2013届高三数学一轮复习讲义 直线与圆、圆与圆(人教A版)

直线与圆、圆与圆的位置关系
要点梳理
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：___相离_____、___相切_____、___相交_____． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：――→判别式
Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧
>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔
相离
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：
d <r ⇔___相交_____，d ＝r ⇔___相切_____，d >r ⇔___相离_____.. 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． 弦长|AB|＝2r 2－d 2 (2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
|AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ]．
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
3．求过点P (x 0，y 0)的圆x 2＋y 2＝r 2的切线方程与切线长 (1)过点P 作圆的切线有三种类型：
若圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P (x 0，y 0)在圆上，则过P 点且与圆x 2＋y 2＝r 2相切的切线方程为____ x 0x ＋y 0y ＝r 2________________________． 注：点P 必须在圆x 2＋y 2＝r 2上．
经过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上点P (x 0，y 0)的切线方程为___ _(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2__________．
若P (x 0，y 0)在圆外时，则过P 的切线方程可设为y －y 0＝k (x －x 0)，利用待定系数法求解．一般运用圆心到直线的距离等于半径，但注意有两条切线说明：k 为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．
当P 在圆内时，不存在． (2)切线长的求法：
过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为M ，半径为R ，则|PM|＝|PC|2－R 2. 4．判断圆与圆的位置关系常用方法：从圆心距和两圆半径的关系入手
(几何法)设⊙C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，⊙C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 2
2(r 2>0)，则有：
|C 1C 2|>r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2____相离____； |C 1C 2|＝r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2____外切 ____； |r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2____相交____； |C 1C 2|＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔⊙C 1与⊙C 2___内切_____；
0≤|C 1C 2|<|r 1－r 2|⇔⊙C 1与⊙C 2___内含_____．
设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则|O 1O 2|>r 1＋r 2__相离______； (2)已知两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则与两圆共交点的
圆系方程为___(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0____，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．
当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0. 5．求圆外一点P 到圆O 上任意一点距离的最小值为|PO |－r ，最大值为|PO |＋r (其中r 为圆O 的半径)．
基础自测
1． 已知圆C 经过M (2，－1)和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的方程为_____(x －1)2＋(y ＋2)2＝2_________________
2．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是__相交______．
3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是___(－∞，0)∪(10，＋∞)_____________．
4．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )
A .⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[)0，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－33
，3
3 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 6．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0
题型一 直线与圆的位置关系
例1已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12． 试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (1)方法一 证明 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，(x －1)2＋(y ＋1)2＝12， 消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，
所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．
方法二证明 圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|
1＋k
2
，圆C 的半径R ＝23，R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k 2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，
所以R 2－d 2>0，即d <R ，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．
方法三 (1)证明 因为不论k 为何实数，直线l 总过点A (0，1)，而|AC |＝5<23＝R ，所以点A (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点A . 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．
题型二 圆的弦长、中点弦问题
例2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.
(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程． 解 (1)方法一
如图所示，|AB|＝43，取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，连接AC 、BC ， 则|AD|＝23，|AC|＝4，
在Rt △ACD 中，可得|CD|＝2.
当直线l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0.
由点C 到直线AB 的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋－12
＝2，解得k ＝3
4.
当k ＝3
4
时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.
又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.
方法二 当直线l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ， 则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5.
联立直线与圆的方程⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋5，
x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，
消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k)x －11＝0.① 设方程①的两根为x 1，x 2，
由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝2k －4
1＋k
2
，x 1x 2
＝－11
1＋k
2
.②
由弦长公式，得1＋k 2|x 1－x 2|
＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝4 3.
将②式代入，解得k ＝3
4
，
此时直线方程为3x －4y ＋20＝0.
又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.
(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D(x ，y)，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →
＝0， (x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.
变式训练2已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12．求直线l 被圆C 截得的最短弦长．
方法一 设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则直线l 被 圆C 截得的弦长 |AB |＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝2
8－4k ＋11k 2
1＋k 2
＝2
11－4k ＋31＋k 2
，
令t ＝4k ＋31＋k
2，则tk 2
－4k ＋(t －3)＝0， 当t ＝0时，k ＝－3
4，当t ≠0时，因为k ∈R ，
所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋3
1＋k 2
的最大值为4，此时|AB |最小为27.
方法二解 由平面几何知识，
知|AB |＝2R 2－d 2
＝2 8－4k ＋11k 2
1＋k 2
，下同方法一．
方法三 由平面几何知识知过圆内定点A (0,1)的弦，只有和AC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点A (0,1)为弦AB 的中点，由勾股定理，知|AB |＝212－5＝27， 即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.
题型三 圆的切线问题
例3 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4．
(1)求过M 点的圆的切线方程； (2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值； 解 (1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2， ①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.
