2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.3.2

1.3.2　函数的极值与导数
课时过关·能力提升基础巩固
1设函数f (x )=x e x ,则( )
A.x=1是f (x )的极大值点
B.x=1是f (x )的极小值点
C.x=-1是f (x )的极大值点
D.x=-1是f (x )的极小值点
答案D
2当函数f (x )=-x 3+x 2+2x 取极小值时,x 的值是( )
1312
A.2
B.2,-1
C.-1
D.-3
解析f'(x )=-x 2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-∞,-1)和(2,+∞)内,f'(x )<0,在区间(-1,2)内,f'(x )>0,故当x=-1时,f (x )取极小值.答案C
3已知函数f (x )=x 3-3bx+3b 在区间(0,1)内有极小值,则( )
A.0<b<1
B.b<0
C.b>0
D.b<12解析f'(x )=3x 2-3b ,要使f (x )在区间(0,1)内有极小值,
又f'(x )关于y 轴对称,则f'(x )在(0,1)内由负变正,
即{f '(0)<0,f '(1)>0,即{-3b <0,3-3b >0,
解得0<b<1.
答案A
4已知f (x )=x (ax 2+bx+c )(a ≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x 轴上的是( )
A.(a ,b )
B.(a ,c )
C.(b ,c )
D.(a+b ,c )
解析f'(x )=3ax 2+2bx+c ,
由题意知x=1和x=-1是方程3ax 2+2bx+c=0的两根,则1-1=-,得b=0.
2b
3a
答案A
5若函数f (x )=在x=1处取得极值,则a= .
x 2+a
x +1解析f'(x )=,
2x (x +1)-(x 2+a )
(x +1)2=x 2+2x -a
(x +1)2由f'(1)==0,得a=3.
3-a 4经检验,a=3满足题意.
答案3
6函数y=ln x-x 2的极值点为 .
解析函数y=ln x-x 2的定义域为(0,+∞),其导函数为y'=-2x=.
1x 1-2x 2x 由y'==0,解得x=.
1-2x 2x 2
2当x>时,y'<0,当0<x<时,y'>0,所以当x=时,函数y=ln x-x 2取得极大值,所以所求极值点为.
2222222
2答案22
7若函数f (x )=a ln x+bx 2+3x 的极值点为x 1=1,x 2=2,则a= ,b= .
解析f (x )的定义域为(0,+∞).
f'(x )=+2bx+3=.
a x 2bx 2+3x +a
x 因为函数f (x )的极值点为x 1=1,x 2=2,
所以x 1=1,x 2=2是方程f'(x )==0的两个根,即为方程2bx 2+3x+a=0的两根.
2bx 2+3x +a
x 所以由根与系数的关系知{-
32b =1+2,a 2b =1×2.解得{a =-2,b =-1
2
.答案-2　-1
2
8已知函数y=ax 3+bx 2,当x=1时,有极大值3.
(1)求a ,b 的值;
(2)求函数y 的极小值.
分析解决本题的关键是运用待定系数法求得a ,b 的值,进而可求函数y 的极小值.
解(1)y'=3ax 2+2bx.
当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0,
由题意得a+b=3.
故{3a +2b =0,a +b =3,
解得a=-6,b=9.
经检验知,符合题意.
故a=-6,b=9.
(2)由(1),得y=-6x 3+9x 2,
则y'=-18x 2+18x.
令y'=0,得x=0,或x=1.
易知x=0是函数的极小值点,所以y 极小值=0.
9求下列函数的极值:
(1)f (x )=;
x 3-2
2(x -1)2
(2)f (x )=x 2e -x .
分析首先确定函数的定义域,然后正确求导,解方程f'(x )=0.进而列表求极值.
解(1)函数f (x )的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
f'(x )=,
(x -2)2(x +1)2(x -1)3令f'(x )=0,得x 1=-1,x 2=2.
当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x
(-∞,-1)-1(-1,1)
(1,2)2(2,+∞)f'(x )+0-+0+f (x )↗-38↘↗3↗
故当x=-1时,函数f (x )有极大值,并且极大值为f (-1)=-,f (x )无极小值.
3
8(2)函数f (x )的定义域为R ,
f'(x )=2x e -x +x 2·'=2x e -x -x 2e -x =x (2-x )e -x .(1
e x )令f'(x )=0,得x=0或x=2.
当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0(0,2)2(2,+∞)f'(x )-0+0-
f (x )↘0↗4e -
2↘
由上表可以看出,当x=0时,函数f (x )有极小值,且为f (0)=0;当x=2时,函数f (x )有极大值,且为f (2)=4e -2.
能力提升
1下列函数存在极值的是( )
A.f (x )=1
x
B.f (x )=x-e x
C.f (x )=x 3+x 2+2x-3
D.f (x )=x 3
解析A 项中,f'(x )=-,令f'(x )=0无解,故A 项中函数无极值.
