平面向量在解析几何的应用策略

平面向量在解析几何中的应用与求解策略
一、利用向量,可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是： (一）、直线的方向向量:直线L 的方向向量为错误!=（a ，b ）,则该直线的斜率为k= 错误!
（二）、利用向量处理平行问题：对非零向量错误!=（x 1,y 1),错误!=（x 2,y 2）,错误!∥错误!的充要条件是：
有且仅有一个实数λ,使得错误! = λ错误!；亦即a ∥b (b
≠0)的充要条件是
⇔x 1y 2-x 2y 1=0；
（三）、利用向量求角：设错误!=(x 1，y 1），错误!=（x 2,y 2)， 则两向量错误!、错误!的夹角：cos θ = cos
〈错误!，错误!〉 = 错误! = 错误! ⇒ 其特殊情况即为垂直问题：对非零向量错误!=（x 1,y 1),错误!=(x 2，y 2),错误!⊥错误!的充要条件是错误!·错误!=0⇔x 1x 2- y 1y 2=0；
（四)、利用向量求距离：设错误!=（x,y)，则有|错误!|=错误!=错误!;若),,(),,(2211y x B y x A 则|→，AB ｜=221212()()x x y y -+-
二、典例分析：
★【题1】、点P （-3，1）在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左准线上。

过点P 且方向为错误!=（2，—5）的光线,经直线y=—2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为：（ ） （A ）
3 （B ）13 (C)2
（D ）12
●[解析]：如图,过点P （—3，1）的方向向量→，a=（2，-5);所以)3(2
5
1;,25+-=--=x y l K PQ PQ 则;
即1325;-=+y x L PQ ;联立:)2,59
(2
1325--⎩⎨⎧-=-=+Q y y x 得, 由光线反射的对称性知：251=QF K
所以)5
9
(252;1+=
+x y L QF ，即0525:1=+-y x L Q F ;令y=0，得F 1（-1，0）；综上所述得: c=1,3,32==a c a 则;所以椭圆的离心率.33
3
1===a c e 故选A 。

▲点拨：本题中光线所处直线的方向向量是错误!=（2,—5），则立即有直线的斜率为
55
,:1(3)22
PQ PQ K l y x =--=-+从而有方程为.
★【题2】设椭圆
22
12516
x y +=上一点P 到左准线的距离为10,F 是该椭圆的左焦点,若点M 满足1
()2
OM OP OF =
+,则||OM = ． ●解：依据椭圆的第二定义则有：|PF|=6，再由第一定义则|PF ′ |=4；由于
1
()2
OM OP OF =
+,由向量加法的平行四边形法则，则点M 处于PF 的中点处,故由中位线定理可知||OM =2。

▲点拨：本题中的向量条件1
()2
OM OP OF =+,抓住向量加法的平行四边形法则，从而转化得出点M 处于PF 的中点位置。

★【例题3】已知A ，B 为椭圆22221x y a b +=（a 〉b 〉0）和双曲线22
221x y a b
-=的公共顶点，P ，Q 分别为双
曲线和椭圆上不同于A ，B 的动点,且有→，AP+→
，BP=λ（错误!+错误!）(λ∈R,|λ｜〉1），设AP ，BP ，AQ,BQ 斜率分别为k 1，k 2，k 3,k 4,求证：k 1+k 2+k 3+k 4为一个定值. ●解、点A （—a,0）；B(a ，0)；∵由错误!+错误!=λ（错误!+错误!）,依据向量加法的平行四边形法则，则有O 、Q 、P 三点共线;设P(x 1，y 1)、Q （x 2，
y 2）,则错误! - 错误! =1,则x 12-a 2 = 错误!·y 12；∴ k 1+k 2 = 错误! + 错误! = 错误! = 错误!·错误!； 同样有k 3+k 4= 错误!·错误!；由于错误! = 错误!，∴ 所求的定值为0。

▲ 点拨：本题中的向量条件:错误!+错误!=λ(错误!+错误!)，通过向量加法的平行四边形法则,从而转化得出了O 、Q 、P 三点共线；然后再继续进行推理、求解,从而得出结论.
★【例题4】(2007年全国高考Ⅱ·理科·12题)．设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上
三点，若FA FB FC ++=0,则FA FB FC ++=（ ） A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
●解：抛物线的焦点F （1,0）设 A 、B 、C 三点的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y ;则有错误!=11(1,)x y -，错误!=22(1,)x y -，错误!=33(1,)x y -，
∵FA FB FC ++=0；∴11x -+21x -+31x -=0；∴x 1+x 2+x 3=3，又由抛物线的定义可知
FA FB FC ++= x 1+1+x 2+1+x 3+1=6，从而选（B)。

▲点拨：本题中，向量条件FA FB FC ++=0；利用向量的坐标运算规律进行转化后可得x 1+x 2+x 3=3，再由于所求均为焦半径，从而利用抛物线的定义马上可得到所求之答案为（B ）. ★【例题5】、（2004年全国高考）给定抛物线C ：,42x y =F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

