1 ( z - a ) a2 ( z - a )2 ,
(I)
其中，a n , a 为复常数。特别地，当 a 0 时有
n 0
an z n a0 a1 z a2 z 2 .
(Ⅱ)
注 (1) 下面主要是对(Ⅱ)型幂级数进行讨论，所得到的结论 只需将 z 换成 ( z - a ) 即可应用到(I)型幂级数。 (2) 对于 (Ⅱ)型幂级数，在 z 0 点肯定收敛。
§4.1 复数项级数
一、复数序列 二、复数项级数
一、复数序列
1. 基本概念 定义 设 z n 为复数，称 { zn }n1 , 2 , 为复数序列。
极限 设 { zn }n1 , 2 , 为一复数序列，又设 a 为一确定的复数， 如果对任意给定的 e > 0，相应地存在自然数 N， 使得
n
n | a n z0 | M , 则存在 M，使对所有的 n 有
| an z
n
n | | a n z0 |
z z0
n
z Mq , 其中 q z ， 0
n
n
n
当 | z | | z0 | 时，q 1 , 即得 | an z | Mq 收敛。