由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时， 设方程为y －1＝k (x －3)，
即kx －y ＋1－3k ＝0.
由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1
＝2，解得k ＝3
4. ∴方程为y －1＝3
4(x －3)，即3x －4y －5＝0.
故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.
(2)由题意有|a －2＋4|
a 2＋1＝2，
解得a ＝0或a ＝4
3
.
探究提高 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．
变式训练3已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；
解 将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k 2
＝2，解得k ＝2±6，得y ＝(2±6)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时， 设直线方程为x ＋y －a ＝0，
由|－1＋2－a|2
＝2，
得|a －1|＝2，即a ＝－1，或a ＝3.
∴直线方程为x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0.
综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x ，或y ＝(2－6)x ， 或x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0.
题型四 圆与圆的位置关系
例4 a 为何值时，圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0． (1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切． 解 将两圆方程写成标准方程． C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9， C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为
C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2， 设两圆的圆心距为d ，
则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5.
(1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或a ＝2. (2)当1<d <5，即1<2a 2＋6a ＋5<25时，两圆相交，此时－5<a <－2或－1<a <2. (3)当d >5，即2a 2＋6a ＋5>25时，两圆外离，此时a >2或a <－5. (4)当d ＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，此时a ＝－1或a ＝－2.
探究提高 判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
变式训练4 (1)圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． ①若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；
②若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解 (1)设圆O 2的半径为r 2，由于两圆外切， ∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2， r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)， 故圆O 2的方程是
(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.
(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. ∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为
2
＝4－⎝⎛⎭
⎫2222＝2，解得r 22＝4或r 22＝20. 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20
(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，m 为何值时，圆C 1与圆C 2内含．
解：如果C 1与C 2内含，则有22(m 1)(m 2)+++<3－2.
(m ＋1)2＋(m ＋2)2<1，m 2＋3m ＋2<0，得－2<m<－1， ∴当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切； 当－2<m<－1时，圆C 1与圆C 2内含．
(3)已知⊙A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，⊙B ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2－1＝0.当a ，b 变化时，若⊙B 始终平分⊙A 的周长，求：
(1)⊙B 的圆心B 的轨迹方程； (2)⊙B 的半径最小时圆的方程． 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a ＋1)x ＋2(b ＋1)y －a 2－1＝0.① 依题意，公共弦应为⊙A 的直径，
将(－1，－1)代入①得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.②
设圆B 的圆心为(x ，y)，∵⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a
y ＝b
，
∴其轨迹方程为x 2＋2x ＋2y ＋5＝0.
(2)⊙B 方程可化为(x －a)2＋(y －b)2＝1＋b 2.
由②得b ＝－1
2
[(a ＋1)2＋4]≤－2，
∴b 2≥4，b 2＋1≥5.当a ＝－1，b ＝－2时，⊙B 半径最小， ∴⊙B 方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5. 题型五 综合应用
例5 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．
解题导引 这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB 为直径的圆经过原点O ，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．
解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 圆心为C(1，－2)．
假设在圆C 上存在两点A 、B ，则圆心C(1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 于是可知，k AB ＝1.
设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程， 整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，
Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，b 2＋6b －9<0，
解得－3－32<b<－3＋3 2. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝1
2
b 2＋2b －2.
由OA ⊥OB ，知x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)＝0， ∴2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝0，
∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0， 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0.
即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.
变式训练6 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →
＝12，求k 的值．
变式迁移4 解 (1)方法一 ∵直线l 过点A(0,1)且斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.
将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.① 由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k 2)×7>0， 得4－73<k<4＋73
.
方法二 同方法一得直线方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.
又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|
k 2＋1
， ∴d ＝|2k －2|k 2＋1
<1，解得4－73<k<4＋73.
(2)设M(x 1
，y 1
)，N(x 2
，y 2
)，则由①得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝4＋4k
1＋k
2
x 1x 2
＝7
1＋k
2
，
∴OM →·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝
2
4k(1k)
1k
++＋8＝12⇒k ＝1(经检验符合题意)，∴k ＝1.
直线与圆练习（1）
一、选择题
1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交
D ．相切 2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为
( )
A. 3
B ．2
C. 6
D ．2 3
3．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 ( ) A.12 B .35 C.32
D ．0 4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( ) A ．(4,6) B ．[4,6) C ．(4,6] D ．[4,6]
5．已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·PB →
的最小值为( )
A ．－4＋ 2
B ．－3＋ 2
C ．－4＋2 2
D ．－3＋2 2 二、填空题
6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0 (a >0)的公共弦长为23，则a ＝_1_______. 7．已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若|AB |
＝3，则该圆的标准方程是____(x －1)2＋⎝⎛⎭
⎫y －1
22＝1_________ 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是__(－13,13)______．
9．已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 点关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝___－10_____.
