高考数学 高考试题教学运用与探究 破解复合函数方程 试题

换元法破解复合函数方程的解
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

复合函数是高考的重点和热点内容之一，可以全面考察学生对函数概念和性质的理解，考察函数与方程、转化与化归、数学结合、分类讨论等数学思想，是高中数学的一个难点．如何破解复合函数的有关问题呢？
此类问题的破解途径是主要借助于换元法，应用数形结合的数学思想进展求解．
【例1】函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对()0,x ∈+∞都有()44f f x x ⎡
⎤-=⎢⎥⎣⎦，那么
()f x =_____．
【分析】由于函数具有单调性，函数值为4的值只有一个，()4
f x x
-必定为一个常数，因此，可以借助于换元法求解函数的解析式..
【解析】因为函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，所以()4
f x x
-
为一个常数； 令()4,t f x x =-那么()4f t =，且()4
,f x t x
=+
所以()4
f t t t
=+
，即44t t =+，解得：2t =．
故4()2,f x x =+答案为4
()2f x x
=+．
【点评】一般地，此类复合函数方程的问题的解决方法是结合函数的图象与性质，应用函数与方程、数形结合的数学思想，结合换元法，灵敏赋值，进而探求函数的解析式.
【变式1】()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34x
f f x ⎡⎤-=⎣⎦，那么
(2)f = .
【例2】〔2021〕假设函数()y f x =在0x x =处获得极大值或者极小值,那么称0x 为函数()y f x =的极值点.a b ，是实数,1和1-是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点.
(1)求a 和b 的值；(2)〔略〕
(3)设()()()h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.
【分析】函数()y h x =的零点亦即函数对应方程()()f
f x c =的解．此题是复合函数的零点问题，
势必要借助于换元法，令()t f x =，转化为函数()f t c =的解的问题，应用数形结合的数学思想讨论()f t c =的解的各种情形，最后，根据所求的t 的值，再次应用数形结合的数学思想求解()f x t =的解．
【解析】解:(1) 3()3f x x x =-. (2) (略)
(3)首先，复原复合函数的复合过程. 令()f x t =,那么()y f t c =-. 其次，研究内层函数的单调性.
因为3()3f x x x =-,()()()=311f'x x x +-，
所以，当(),1x ∈-∞-时, 3()3f x x x =-单调递增；当
()1,1x ∈-时, 3()3f x x x =-单调递增；当()1,x ∈+∞时,
3()3f x x x =-单调递增，()()()()212,122f f f f -==--==
如下图：
再次，研究外层函数()y f t c =-的零点，即对应方程
()f t c =的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.
关于x 的函数()[]()
2, 2y f t c t =-∈-的零点情况，即方程()[]()
2, 2f t c t =∈-的解的情况. 当2c =时，()2f t =-的两个不同的根为122,1t t =-=，此时，()12f x t ==-有两个解，
()21f x t ==有三个解，故()y h x =有5个解；注意到()y f t =是奇函数，()2f t =也有5个解.
当2c <时，()f t c =的三个不同的根为()123,,2,2t t t ∈-，此时，()()12,2f x t =∈-有三个解，同理，()()22,2f x t =∈-有三个解，()()32,2f x t =∈-有三个解，故()y h x =有9个解；
综上所述,当2c =时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点. 【评注】复合函数的零点的个数问题主要考察数形结合思想和分类讨论思想，综合性较强，全方位地考察分析问题和解决问题的才能.此类问题的解决的三个环节是：〔1〕复原复合函数的复合过程； 〔2〕研究内层函数的单调性；〔3〕研究外层函数的零点，即对应方程的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.
【变式2】设函数()()()220log 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦
的零点个数为 ． 【变式3】函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b
x a
=-
对称．据此可推测，对任意的非零实数,,,,,,a b c m n p 关于x 的函数()()2y mf x nf x p =++的零点不可能是
A. {}1,2
B. {}1,5
C. {}1,2,3,4
D. {}1,4,16,64
【变式4】函数()()()1
2212x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩
，关于x 的方程()2()0f x bf x c ++=的有三个解
123,,x x x ，那么222123x x x ++= .
【例3】关于x 的函数()()
2
2
2
11f x x x k =---+，给出以下四个命题：
①存在实数k ，使得函数恰有2个零点； ②存在实数k ，使得函数恰有4个零点； ③存在实数k ，使得函数恰有5个零点； ④存在实数k ，使得函数恰有8个零点.
其中假命题的个数是 〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【分析】函数()y f x =的零点亦即函数对应方程()0f x =的解．复合函数()y f x =的零点问题，令21t x =-(0)t ≥，转化为函数()2
0y t t k t =-+≥的零点问题．而含有参数的方程
()20y t t k t =-+≥的解的个数须转化为两个函数()212,0y k y t t t ==-≥的图象的交点的个数来求
解，进而借助于数形结合、分类讨论思想数学思想加以解决．
【解析】首先，复原复合函数的复合过程；
令2
1t x =-(0)t ≥，那么函数()2
0y t t k t =-+≥；
其次，研究内层函数的单调性； 作出函数2
1y x =-的图象，如图：
程再次，研究外层函数()20y t t k t
=-+≥的零点，即对应方
解.
()20k t t t =-+≥的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的
此
〔1〕当0k <时，方程()2
0k t t t =-+≥有一个解1t >，
时，211t x =->有2解，故函数()y f x =有2解；
〔2〕当0k =时，方程()2
0k t t t =-+≥有两个解
121,0t t ==，此时，2110t x =-=有2解，2211t x =-=有3解，故函数()y f x =有5解；
〔3〕当1
04
k <<
时，方程()20k t t t =-+≥有两个解()12,0,1t t ∈，此时，()2110,1x t -=∈有4解，()2210,1x t -=∈也有4解，故函数()y f x =有8解；
〔4〕当14k =时，方程()2
0k t t t =-+≥有一个解12t =，此时，2112
x -=有4解，故函数()y f x =有4解；
〔5〕当14
k >时，方程()2
0k t t t =-+≥无解，故函数()y f x =无解. 应选A.
【评注】数形结合的思想，其本质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的互相转化，可以使代数问题几何化，几何问题代数化．复合函数的零点问题，实际上就是复合函数对应方程的解的个数问题，假设是仅从方程的角度考虑，难以奏效，而从函数图象的角度来考虑却轻松获解，这也就是思维的灵敏性．
【变式5】关于x 的函数()sin sin 29
438x
x f x a a a =⋅+⋅+-有零点，那么a 的取值范围〔 〕
A.0>a 或者8-≤a
B.0>a
C.3180≤
<a D.23
72
318≤≤a
【变式6】〔2021年〕函数()3
2
f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，假设()112f x x x =<，
那么关于x 的函数()()2320f x af x b ++=的解的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【变式7】函数()()()()
333log 22log 52log 2x x x f x a =-+---，求函数()y f x =的零点个数.
变式训练提示：
变式1【提示】因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()3x
f x -为一个常数；
设()3x f x m -=，那么()4f m =，()3x
f x m =+。

