最新初中数学向量的线性运算易错题汇编含答案解析(1)

最新初中数学向量的线性运算易错题汇编含答案解析(1)
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵AD b =u u u r r ，
∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ．
故选B ．
2．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，
，则向量
关于
、的分解式表示正确的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.
【详解】 ∵
∴ ∵
∴
故本题答案选B. 【点睛】
本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．
3．如果向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，那么向量a r 用单位向量e r
表示为（ ）
A ．12
a e =
r
r B ．2a e =r r
C ．12
a e =-r
r D ．2a e =-r r
【答案】C 【解析】
由向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，根据向量的定义，即可求得答案．
解：∵向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，
∴12
a e =-r
r ．
故选C ．
4．若AB u u u r
是非零向量，则下列等式正确的是（ ）
A ．A
B BA =u u u r u u u r
； B ．AB BA u u u v u u u v =； C ．0AB BA +=u u u r u u u r ； D ．0AB BA +=u u u r u u u r .
【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r
是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】
此题考查平面向量，难度不大
5．下列命题：
①若a b r r
=，b c =r
r
，则c a =r r
；
②若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r ∥c r ；
③若|a r |=2|b r |，则2a b =r r 或a r =﹣2b r ； ④若a r 与b r 是互为相反向量，则a r +b r
=0． 其中真命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】
①若a b =r r
，b c =r
r
，则c a =r r
，正确； ②若a r
∥b r ，b r
∥c r ，则a r ∥c r
，正确；
③若|a r
|=2|b r
|，则2a b =r
r
或a r
=﹣2b r
，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；
④若a r
与b r
是互为相反向量，则a r +b r
=0，正确． 综上所述，真命题的个数是3个． 故选C ．
6．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．3a b =r r
B ．3a b =-r r
C ．3b a =r r
D ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】
∵1,3a b ==v v
，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.
故选D ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
7．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r
r
，DC b =u u u r r
，则（ ）
A ．()
12
BO a b =+u u u r r
r ； B ．()
12
BO a b =-u u u r r
r ；
C ．()
12BO b a =-+u u u r r r
； D ．(
)
12
BO b a =
-u u u r r r ． 【答案】D 【解析】
1,.2
1(b-a)2
BCD BO BD BD DC CB CB BC
BO D
∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r r r
在中，所以故选
8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r
，则下列选项
与1122
a b -+r
r 相等的向量是（ ）．
A ．MA u u u r
B ．MB u u u r
C ．MC u u u u r
D ．MD u u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】
解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r
,M 分别为AC 、BD 的中点,
∴()
11112222
a M AC a
b A b =+==----u u u r u u u r r r
r r ，故A 不符合题意；
()
11112222
MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r r
r r ，故B 不符合题意；
()
11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r r
r ，故C 不符合题意；
()
11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r r
r r ，故D 符合题意.
故选D.
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
9．下列命题中，真命题的个数为( ) ①
方向相同 ②
方向相反
③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则
方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但
的模不一定，③错误； 对于④，若
，则
能推出
的方向相同，但
的方向相同，得到
④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
10．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r
表示向量b r
正确的是（ ） A ．b r
＝32
a r B ．
b r
＝
23
a r C ．
b r
＝﹣
32
a r D ．
b r
＝-
23
a r 【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件得到非零向量a r
、b r
的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．
【详解】
∵2|a r
|=3|b r |，∴|b r |23
=|a r |．
又∵非零向量a r 与b r
的方向相同，∴23
b a =r r ．
故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
11．已知e →
为单位向量，a r
=-3e →
，那么下列结论中错误．．
的是（ ） A ．a r ∥e →
B ．3a =r
C ．a r
与e →
方向相同
D ．a r
与e →
方向相反
【答案】C
【解析】 【分析】
由向量的方向直接判断即可. 【详解】
解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r
方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】
本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.
12．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）
A ．A
B BA =-u u u r u u u r
B ．AB BA =uu u r uu r
C ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
D ．AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】
A 选项，A
B BA =-u u u r u u u r
，成立；
B 选项，AB BA =uu u r uu r
，成立；
C 选项，AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
，成立；
D 选项，AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
不一定成立；
故答案为D. 【点睛】
此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.
13．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r
，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．//a b r r
B ．3||||2
a b =r r
C ．a r 与b r
方向相同
D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】
∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r
∴3a b 2
=-r r ，
∴a r ∥b r ，32
a b =-r r
a r 与
b r
方向相反，
∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v
是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．
A ．1a e a
=r r r ；
B ．e a a =r r r ；
C ．b e b =r r r ；
D ．11a b a b
=r r r r ．
【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】
解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
B 、符合向量的长度及方向，正确；
C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了向量的性质．
15．如果2a b =r r （a r ，b r
均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A ．a r //b r
B ．a r -2b r =0
C ．b r =12
a r
D ．2a b =r r
【答案】B 【解析】
试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v v v -= 故错误.
故选B.
16．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）
A ．12CA A
B =u u u r u u u r B ．12
CB AB =u u u r u u u r C ．0AC BC u u u r u u u r += D ．0AC CB +=u u u r u u u r r
【答案】B 【解析】
根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．
解：A 、12
CA BA =u u u r u u u r
，故本选项错误；
B 、12CB AB =u u u r u u u r
，故本选项正确；
C 、0AC BC +=u u u r u u u r r
，故本选项错误；
D 、AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r
，故本选项错误．
故选B ．
17．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．=a b r r
B ．a r ∥c r ，b r ∥c r
C ．a +b r ＝0
D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、该等式只能表示两a r 、b r
的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r ＝52c r ，b r ＝﹣12
c r
，则a r 、b r 的方向相反，可
以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.
18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ．
m n a ma na ++r r r
（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r （+）＝
D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0
v
是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
19．已知a r
、b r
、c r
都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r
r
的是（ ）
A ．a b =r r
B ．3a b =r r
C ．//a c r r
，//b c r r
D ．2,2a c b c ==-r r r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】
解：A 、||||a b =r r
只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r
，故本选项符合题意; B 、3a b =r r
说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意; C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意;
D 、2a c =r r
，2b c =-r
r
说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．
20．下列式子中错误的是（ ）．
A ．2a a a +=r r r
B ．()0a a +-=r r r
C ．()
a b a b -+=--r r r r
D ．a b b a -=-r r r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解．
【详解】
A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r
，故本选项正确；
B. a r
与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；
C.根据实数对于向量的分配律，可知()
a b a b -+=--r r r r
，故本选项正确；
D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r
，故本选项错误.
故选D. 【点睛】
本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.。