10．设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧»AB 上，则圆C 2的半径的最大值是___1_____．
三、解答题
11．一直线经过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－3
2被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程． 解 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，
代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4. ∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．
(2)当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －3
2＝0.
由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3，
∴⎪⎪⎪⎪k ·0－0＋3k －32k 2＋1
＝3，解得k ＝－3
4.
所以此直线方程为y ＋32＝－3
4
(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.
所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.
12．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2
＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．
解 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0
关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．(4分)
设l 的方程为y －3＝k(x ＋3)，则|5k ＋2＋3|
12＋k 2
＝1，
即12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－43，k 2＝－3
4
.
则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.
直线与圆练习（2）
一、选择题
1．若直线2ax －by ＋2＝0 (a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1
b 的
最小值为
( )
A.1
4
B.12
C ．2
D ．4
2若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ( )
A ．(－33，33)
B ．(－33，0)∪(0，3
3)
C ．[－33，33]
D ．(－∞，－33)∪(3
3
，＋∞)
3．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于 ( ) A ．4 B ．4 2
C ．8
D ．8 2
4．若圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线l 1：x －y －1＝0对称，动圆P 与圆C 相外切且与直线l 2：x ＝－1相切，则动圆P 的圆心的轨迹方程是 ( )
A ．x 2＋y 2＋x ＝0
B ．y 2－2x ＋2y ＋3＝0
C ．y 2－6x ＋2y －2＝0
D ．x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0
二、填空题
5．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是___4_______．
6．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相切，则实数m ＝_±2或－5或－1_________. 7．过点M ⎝⎛⎭⎫
12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为___2x －4y ＋3＝0___________．
8．圆x 2＋y 2＝8内一点P (－1,2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点．当弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 ．
解：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 21＋y 21＝8，x 22＋y 22
＝8，
两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即－2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，
∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1
2
.(10分)
∴直线l 的方程为y －2＝1
2
(x ＋1)，
即x －2y ＋5＝0.
9．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)， 则四边形ABCD 的面积的最大值为________．
解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离为d 1、d 2，垂足分别为E 、F ，
则四边形OEMF 为矩形，则有d 21＋d 2
2＝3.
由平面几何知识知AC ＝24－d 21，BD ＝2
4－d 22，
∴S 四边形ABCD ＝1
2AC ·BD
＝2
4－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 2
2)＝5，即四边形ABCD 的面积的最大
值为5.
10．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是 ________． 解析：y ＝3－
4x －x 2变形为(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4,1≤y ≤3)，
表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－
4x －x 2有公共点，只需直线y ＝x ＋b 在图中两直线之
间(包括图中两条直线)，y ＝x ＋b 与下半圆相切时，圆心到直线
y ＝x ＋b 的距离为2，即|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)，
∴b 的取值范围为1－22≤b ≤3. 答案：[1－22，3] 三、解答题
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O . (1)求圆C 的方程；
(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b
a ＝－1，
故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，
可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝2或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝2
b ＝－2，
结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－2
b ＝2.
故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在Q (m ，n )符合题意， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
(m －4)2＋n 2＝42m 2＋n 2≠0(m ＋2)2＋(n －2)2＝8
，解得⎩⎨⎧
m ＝
45
n ＝12
5
.
故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝⎛⎭⎫
45，125符合题意．
12 ．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4和圆外一点A (1，23)，
(1)若直线m 经过原点O ，且圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1，求直线m 的方程； (2)若经过A 的直线l 与圆C 相切，切点分别为D ，E ，求切线l 的方程及D 、E 两切点所在的直线方程．
解 (1)方法一 圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2，
圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1.
则圆心到直线m 的距离恰为1.
设直线方程为y ＝kx ，d ＝|－k －0|1＋k 2
＝1， k 无解．
直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0显然成立．所以所求直线为x ＝0.
(2)设直线方程为y －23＝k (x －1)，
d ＝|－2k ＋23|1＋k 2
＝2，解得k ＝33， 所求直线为y －23＝33
(x －1)，即x －3y ＋5＝0， 斜率不存在时，直线方程为x ＝1，
∴切线l 的方程为x ＝1或x －3y ＋5＝0，
过点C 、D 、E 、A 有一外接圆，x 2＋(y －3)2＝4，
即x 2＋y 2－23y －1＝0，
过切点的直线方程为x ＋3y －1＝0.
13．如图所示，已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切.过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P .
（1）求圆A 的方程;
（2）当||219MN =l 的方程.
（3）BQ BP ⋅u u u r u u u r 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.
(1) 22(1)(2)20x y ++-=.（2）2x =-或3460x y -+=.
（3）⋅u u u r u u u r BQ BP 是定值，且5⋅=-u u u r u u u r BQ BP .。