∴()3m
f m m =+，即34m
m +=，34m
m =-；
易知方程34m
m =-有唯一解1m =.
故()31x
f x =+，2
(2)3110f =+=.答案为10.
变式2【提示】()()010f f x f x x =⇔=⇔=⎡⎤⎣⎦或者2x =.答案：2. 变式3【提示】假设函数()()2
y mf
x nf x p =++有四个零点1234x x x x <<<，那么必有
23
1422
x x x x ++=.答案：D. 变式4【提示】函数()f x 关于直线2x =对称. 答案：14.
变式5【提示】()(
)2
sin sin 81023
11,3,3,3x
x f x a ⎡⎤
=⇔+=
+∈⎢⎥⎣⎦
答案：D. 变式6【提示】()2
32f x x ax b '=++，那么12,x x 是2
320x ax b ++=的两根；
()()
20320t f x h x t at b ==⇔++=必有两根1122,t x t x ==，即()()12,f x x f x x ==
因为()112f x x x =<，作12,y x y x ==与()32
f x x ax bx c =+++的图象即可.
变式7【提示】令20x
t =>，那么()()()333log 2log 5log y t t a t =-+---，
()()()333225log 2log 5log 0810t t t a t t a
a t t ⎧<<⎪
-+---=⇔<⎨⎪=-+-⎩
答案：当2a ≤或者6a >时，无零点；当25a <≤或者6a =时，有1个零点；当56a <<时，有2个零点.
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。