1
x 2B 项中,f'(x )=1-e x ,令f'(x )=0可得x=0.
当x<0时,f'(x )>0,当x>0时,f'(x )<0.
故f (x )在x=0处取极大值,f (0)=-1.
C 项中,f'(x )=3x 2+2x+2,Δ=4-24=-20<0,故y=f (x )无极值.同理
D 项也无极值.故选B.
答案B
2已知函数f (x )=ax 3+bx 2+c ,其导函数图象如图所示,则函数f (x )的极小值是( )
A.a+b+c
B.8a+4b+c
C.3a+2b
D.c
解析由题图可知函数f (x )在(-∞,0)内单调递减,在(0,2)内单调递增,所以函数f (x )在x=0处取得极小值c.
答案D
3已知函数f (x )=x (ln x-ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(0,12)
C.(0,1)
D.(0,+∞)
解析f'(x )=ln x-ax+x =ln x-2ax+1,函数f (x )有两个极值点,即ln x-2ax+1=0有两个不同的根(在正实数集上),即函
(1x -a )数g (x )=与函数y=2a 在(0,+∞)上有两个不同交点.
lnx +1x 因为g'(x )=,所以g (x )在(0,1)内递增,在(1,+∞)上递减,所以g (x )max =g (1)=1,如图所示.
-lnx
x 2
若g (x )与y=2a 有两个不同交点,须0<2a<1.
即0<a<,故选B.
12答案B ★4已知函数f (x )=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴相切于点(1,0),则极小值为( )
A.0
B.-
C.-
D.1
427527解析f'(x )=3x 2-2px-q ,由题意知f'(1)=3-2p-q=0.
又f (1)=1-p-q=0,
联立方程组,解得p=2,q=-1.
所以f (x )=x 3-2x 2+x ,f'(x )=3x 2-4x+1.
由f'(x )=3x 2-4x+1=0,解得x=1或x=,
13可知x=1是函数的极小值点.
所以f (x )极小值=f (1)=0.
答案A
5设a ∈R ,若函数y=e x +ax (x ∈R )有大于零的极值点,则a 的取值范围为 .
解析∵y=e x +ax ,∴y'=e x +a.
由于y=e x +ax 有大于零的极值点,即方程e x +a=0有大于零的解,即a=-e x (x>0).
∵当x>0时,-e x <-1,∴a<-1.
答案(-∞,-1)
6已知函数f (x )=x 3-3a 2x+a (a>0)的极大值与极小值的积小于0,则a 的取值范围是 .
解析f'(x )=3x 2-3a 2=3(x-a )(x+a )(a>0),
令f'(x )=0,得x=±a.
当-a<x<a 时,f'(x )<0,函数递减;
当x>a 或x<-a 时,f'(x )>0,函数递增,
所以f (x )极大值=f (-a )=-a 3+3a 3+a=2a 3+a ,f (x )极小值=f (a )=a 3-3a 3+a=-2a 3+a ,且f (-a )>f (a ),故f (-a )>0,f (a )<0,解之,得a>.
2
2答案a>2
2
7已知函数f (x )=(a>0,r>0).
ax
(x +r )2
(1)求f (x )的定义域,并讨论f (x )的单调性;
(2)若=400,求f (x )在(0,+∞)内的极值.a
r 解(1)由题意知x ≠-r ,所求的定义域为(-∞,-r )∪(-r ,+∞).
f (x )=,
ax
(x +r )2=ax x 2+2r x +r 2f'(x )=
a (x 2+2rx +r 2)-ax (2x +2r )
(x 2+2rx +r 2)2=,
a (r -x )(x +r )(x +r )4所以当x<-r 或x>r 时,f'(x )<0.
当-r<x<r 时,f'(x )>0.
因此,f (x )的单调递减区间为(-∞,-r ),(r ,+∞);
f (x )的单调递增区间为(-r ,r ).
(2)由(1)的解答可知f'(r )=0,f (x )在(0,r )内单调递增,在(r ,+∞)内单调递减.
因此,x=r 是f (x )的极大值点.
所以f (x )在(0,+∞)内的极大值为f (r )==100,f (x )在(0,+∞)内没有极小值.ar
(2r )2=a 4r =4004★8设f (x )=2x 3+ax 2+bx+1的导数为f'(x ),若函数y=f'(x )的图象关于直线x=-对称,且f'(1)=0.
12(1)求实数a ,b 的值;
(2)求函数f (x )的极值.
解(1)因为f (x )=2x 3+ax 2+bx+1,
所以f'(x )=6x 2+2ax+b.
从而f'(x )=6+b-,(x +a 6)
2a 2
6即y=f'(x )的图象关于直线x=-对称,从而由题设条件知-=-,解得a=3.
a 6a 61
2又因为f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.
所以,实数a,b的值分别为3,-12.
(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).
令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0.
解得x1=-2,x2=1.
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内为增函数;
当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内为减函数;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数;
从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.。