（Ⅰ）设l 的斜率为1,求OB OA 与夹角的大小； （Ⅱ）设]9,4[,∈=λλ若AF FB ，求l 在y 轴上截距的变化范围.
●解：（Ⅰ)C 的焦点为F(1，0），直线L 的斜率为1，所以L 的方程为.1-=x y
将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得.0162
=+-x x 设),,(),,(2211y x B y x A 则有
.1,62121==+x x x x
.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x OB OA
.41]16)(4[||||2121212
2222121=+++=
+⋅+=
x x x x x x y x y x OB OA
.41
14
3||||),cos(-=⋅=
OB OA OB OA OB OA 所以OB OA 与夹角的大小为.41143arccos -π （Ⅱ)由题设AF FB λ= 得),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨⎧-=-=-.12
12),
1(1y y x x λλ……①
又由于点F 为抛物线的焦点，则有||||FB AF λ=依据抛物线的定义有:x 2+1=λ（x 1+1）……②；联立方程①和②可求得x 1= 错误!；则点A(错误!，±2λ
λ
）［或求得点(,2),B λλ±];又F(1，0）,则可得直线
L 的方程为: ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或∴当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截
距为
,1212---λλλλ或由,1
2
1212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在［4,9］上是递减的， ∴
,4
31234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ直线L 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--
▲点拔：本题主要是将向量相等的条件AF FB λ=，转化为向量坐标关系等式：
),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨
⎧-=-=-.12
12),
1(1y y x x λλ然后可以此去求出交点A 的坐标数值，再往下进行转化推理,从而使问题得以解决。

★【例题6】（2007年湖南高考理科20题）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．
（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中
O 为坐标原点）,求点M 的轨迹方程；(II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在,求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由． ●解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．
(I ）设()M x y ，，则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，，1221
(2)(20)F B x y FO =+=，，，,由1111
FM F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y
+=-⎧⎨+=⎩，
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述
方程的两个实根，所以212241k x x k +=-．212122
44(4)411
k k
y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭． 由①②③得22441k x k -=-．…④;241k y k =-．…⑤;当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，
4
x k y
-=，将其代入⑤有222
2
4
44(4)(4)(4)1x y x y y x x y
y
-⨯
-==----．整理得22
(6)4x y --=．当0k =时,点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，
，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，
，使CA CB 为常数，当AB 不与x 轴垂直时,由（I)有212241k x x k +=-，212242
1
k x x k +=-．于是
21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--2222
1212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--22
222
2(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--．
因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=,即1m =，此时CA CB =1-．
当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设
为(2
,(2,此时
(12)(12)1CA CB =-=-，，．
故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．
▲点拨：本题中的向量条件的转化，关键是利用向量坐标的运算规律去加以运用与转化！
★【例题7】设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于
y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则点P 的轨迹方程是 ( )
A ．2
2331(0,0)2x y x y +
=>> B ．223
31(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22
331(0,0)2
x y x y +=>>
●解：设P （x ，y ）,则Q （－x ，y ），又设A （a ，0），B （0，b ），则a >0，b >0，于是
BP x y b PA a x y ＝（，－），＝（－，－）
，由2BP PA ＝可得a ＝3
2
x ，b ＝3y ， 所以x >0，y >0又AB ＝(－a,b ）＝（－32x ，3y ）,由•OQ AB ＝1可得)0,0(132
32
2>>=+y x y x 故
选D
▲点拨：本题中的向量条件的转化,关键也是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！
★【例题8】已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅
＝0，则动点P(x ，y ）的轨迹方程为( ）
（A ）x y 82= （B)x y 82-= (C ）x y 42= （D ）x y 42-=
●解答、设(,)P x y ,0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，4MN =；则(2,),(2,)MP
x y NP x
y =+=-
=⋅+NP MN ，则4(2)0x -=,化简整理得x y 82
-= 所以选B
▲点拨：本题中的向量条件的转化，关键还是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！
★【例题9】已知点 M （－2，0)，N(2,0）
,动点 P 满足条件｜PM |－|PN ｜=记动点 P 的轨迹为 W 。

（Ⅰ）求
W 的方程;（Ⅱ
)若 A,B 是W 上的不同两点，O
●解：（Ⅰ）由｜PM|－｜PN ｜= P 的轨迹是以 ,M N
长a=c=2
，故虚半轴长b==；所以W 的方程为
22
1
22
x y
-=
，x≥
（Ⅱ）设A，B 的坐标分别为
11
(,)
x y,
22
(,)
x y；当AB⊥x轴时,
12
,
x x
=从而
12
,
y y
=-从而
22
121211
2.
OA OB x x y y x y
⋅=+=-=当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y kx m
=+,与W 的方程联立，消去y得222
(1)220.
k x kmx m
----=故
122
2
,
1
km
x x
k
+=
-
2
122
2
,
1
m
x x
k
+
=
-
所以1212
OA OB x x y y
⋅=+
1212
()()
x x kx m kx m
=+++22
1212
(1)()
k x x km x x m
=++++
2222
2
22
(1)(2)2
11
k m k m
m
k k
++
=++
--
2
2
22
1
k
k
+
=
-2
4
2
1
k
=+
-
.又因为
12
x x>,所以210
k->，从而 2.
OA OB
⋅>综上，当AB⊥x轴时, OA OB
⋅取得最小值2.
▲点拨：向量条件
1212
OA OB x x y y
⋅=+在综合题中的转化是经常要用到的，它实质是向量坐标运算规律的应用与转化。

★【例题10】．（2006年辽宁卷）已知点
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y
12
(0)
x x≠是抛物线22(0)
y px p
=>上的两个动点，O是坐标原点，向量OA,OB满足OA OB OA OB
+=-.设圆C的方程为
22
1212
()()0
x y x x x y y y
+-+-+=
(I）证明线段AB是圆C的直径;（II)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求P的值。

●【解析】(I) 22
,()()
OA OB OA OB OA OB OA OB
+=-∴+=-；整理得:
OA OB
⋅=
1212
x x y y
∴⋅+⋅=;设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则0
MA MB
⋅=即1212
()()()()0
x x x x y y y y
--+--=；整理得:22
1212
()()0
x y x x x y y y
+-+-+=
故线段AB是圆C的直径
(II)解:设圆C的圆心为C（x,y）,则
12
12
2
2
x x
x
y y
y
+
⎧
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
；22
1122
2,2(0)
y px y px p
==>
22
12
122
4
y y
x x
p
∴=
又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22
12122
4y y y y p
∴-⋅=;12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=- 2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +=
=+=++-221
(2)y p p
=+；所以圆心的轨迹方程为222y px p =-；设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
2
2221|
(2)2|
555y p y p d p +-===225p
=
当y=p 时,d 有最小值
5,由题设得25
5
=
2p ∴=. ▲点拨：本小题考查了平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程、点到直线的距离公式等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。

★【例题11】．（2006年天津卷）如图，以椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的中心O 为
圆心,分别以a 和b 为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点()()b c c F >0,作垂直于x 轴的直线交大圆于第一象限内的点A ．连结OA 交小圆于点B ．设直线BF 是小圆的
切线．（1）证明ab c =2
,并求直线BF 与y 轴的交点M 的坐标；
（2）设直线BF 交椭圆于P 、Q 两点,证明2
12
OP OQ b ⋅=
． ● 证明：（Ⅰ)由题设条件知，Rt OFA ∽Rt OBF 故OF OB OA OF =，即c b a c
=；因此,2
c ab =；在Rt OFA ，
2222.FA OA OF a c b =-=-=因此，2.c ab =在Rt OFA 中 ，2222FA OA OF a c b -=-=＝.
于是，直线OA 的斜率oa b k c =.设直线BF 的斜率为k ，则1oa c
k k b
=-=-。

这时,直线BF 与y 轴的交点为(0,)M a ;
（Ⅱ)由(Ⅰ），得直线BF 得方程为,y kx a =+且22
22c ab a
k b b b
=== ②
由已知，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则它们的坐标建立方程组
22
221
x y a b
y kx a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
③；由方程组③消去y ，并整理得22223422()20b a k x a kx a a b +++-= 由式①、②和④;42222232
122
223322()a a b a a b a b x x a b a k a b b a
b
--===+++;由方程组③消去x ,并整理得 2222222222()20b a k y ab y a b a b k +++-= ⑤
由式②和⑤， 2222
2
221222233
22(1)
(1)()a
a b a b k a b b a b y y a b a k b a b a b
---===+++⋅ 综上,得到322223
12123
333
33()a b a b b a a b OP OQ x x y y a b a b a b
-⋅=+=+=+++ 注意到222222
2a ab b a c b b -+=-+=，得
23232332
()22()a b a b a b OP OQ a b a b b a b ⋅===++⋅+2222()1()2()2()2
ac a a b a ab a b a b -===-++ 222
11()22a c b =-= ▲点拨：本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。

平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.
★【例题12】（2005年湖南理19题·14分）已知椭圆C ：22a x ＋22
b
y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、
F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB . （Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； （Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形。

●解：①、因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是
2
222222.
,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y a x a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由。

所以点M 的坐标是（a b c 2
,-).
由).,(),(2a e a a b e a c AB AM λλ=+-=得即22
1e a
a
b e
a c e a
-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得
（Ⅱ）：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2｜,即
.||21
1c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c e ec a e a c e d PF =+-=+++-==
得
.112
2
e e e =+- 所以.32
1,3122=-==e e λ于是
即当,3
2
时=
λ△PF 1F 2为等腰三角形. ▲ 点拨：由向量条件:.AM AB λ=利用坐标运算性质可2(,)(,)a b a
c a e a e
λ-+=得,从而便于下面的计算
与推理。

总之，平面向量在解析几何中的应用非常广泛，通常涉及长度、角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理,其目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。